人教A版高中数学必修五 3.1　不等关系与不等式（38张PPT+课时作业）

3.1　不等关系与不等式
1.设a,b,c∈R,且a>b,则(　C　)
(A)ac>bc (B)a2>b2
(C)a3>b3 (D)<
解析:当c≤0时,A不成立;当b当a>0,b<0时,D不成立,C正确.选C.
2.下列命题中正确的是(　D　)
(A)a>b,c>d?a-c>b-d (B)a>b?>
(C)acbc2?a>b
解析:对于A,如3>2,2>0,但3-2>2-0不成立,故A不正确;对于B,当c<0时,a>b?<,故B不正确;对于C,当c<0时,acb,故C不正确,D正确,选D.
3.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是(　C　)
(A)f(x)(C)f(x)>g(x) (D)随x值变化而变化
解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)
=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
所以f(x)>g(x).故选C.
4.已知a,b,m是正实数,则不等式<(　B　)
(A)当a>b时成立
(B)当a(C)是否成立与m有关
(D)一定成立
解析:因为<,所以-<0,即<0.
因为a>0,b>0,m>0,所以a+m>0.
所以a-b<0,所以a5.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是(　C　)
(A)(-π,0) (B)(-π,π)
(C)(-,) (D)(0,π)
解析:因为-<α<,所以-π<2α<π,
又-<β<,所以-<-β<,
所以-<2α-β<.又α-β<0,α<,
所以2α-β<.故-<2α-β<.故选C.
6.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是(　A　)
(A)2枝玫瑰的价格高 (B)3枝康乃馨的价格高
(C)价格相同 (D)不确定
解析:设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别为x,y元,
由题意可得即
设2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)=(2m-n)x+(m-n)y,
令解得
所以2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)>5×8-5×8=0,
因此2x>3y,所以2枝玫瑰的价格高.故选A.
7.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总成绩y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示就是(　D　)
(A) (B)
(C) (D)
解析:由题中x不低于95即x≥95,y高于380即y>380,z超过45即z>45,可得D正确.故选D.
8.若a>b>1,0(A)ac(C)alogbc解析:对于选项A,考虑幂函数y=xc,因为c>0,所以y=xc为增函数,又a>b>1,所以ac>bc,故A不正确;对于选项B,abc9.比较大小:x2+y2+z2　　　 　2(x+y+z)-4.?
解析:(作差法)x2+y2+z2-[2(x+y+z)-4]
=x2-2x+1+y2-2y+1+z2-2z+1+1
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+1≥1>0,
所以x2+y2+z2>2(x+y+z)-4.
答案:>
10.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为
　　　　　　　 　;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为　　　　　　　　.?
解析:①原来每天行驶x km,现在每天行驶(x+19)km.
则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”,
写成不等式为8(x+19)>2 200.
②若每天行驶(x-12)km,
则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”,
写成不等式为8x>9(x-12).
答案:8(x+19)>2 200　8x>9(x-12)
11.若a>b>c,则+　 　　?(填“>”“=”或“<”).
解析:因为a>b>c,
所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,
所以+-
=
=
=>0,
所以+>.
答案:>
12.若x≠2,y≠1,M=x2+y2-4x+2y,N=-5,则M与N的大小关系为　　.?
解析:M-N=x2+y2-4x+2y-(-5)=(x-2)2+(y+1)2,
因为x≠2,y≠-1,
所以(x-2)2>0,(y+1)2>0,
所以M-N>0.
答案:M>N
13.已知①-1≤a+b≤1,②1≤a-b≤3,求3a-b的取值范围.
解:设3a-b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
所以
所以
由①+②×2得,
-1+2≤(a+b)+2(a-b)≤1+3×2,
即1≤3a-b≤7.
即3a-b的取值范围为[1,7].
14.若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.
证明:因为bc-ad≥0,bd>0,
所以-≥0,即≥,
所以+1≥+1,
即≥,所以≤.
15.已知x>y>0,试比较x3-2y3与xy2-2x2y的大小.
解:由题意,知(x3-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2x2y-2y3
=x(x2-y2)+2y(x2-y2)
=(x2-y2)(x+2y)
=(x-y)(x+y)(x+2y).
因为x>y>0,
所以x-y>0,x+y>0,x+2y>0,
所以(x3-2y3)-(xy2-2x2y)>0,
即x3-2y3>xy2-2x2y.
16.若a>0>b>-a,cbc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是(　C　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:对于①,令a=2,b=-1,c=-2,d=-1得ad-b>0,-c>-d>0,所以-ac>bd,所以ac+bd<0.
又由c0.
所以+<0,故②成立.
对于③,由c-d,又a>b,所以a-c>b-d,故③成立.④成立.故 选C.
17.已知实数x,y满足ax(A)x3>y3 (B)sin x>sin y
(C)ln(x2+1)>ln(y2+1) (D)>
解析:由axy,而函数f(x)=x3是单调递增函数,所以x3>y3.故选A.
18.给出下列四个命题:
①若a>b,c>d,则a-d>b-c;②若a2x>a2y,则x>y; ③若a>b,则>;
④若<<0,则ab其中正确命题是　　　 　.(填上所有正确命题的序号)?
解析:①由c>d得-d>-c,同向不等式相加得a-d>b-c;②若a2x>a2y,显然a2>0,所以x>y成立;③a>b,则>不一定成立,如a=1,b=-1;④若<<0,则b0,即ab答案:①②④
19.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是　　 　　.(由小到大排列)?
解析:因为a-b==<0,所以a因为a-c==>0,
所以a>c.
所以c答案:c20.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价,车型都是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.
解:设该单位有职工n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,
则y1=x+x(n-1)=x+xn,
y2=xn,
所以y1-y2=x+xn-xn
=x-xn
=x(1-).
当n=5时,y1=y2;
当n>5时,y1当0y2.
因此当单位人数为5时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.
课件38张PPT。第三章　不等式
3.1　不等关系与不等式课标要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2.会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质解决问题.自主学习知识探究1.不等式的有关概念
(1)不等式的定义
在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式来表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.
(2)不等式的分类
在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边,这样的两个不等式叫做同向不等式;在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫做异向不等式.(3)关于a≤b和a≥b的含义
①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a②不等式a≥b应读作“a大于或等于b”,其含义是指“或者a>b,若者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.
(4)用不等式表示不等关系
①在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样的不等关系.
例如:限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40 km/h,写出不等式就是v≤40.
②文字语言与数学符号之间的转换,将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.③常见的文字语言与符号语言之间的转换【知识拓展】 利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系
(1)在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以进行比较时,才可用,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.另外,在用不等式(组)表示实际问题时一定要注意单位的统一.
(2)用不等式表示不等关系的方法
①认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系;
②找出体现不等关系的关键词:至少、至多、不少于、不多于、超过、不超过等,用代数式表示相应各量,并用关键词连接,特别需要考虑的是≤、≥中的“=”能否取得.
(3)注意变量的实际意义
体积、面积、长度、质量、时间等均为非负实数.2.比较实数大小的依据
在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.由实数减法在数轴上的表示(如图所示),可以看出a,b之间具有以下性质:如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么a0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a(1)作差法:对于两个实数a,b,如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b是负数,那么a0?a>b;a-b=0?a =b;a-b<0?a(A)h<4.5 (B)h>4.5
(C)h≤4.5 (D)h≥4.5C解析:限高指不超过,所以限高4.5米指h≤4.5.B 2.若a>b,c>d,则下列不等关系中不一定成立的是(　 　)
(A)a-b>d-c (B)a+d>b+c
(C)a-c>b-c (D)a-c(A)4a<4b (B)-4a<-4b
(C)a+4a-4b,B项错误;
aa因为x<1,所以x-1<0,x-2<0,
所以(x-1)(x-2)>0,
所以x2+2>3x.
答案:x2+2>3x5.若x≥1,y≥2,则2x+y的最小值为　　　　.?解析:因为x≥1,所以2x≥2,又y≥2,所以2x+y≥2+2=4.
答案:4题型一 用不等式来表示不等关系课堂探究【例1】 配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应满足的不等关系式.解:根据题意可得误区警示 (1)利用不等式表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.
(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一.即时训练1-1:糖水在日常生活中经常见到,可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题,能提炼出一个怎样的不等式呢?
(1)如果向一杯糖水里加点糖,糖水变甜了;(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比原来的糖水浓、比加糖后的糖水淡.题型二 比较大小解:(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
由x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0.
所以(3x2+1)(x-1)≤0,
所以3x3≤3x2-x+1.【例2】 (1)已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小;(2)已知a>0,b>0,比较aabb与abba的大小.方法技巧 (1)利用作差法比较大小的一般步骤为作差——变形——定号——结论.变形的目的是能判断符号,变形越彻底就越易判断符号.常用方法为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.
(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较,作商后可变形为能与1比较大小的式子.(2)已知x∈R,m∈R,比较x2-x+1与-2m2-2mx的大小.方法技巧 比较两数(式)大小常用作差法或作商法,尤其是作商法,是学习不等式知识的基本出发点.
(1)作差法的步骤:作差——变形——判断符号——下结论.
(2)作商法的步骤:作商——变形——判断与1的大小——下结论.
其中,使用作商法比较大小时,要注意两数(式子)的符号应相同,而作差法没有这个限制条件.题型三 利用不等式性质证明不等式【例3】 (1)证明不等式:a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R);证明:(1)因为2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)
=(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)
=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,又a,b,c∈R,
所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,
当且仅当a=b=c时取“=”.
所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).
即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.(2)若a>b>0,c .方法技巧 用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明;要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数;一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的等.即时训练3-1:(1)已知a>b,e>f,c>0.求证:f-ac(2)若bc-ad≥0,bd>0.求证: ≤ .证明:(1)因为a>b,c>0,
所以ac>bc,所以-ac<-bc.
因为f所以5<2a+b<8.即2a+b的取值范围为(5,8).
(2)因为3所以-3