3.2 一元二次不等式及其解法
第一课时 一元二次不等式及其解法
1.下列不等式中是一元二次不等式的是( C )
(A)a2x2+2≥0
(B)<3
(C)-x2+x-m≤0
(D)x3-2x+1>0
解析:选项A中,a2=0时不符合;选项B是分式不等式;
选项D中,最高次数为三次;只有选项C符合.
故选C.
2.已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则A∩B等于( D )
(A)(-∞,-1) (B)(-1,-)
(C)(-,3) (D)(3,+∞)
解析:因为3x+2>0,
所以x>-.
所以A={x|x>-}.
又因为(x+1)(x-3)>0,
所以x>3或x<-1.
所以B={x|x<-1或x>3}.
所以A∩B={x|x>-}∩{x|x<-1或x>3}={x|x>3}.故选D.
3.设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1
(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1
解析:根据题意可得,-1,1是方程(ax-1)(x+1)=0的两根,代入解得a=1.故选D.
4.一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数的条件是( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:结合二次函数的图象,可知若ax2+bx+c<0,则故选D.
5.若关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根(两根相异)都大于2,则m的取值范围是( A )
(A)(-5,-4) (B)(-∞,-4)
(C)(-∞,-2) (D)(-∞,-5)∪(-5,-4)
解析:设该方程的两根为x1,x2(x1≠x2),由根与系数的关系,可得x1+x2=-(m-2),x1x2=5-m.
由题意,有x1+x2>4,x1x2>4,
则-(m-2)>4,即-m+2>4,
解得m<-2;由5-m>4,解得m<1.
又Δ=(m-2)2-4(5-m)=m2-4m+4-20+4m=m2-16>0,即m2>16,解得m<-4或m>4.
由f(2)>0得m>-5.
综上,可得m的取值范围为-56.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:法一 x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0.
因为a>0且解集为(x1,x2),
则x1=-2a,x2=4a,
x2-x1=6a=15,
解得a=.
法二 由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,
则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,
故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,结合a>0得a=.故选A.
7.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-1或x>},则f(10x)>0的解集为( D )
(A){x|x<-1或x>-lg 2} (B){x|-1(C){x|x>-lg 2} (D){x|x<-lg 2}
解析:因为一元二次不等式f(x)<0的解集为
(-∞,-1)∪(,+∞),
所以一元二次不等式f(x)>0的解集为(-1, ),
故解不等式f(10x)>0等价于解-1<10x<,等价于解不等式10x<,易得x8.不等式≥1的解集是( B )
(A){x|≤x≤2} (B){x|≤x<2}
(C){x|x>2或x≤} (D){x|x≥}
解析:≥1?≤0?
解得≤x<2,故选B.
9.不等式x2-(2a+1)x+a2+a<0的解集为 .?
解析:由题得[x-(a+1)](x-a)<0,
所以a答案:(a,a+1)
10.函数f(x)=log2(-x2+x+12)的定义域为 .?
解析:由-x2+x+12>0,得x2-x-12<0,解得-3答案: (-3,4)
11.不等式<0的解集为 .?
解析:利用数轴标根法求解.由图知-答案:{x|-12.设关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求a的取值范围.
解:当a-2=0即a=2时,
原不等式化为-4<0,符合题意.
当a-2≠0时,由题意可得
解之,得-2综上,-2即a的取值范围为(-2,2].
13.已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)当c∈R时,解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0(用c表示).
解:(1)由已知得1,b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1,a>0,
所以
解得
(2)由(1)得不等式可化为x2-(2+c)x+2c<0,
即(x-2)(x-c)<0.
所以当c>2时,所求不等式的解集为{x|2当c<2时,所求不等式的解集为{x|c当c=2时,所求不等式的解集为.
14.解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,aa2};
当a=0时,a2=a,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,a2=a,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上所述:
当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当0a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0}.
15.解不等式>0.
解:不等式>0等价于
(x+2)(x-1)(x-2)>0,
令(x+2)(x-1)(x-2)=0,
解得x=-2或x=1或x=2,
如图所示,
由图象可知不等式的解集为(-2,1)∪(2,+∞).
16.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为( B )
(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(C)(1,2) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:由ax-b>0的解集为(1,+∞)知a>0且=1,
所以a=b,
故>0?(ax+b)(x-2)>0?(x+1)(x-2)>0,
所以x>2或x<-1.故选B.
17.不等式≤的解集为 .?
解析:不等式≤可化为≤2-2,
因为函数y=2x为增函数,所以x--4≤-2,
移项,通分整理为≤0,
此不等式等价于
或
解得x≤-1或0所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪(0,3].
答案:(-∞,-1]∪(0,3]
18.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是 .?
解析:f(1)=12-4×1+6=3,不等式即为f(x)>3.
①当x≥0时,不等式即为
解得
即x>3或0≤x<1;
②当x<0时,不等式即为
解得-3综上,原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞).
答案:(-3,1)∪(3,+∞)
19.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
(2)若a>0,且0解:(1)由题意知a≠0,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n),当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0,即a(x+1)(x-2)>0,当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1(2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),因为a>0,且00,所以f(x)-m<0,即f(x)课件37张PPT。3.2 一元二次不等式及其解法
第一课时 一元二次不等式及其解法课标要求:1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.自主学习知识探究1.一元二次不等式的相关概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0),其中a≠0,且a,b,c为常数.
使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的 ,一元二次不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的 .将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式叫做不等式的同解变形.2解解集【知识拓展】 (1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不意味着不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.
(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.2.一元二次不等式的解法
(1)三个“二次”之间的关系
ax2+bx+c(a≠0)是二次三项式,把x当做自变量,a,b,c为常量,则y=ax2+bx+ c(a≠0)是二次函数,令y=0,则ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程.令y> 0(或y<0),则ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)是一元二次不等式.相应地,我们可分三种情况来讨论一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集,具体如表:(2)一元二次不等式的解法
由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下:
①通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为0);
②求出相应的一元二次方程的根,有三种情况:Δ=0,Δ<0和Δ>0(即求相应方程ax2+bx+c=0(a>0)的根x1,x2);
③画出对应二次函数的草图;④结合图形求不等式的解集.
可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程,如图.【知识拓展】 当a<0时,解不等式可以从两个方面入手:①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下);②两边同乘以-1,把a转变为-a再进行求解.3.利用符号法则研究一元二次不等式的解法
在上述的探讨中,我们知道一元二次不等式与一元二次方程有着紧密的联系,也认识到二次函数在解决一元二次不等式中的作用.但考虑到不等式解决的速度,结合本章3.1节所学的有关因式积的符号法则,即若ab>0,则a,b同号;若ab<0,则a,b异号,因此我们可以采取将二次三项式进行分解,然后利用上述符号法则来求解一元二次不等式.即对于一个二次三项式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a>0,x10,则xx2;若ax2+bx+c<0,则x10的解集为( )
(A){x|x<-1或x>4} (B){x|x≤-1或x≥4}
(C){x|-10,
所以x<-1或x>4.故选A.2.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1(A)3 (B)1 (C)-3 (D)-1A D (A)[-1,4] (B)(-1,4]
(C)[1,4] (D)(1,4]4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:解析:由题中表格可以看出x=3,-2时,
y=0,x>3或x<-2时,y>0.
所以ax2+bx+c>0的解集为{x|x>3或x<-2}.
答案:(-∞,-2)∪(3,+∞)则不等式ax2+bx+c>0的解集是 .?答案:(-∞,-3)∪(2,+∞)题型一 解不含参数的一元二次不等式课堂探究【例1】 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.解:(4)因为x2-2x+2=0的根的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.
又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线(如图(4)),
所以原不等式的解集为R.方法技巧 求解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为零,使二次项系数为正.
(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的根的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据根的判别式说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)根据图象写出不等式的解集.即时训练1-1:解下列不等式:
(1)x2+2x-15>0; (2)x2>2x-1; (3)-x2+x<4;解:(1)x2+2x-15>0?(x+5)(x-3)>0?x<-5或x>3,所以不等式的解集是{x|x<-5或x>3}.
(2)x2>2x-1?x2-2x+1>0?(x-1)2>0?x≠1,
所以不等式的解集是{x∈R|x≠1}.
(3)原不等式可转化为x2-x+4>0,
由方程x2-x+4=0的根的判别式Δ<0知方程x2-x+4=0无实数根,
由二次函数y=x2-x+4的图象知-x2+x<4的解集为R.(4)-2x2+x+1<0.题型二 解含参数的一元二次不等式解:原不等式可化为(x-1)(ax+1)>0.
(1)当a=0时,原不等式为x-1>0,所以解集为{x|x>1}.【例2】 解关于x的不等式:ax2+(1-a)x-1>0.方法技巧 解含参数的一元二次不等式时要对参数分类讨论.(1)讨论二次项系数,按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类;(2)讨论根的判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0;(3)讨论根的大小.讨论顺序可简记为“一a,二Δ,三两根大小”.解:原不等式可变形为(x-a)(x-a2)>0,
则方程(x-a)(x-a2)=0的两个根为x1=a,x2=a2,
(1)当a<0时,有aa2,
此时原不等式的解集为{x|xa2};
(2)当0a2,
即xa,
此时原不等式的解集为
{x|xa};即时训练2-1:解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.(3)当a>1时,有a2>a,即xa2,
此时原不等式的解集为{x|xa2};
(4)当a=0时,有x≠0;
所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};
(5)当a=1时,有x≠1,
此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1};
综上可知:当a<0或a>1时,
原不等式的解集为{x|xa2};
当0a};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}.题型三 简单的分式不等式和高次不等式的解法【例3】 解下列不等式:
(1) ≥0;(2) >1;(3)不等式(x+1)(1-x)(x-2)>0的解集为 (写成区间的形式).?答案:(-∞,-1)∪(1,2)方法技巧 1.分式不等式的解法:2.简单高次不等式的解法
不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.
解高次不等式常用的方法有两种:
(1)将高次不等式f(x)>0(<0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的乘积,根据实数运算的符号法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组).于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集.
(2)穿针引线法:
①将不等式化为标准形式,一端为0,另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积;
②求出各因式的实数根,并在数轴上标出;
③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶次重根穿而不过(即“奇过偶不过”);
④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.答案:(2){x|x<-3或x>4} 解析:(3)原不等式可以转化为(x-2)3(x-1)(x+3)2>0,
各因式对应的根为2(3重根),1,-3(2重根).
结合图可得,原不等式的解集为{x|x>2或x<1且x≠-3}.答案:(3)(-∞,-3)∪(-3,1)∪(2,+∞)点击进入 课时作业谢谢观赏！第二课时 一元二次不等式及其解法习题课
1.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1(A)-5 (B)5 (C)-6 (D)6
解析:由已知得-1,是一元二次方程ax2+bx+1=0的两根,且a<0,
由根与系数的关系得
解得
所以ab=6.故选D.
2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|x<-或x>},则不等式bx2-5x+a>0的解集为( C )
(A){x|-}
(C){x|-32}
解析:因为ax2-5x+b>0的解集为
{x|x<-或x>},
所以ax2-5x+b=0的解是x1=-,x2=,
由根与系数的关系,得x1+x2=-+=,
x1x2=-×=,
解得a=30,b=-5.
则不等式bx2-5x+a>0?-5x2-5x+30>0,
即x2+x-6<0,解得-33.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-,-],则不等式x2-bx-a<0的解集是( A )
(A)(2,3)
(B)(-∞,2)∪(3,+∞)
(C)(,)
(D)(-∞,)∪(,+∞)
解析:依题意知a<0且方程ax2-bx-1=0的两根是-和-.
所以解得
则不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,
故其解集为{x|24.不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2解析:由题意得
解得a=-1,c=-2.则函数y=f(-x)=-x2+x+2,
故选C.
5.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( C )
(A)(-∞,-1)
(B)(2,+∞)
(C)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:由f(1-x)=f(1+x),知f(x)的对称轴为x==1,故a=2.
又f(x)开口向下,所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min= f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,
f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立,即f(x)min=b2-b-2>0恒成立,解得b<-1或b>2.故选C.
6.一元二次方程x2+(a2+1)x+a-2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小,则a的取值范围是( C )
(A){a|-3(C){a|-1解析:令f(x)=x2+(a2+1)x+a-2,
则f(1)<0且f(-1)<0,
即解得-17.不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( A )
(A)[-1,4] (B)(-∞,-2]∪[5,+∞)
(C)(-∞,-1]∪[4,+∞) (D)[-2,5]
解析:因为x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,
所以要使x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.故选A.
8.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y= 3 000+20x-0.1x2(0(A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台
解析:由3 000+20x-0.1x2≤25x得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故选C.
9.若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a= .?
解析:注意到>0等价于(x-a)(x+1)>0,
而解为x<-1或x>4,从而a=4.
答案:4
10.不等式(x+2)(x2-x-12)>0的解集为 . ?
解析:法一 原不等式等价于或
即或
解得x>4或-3故原不等式的解集为{x|x>4或-3法二 原不等式可化为(x+3)(x+2)(x-4)>0.
方程(x+3)(x+2)(x-4)=0的实数根为x1=-3,x2=-2,x3=4.
将-3,-2,4标在数轴上,然后用一条光滑的曲线从x轴右端的上方起,依次穿过这些点,
则不等式(x+3)(x+2)(x-4)>0的解即为曲线在x轴上方对应的x值,如图.
故原不等式的解集为{x|-34}.
答案:(-3,-2)∪(4,+∞)
11.若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是 .?
解析:设f(x)=x2-kx+k-1,
当x∈(1,2)时,不等式x2-kx+k-1>0恒成立,
则①或②.
解不等式组①得,k≤2;
解不等式组②,无解.
故k的取值范围是k≤2.
答案:(-∞,2]
12.设函数f(x)=mx2-mx-1,对于x∈[1,3],f(x)<-m+5有解,求m的取值范围.
解:要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上有解,
即m(x2-x+1)<6在x∈[1,3]上有解.
于是问题转化为m<()max,
当x∈[1,3]时,(x2-x+1)min=1,()max=6,
所以只需m<6即可.
综上,m的取值范围是(-∞,6).
13.已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为,求不等式qx2+px+1>0的解集.
解:因为x2+px+q<0的解集为,
所以x1=-与x2=是方程x2+px+q=0的两个实数根.
由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2+px+1>0即为-x2+x+1>0,
整理得x2-x-6<0,解得-2即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-214.已知函数f(x)=kx2+kx+2(k∈R).
(1)若k=-1,求不等式f(x)≤0的解集;
(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数k的取值范围.
解:(1)若k=-1,则f(x)=-x2-x+2≤0,x2+x-2≥0,即x≤-2或x≥1,
所以不等式的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).
(2)当k=0时,f(x)=2>0,显然恒成立,解集为R;
当k≠0时,要使f(x)=kx2+kx+2>0的解集为R,则k>0且Δ=k2-8k<0,即0综上所述,k∈[0,8).
15.若实数α,β为方程x2-2mx+m+6=0的两根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值为( A )
(A)8 (B)14 (C)-14 (D)-
解析:因为Δ=(-2m)2-4(m+6)≥0,
所以m2-m-6≥0,
所以m≥3或m≤-2.
(α-1)2+(β-1)2=α2+β2-2(α+β)+2
=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2
=(2m)2-2(m+6)-2(2m)+2
=4m2-6m-10
=4(m-)2-,
因为m≥3或m≤-2,
所以当m=3时,(α-1)2+(β-1)2取最小值8.选A.
16.对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是( C )
(A)(-∞,-2] (B)[-2,2]
(C)[-2,+∞) (D)[0,+∞)
解析:令t=|x|,则t≥0,
所以t2+at+1≥0对t≥0恒成立,
当a≥0时,显然不等式恒成立.
当a<0时,y=t2+at+1在[0,+∞)上的最小值为1-,
由题意得1-≥0,
解得-2≤a≤2,
所以-2≤a<0,
综上a≥-2,
故选C.
17.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(-∞,-),则关于x的不等式bx2-a>0的解集为 .?
解析:因为ax+b>0的解集为(-∞,-),
所以-a+b=0且a<0;
故a=2b<0,故bx2-a>0可化为x2-2<0,
故-答案:(-,)
18.已知当-1≤a≤1时,x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围是 .?
解析:设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),
由于x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,
所以g(a)>0恒成立,
因此整理得
解得x<1或x>3.
答案:(-∞,1)∪(3,+∞)
19.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)
解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知,用电量增至+a,电力部门的收益为
y=(+a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意,有
整理,得
解此不等式,得0.60≤x≤0.75.
所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时,
仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
课件29张PPT。第二课时 一元二次不等式及其解法习题课课标要求:1.在掌握一元二次不等式解法的基础上,能够根据一元二次不等式的解集,确定不等式中参数的值.2.能够求解与一元二次不等式相关的不等式恒成立问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.自主学习1.已知二次不等式ax2+bx+1>0的解集是{x|-2(A)[-2,2]
(B)(-2,2)
(C)(-∞,-2]∪[2,+∞)
(D)(-∞,-2)∪(2,+∞)A解析:由Δ≤0知a2-4≤0,所以-2≤a≤2.3.已知集合P={0,m},Q={x|2x2-5x<0,x∈Z},若P∩Q≠ ,则m等于( )D 解析:因为Q={x|0所以m=1或2,故选D.4.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(a(A)a<α<β(C)α所以α,β为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标.
因为a,b为(x-a)(x-b)=0的根,
令g(x)=(x-a)(x-b),
所以a,b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)的图象可由g(x)的图象向上平移2个单位得到,由图知选A.5.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .?解析:因为不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,所以Δ=a2-16>0,
所以a<-4或a>4.
所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).
答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)题型一 三个二次之间的联系课堂探究【例1】 若不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|1(1)试求a,b的值;(2)求不等式 >0的解集.方法技巧 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1,x2时,二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0).当已知ax2+bx+c>0(或ax2+bx+ c<0)的解集时,也就知道了ax2+bx+c=0的根,求参数时一般需把根代入方程或利用根与系数的关系(韦达定理)得出.即时训练1-1:已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b;解:(1)原不等式可化为ax2-3x+2>0,
由题意知x=1是方程ax2-3x+2=0的根,
所以a=1.
所以x2-3x+2>0,
所以x<1或x>2,故b=2.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0(c∈R).解: (2)由(1)可知原不等式可化为x2-(c+2)x+2c<0,
即(x-c)(x-2)<0,
①当c>2时,2(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.方法技巧 不等式恒成立求其中参数取值范围的问题通常有以下两种解法:(2)分离参数,构造合适的函数将恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最值问题,即
k≥f(x)(k>f(x))恒成立?k≥f(x)max(k>f(x)max);
k≤f(x)(k因为方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个大于1,一个小于1,
①若k>0,则f(1)<0,即2k-2-3k-2<0,所以k>-4.
又k>0,所以k>0.
②若k<0,则f(1)>0,即2k-2-3k-2>0,所以k<-4.
又k<0,所以k<-4.综合①②可知,
k的取值范围为(-∞,-4)∪(0,+∞).题型四 一元二次不等式的实际应用【例4】 某摩托车生产企业,上年度生产车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆,本年度为适应市场需要, 计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式;解:(1)每辆车投入成本增加的比例为x,
则每辆车投入成本为1×(1+x)万元,出厂价为1.2×(1+0.75x)万元,年销量为1 000×(1+0.6x)辆.
所以y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x),
即y=-60x2+20x+200(0(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;
(2)建模:建立一元二次不等式模型;
(3)求解:解一元二次不等式;
(4)还原:把数学结论还原为实际问题.即时训练4-1:某单位在对一个长800 m,宽600 m的草坪进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,
由题意知x>0,
所以0当x在(0,100]内取值时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.点击进入 课时作业点击进入 周练卷(五)谢谢观赏！