人教A版高中数学必修五 第一章　解三角形　检测试题

第一章　解三角形　检测试题
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.在△ABC中,a=3,b=,A=60°,则cos B等于(　D　)
(A)± (B) (C)± (D)
解析:由正弦定理得=,
所以sin B===,
因为b故选D.
2.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,B=,则C等于(　A　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由正弦定理,得sin C===,
又b>c,所以C=,故选A.
3.在△ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2+b2=ab+c2,则角C为(　B　)
(A)30° (B)45° (C)150° (D)135°
解析:因为在△ABC中,由余弦定理a2+b2=c2+2abcos C,
又a2+b2=ab+c2,
所以cos C=,
所以C=45°,故选B.
4.△ABC中,=,则△ABC一定是(　D　)
(A)等边三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形
解析:由条件知,acos B=bcos A,
即sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0.
所以A=B,
故△ABC为等腰三角形.故选D.
5.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若a=
2bcos A,B=,c=1,则△ABC的面积等于(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为a=2bcos A,所以由正弦定理有sin A=2sin Bcos A,将B=代入,得tan A=.因为A是三角形内角,
所以A=,
所以△ABC是等边三角形,所以S△ABC=×12=.故选C.
6.某人要利用无人机测量河流的宽度,如图,从无人机A处测得正前方河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时无人机的高是60米,则河流的宽度BC等于(　C　)
(A)240 米
(B)180(-1)米
(C)120(-1)米
(D)30(+1)米
解析:在Rt△ABD中,AB===60(-).
△ABC中,∠BAC=45°,∠C=30°,
由正弦定理有=,
所以BC=120(-1)(米).故选C.
7.在△ABC中,A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC(　C　)
(A)有一个解 (B)有两个解
(C)无解 (D)不能确定
解析:bsin A=4×sin 60°=4×=2.又a=,且<2,则△ABC无解.故选C.
8.△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,S表示三角形的面积,若asin A+bsin B=csin C,S=(a2+c2-b2),则对△ABC的形状的精确描述是(　D　)
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等腰或直角三角形 (D)等腰直角三角形
解析:因为asin A+bsin B=csin C,由正弦定理可知a2+b2=c2,所以
△ABC为直角三角形,又由三角形的面积公式,可知acsin B=
(a2+c2-b2),即sin B==cos B,解得∠B=,
综上所述,可得△ABC为等腰直角三角形,故选D.
9.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,所以AB=BC,
由余弦定理得AC===BC,
所以BC·BC=AB·ACsin A=×BC·BCsin A,
所以sin A=,故选D.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,sin B=,则b等于(　A　)
(A) (B)2 (C) (D)2
解析:由正弦定理,得=?=,整理得sin B=sin 2C,则sin(A+C)=sin 2C,因为,<2C<π,则A+C=2C,即A=C,a=c,由sin B=,得cos B=,所以b2=2a2-2a2cos B=3,解得b=.故选A.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2,C=,
tan A=,则sin A=　　　　,b=　　　　.?
解析:由tan A=?sin A=,cos A=,由正弦定理得,=?c=a=5,
b=ccos A+acos C=4+.
答案:　4+
12.在△ABC中,BC=1,B=,△ABC的面积S=,则边AB等于　　　　,边AC等于　　　　.?
解析:=AB·BCsin B=×1·ABsin ?AB=4,因此AC=
=.
答案:4　
13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则sin A=　　　　,a的值为　　　　.?
解析:因为cos A=-,
所以sin A==,
又S△ABC=bcsin A=×bc×=3,
所以bc=24.
因为b-c=2,所以
由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=62+42-2×6×4×（-）=64.
所以a=8.
答案:　8
14.在△ABC中,已知AB=2,cos B=,若BC=3,AC的长为　　　　;若点D为AC中点,且BD=,sin A的值为　　　　.?
解析:由余弦定理可知
AC==3;
=
?=
?2||2-||2=9,
又因为cos B==,
从而可知所以sin A=sin B=.
答案:3　
15.如图,某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处,此时得知,该渔船正沿南偏东75°方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇每小时行驶21海里,设舰艇在B处与渔船相遇,则舰艇与渔船相遇的最短时间是　　　　.?
解析:设舰艇到达渔船的最短时间是x小时,
在△ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°,
由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,
即441x2=100+81x2-2×10·9x·cos 120°,
化简,得36x2-9x-10=0,
解得x=或x=-(舍去),
即舰艇与渔船相遇的最短时间是40分钟.
答案:40分钟
16.在△ABC中,点D在直线AB上,CD⊥BC,AC=5,CD=5,BD=2AD,则AD的长为　　　　.?
解析:如图所示,
延长BC,过A作AE⊥BC,垂足为E,因为CD⊥BC,所以CD∥AE,因为CD=5,BD=2AD,所以=,解得AE=,在Rt△ACE中,CE==
=,由=2得BC=2CE=5,
在Rt△BCD中,BD===10,则AD=5.
答案:5
17.已知△ABC满足BC·AC=2,若C=,=,则AB=　　　　.?
解析:因为=,
所以==-,所以b=a,又ab=2,
所以a=,b=2,c2=a2+b2-2abcos C=10,
所以AB=c=.
答案:
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos B=bcos A.
(1)判断△ABC的形状;
(2)求sin B+cos（A+）的取值范围.
解:(1)由acos B=bcos A,根据正弦定理,得sin Acos B=sin Bcos A,即sin(A-B)=0,
在△ABC中,有-π角形.
(2)由(1),A=B,
则sin B+cos（A+）=sin A+（cos A-sin A）
=sin A+cos A=sin（A+）.
因为A=B,所以0所以于是sin B+cos（A+）的取值范围是（,1].
19.(本小题满分15分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=
6cos Bcos C.
(1)求cos A;
(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.
解:(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C,
所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1,
所以3cos(B+C)=-1,所以cos(π-A)=-,
所以cos A=.
(2)由(1)得sin A=,由面积公式bcsin A=2可得bc=6　①
根据余弦定理得cos A===,
则b2+c2=13,②
①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.
20.(本小题满分15分)
如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile,与小岛D相距为3 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角,且sin A=.
(1)求小岛A与小岛D之间的距离;
(2)记小岛D对小岛B与C的视角为α,小岛B对小岛C与D的视角为β,求sin(2α+β)的值.
解:(1)因为sin A=,且角A为钝角,
所以cos A=-=-.
在△ABD中,由余弦定理得
AD2+AB2-2AD·AB·cos A=BD2,
所以AD2+52-2AD·5·(-)=(3)2,所以AD2+8AD-20=0,
解得AD=2或AD=-10(舍去),
所以小岛A与小岛D之间的距离为2 n mile.
(2)在△BCD中,由正弦定理,=,即=,
解得sin α=,
由BC又sin(α+β)=sin(180°-C)=sin C=,
cos(α+β)=cos(180°-C)=-cos C=-,
所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=.
21.(本小题满分15分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,B=+A.
(1)求tan A的值;
(2)求c的值.
解:(1)因为a=3,b=4,B=+A,
所以由正弦定理可得==,
所以3cos A=4sin A,可得tan A==.
(2)由(1)得tan B=tan(+A)=-=-,
所以cos B=-=-,sin B==,
sin A=sin(B-)=-cos B=,cos A=,
所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=×-×(-)=,
所以c===.
22.(本小题满分15分)
如图,在△ABC中,∠A,∠ABC,∠C所对的边分别为a,b,c,且
asin Acos C+csin Acos A=c, D为AC边上一点.
(1)若c=2b=4,S△BCD=,求DC的长;
(2)若D是AC的中点,且cos∠ABC=,BD=,求△ABC的最短边的
边长.
解:因为asin Acos C+csin Acos A=c,
所以sin Asin Acos C+sin Csin Acos A=sin C,
即sin Asin∠ABC=sin C.
(1)因为c=2b,
所以sin C=2sin∠ABC,则sin A=,
所以S△ABC=bcsin A=,
因为AC=2,S△BCD=,=,
所以CD=.
(2)由cos∠ABC=得sin∠ABC=,
因为C=π-(A+∠ABC),
所以3sin A=sin(A+∠ABC),
则sin A=cos A,得tan A=1,
所以A=,
则c2+b2-bc=26,
因为sin A×=sin C且sin∠ABC×=sin C,
所以c=a,b=c=a,
所以a2+a2-a2=26.
解得a=2,
所以b=2,c=6.
所以△ABC的最短边的边长为2.