1.1.1 正弦定理
1.在△ABC中,若B=30°,b=2,则等于( B )
(A)2 (B)4
(C)1 (D)不确定
解析:===4.
2.在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是( B )
(A)= (B)=
(C)asin B=bcos A (D)acos B=bsin A
解析:在△ABC中,由正弦定理=,得=.
3.在△ABC中,a=3,A=30°,B=15°,则c等于( C )
(A)1 (B) (C)3 (D)
解析:C=180°-30°-15°=135°,c===3.应选C.
4.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC等于( B )
(A)4 (B)2 (C) (D)
解析:由正弦定理得=,
所以AC===2.
故选B.
5.△ABC中,已知a=,b=2,B=45°,则角A等于( D )
(A)30°或150° (B)60°或120°
(C)60° (D)30°
解析:因为a=,b=2,B=45°,
所以=,
可得sin A=sin 45°=,
又a
6.△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值是( D )
(A) (B) (C)1 (D)
解析:由正弦定理,==,
所以=2()2=2×()2=.故选D.
7.在△ABC中,若a=2bsin A,则B等于( C )
(A)60° (B)120°
(C)60°或120° (D)30°或150°
解析:由正弦定理得 sin A=2sin B·sin A,
因为sin A≠0,所以sin B=.
又0°8.在锐角△ABC中,若A=2B,则的取值范围是( D )
(A)(1,2) (B)(1,) (C)(,2) (D)(,)
解析:因为△ABC为锐角三角形,A=2B,
所以所以因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
所以==2cos B∈(,).故选D.
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+
csin Bcos A=b,且a>b,则B等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:由条件得sin Bcos C+sin Bcos A=,
依正弦定理,得sin Acos C+sin Ccos A=,
所以sin(A+C)=,从而sin B=,
又a>b,且B∈(0,π),因此B=.故选A.
10.在△ABC中,若A=,BC=3,则△ABC的周长为( D )
(A)4sin(B+)+3 (B)4sin(B+)+3
(C)6sin(B+)+3 (D)6sin(B+)+3
解析:法一 因为C=π-B-=-B,由正弦定理===,得AC=2sin B,AB=2sin(-B),所以△ABC的周长为3+2sin B+
2sin(-B)=3+3sin B+3cos B=6sin(B+)+3,故选D.
法二 由题意可知,C=-B.由正弦定理得===,得b+c=2[sin B+sin(-B)]=6sin(B+),故△ABC的周长为
6sin(B+)+3.故选D.
法三 取△ABC为以C为直角的直角三角形时,B=,周长为3+3,故排除A,B,C,故选D.
11.在△ABC中,若a=3,cos A=-,则△ABC的外接圆的半径为 .?
解析:由cos A=-,得sin A==,设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理,有2R==2,即△ABC的外接圆的半径为.
答案:
12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a= .?
解析:在△ABC中,由正弦定理,有=,
所以sin C==,所以C=30°或150°(舍去).
所以A=30°,所以a=c=.
答案:
13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,B=2A,cos A=,则b= .?
解析:因为cos A=,所以sin A=,因为B=2A,所以sin B=sin 2A=2sin Acos A=,又=,所以b=2.
答案:2
14.已知△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,
b=,A=,则c= .?
解析:由正弦定理可得sin B===,
所以B=或,故C=π-A-B=或,
由正弦定理可得c===2,
或c===1.
答案:1或2
15.在△ABC中,已知b=6,c=6,C=30°,求a.
解:由正弦定理,得=,得sin B==.
因为b>c,所以B>C=30°,所以B=60°或120°.
当B=60°时,A=90°,a===12.
当B=120°时,A=30°,a===6.
所以a=6或12.
16.△ABC中,如果lg a-lg c=lg sin B=-lg,且B为锐角,试判断此三角形的形状.
解:因为lg sin B=-lg,所以sin B=,
又因为0°由lg a-lg c=-lg,得=.
由正弦定理得=,
即2sin(135°-C)=sin C,
即2(sin 135°cos C-cos 135°sin C)=sin C.
所以cos C=0,得C=90°.
又因为B=45°,所以A=45°,
从而△ABC是等腰直角三角形.
17.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin 2B=bsin A.
(1)求B;
(2)若cos A=,求sin C的值.
解:(1)在△ABC中,由=,可得asin B=bsin A,
又由asin 2B=bsin A,
得2asin Bcos B=bsin A=asin B,
所以cos B=,得B=.
(2)由cos A=,可得sin A=,
则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin(A+)=sin A+cos A
=.
18.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acos B+
bcos A=3a,则= .?
解析:因为===2R,R为△ABC外接圆半径,
所以acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A=2Rsin(B+A)=
2Rsin C=c=3a,所以=3.
答案:3
19.正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在边AB,BC,CA上,D为AB的中点,DE⊥DF,且DF=DE,则∠BDE= .?
解析:如图,设∠BDE=θ,在△BDE中,由正弦定理知
=,
所以DE=,
同理,在△ADF中,DF=,
所以==,整理得tan θ=,因为0°<θ<180°,所以
θ=60°.
答案:60°
20.在锐角△ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求
cos A+sin C的取值范围.
解:设R为△ABC外接圆的半径.
因为a=2bsin A,所以2Rsin A=4Rsin Bsin A,
因为sin A≠0,所以sin B=.
因为B为锐角,所以B=.
令y=cos A+sin C=cos A+sin[π-(B+A)]
=cos A+sin(+A)
=sin(A+).
由锐角△ABC知,-B所以所以所以cos A+sin C的取值范围是(,).
课件26张PPT。第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理课标要求:1.了解正弦定理的推导过程.2.能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.3.能利用正弦定理及其变形判断三角形的形状.自主学习知识探究1.正弦定理的内容
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 = = .正弦定理适用于任意三角形,即不论是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可应用正弦定理来求解.
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,正弦定理中的比值是一个定值,该定值的几何意义为三角形外接圆的直径.
正弦定理的关系式是分子为边长,分母为该边所对角的正弦的分式连等式,实际上是三个边角关系式:2.正弦定理的推广及其变形(2)正弦定理的常见变形:自我检测1.在△ABC中,一定成立的等式是( )
(A)asin A=bsin B (B)acos A=bcos B
(C)asin B=bsin A (D)acos B=bcos A
2.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则△ABC是( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)锐角三角形 (D)钝角三角形CAC (A)B=45°或135° (B)B=135°
(C)B=45° (D)B=60°或120°B (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°5.在△ABC中,已知a=2,∠A=120°,则其外接圆的半径R= .?题型一 已知两角及一边解三角形课堂探究【例1】 (1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.(2)在△ABC中,A=30°,C=105°,a=10,求b,c.方法技巧 已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是:
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.即时训练1-1:(1)在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.(2)已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.题型二 已知两边及其中一边的对角解三角形(2)在△ABC中,若c= ,A=45°,a=2,求B,C,b.误区警示 已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时:(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.(2)在△ABC中,a=1,b= ,A=30°,求边c的长.题型三 利用正弦定理判断三角形的形状【例3】 (1)已知方程x2-bcos A·x+acos B=0的两根之积等于两根之和,且a,b是△ABC的两边,角A,B为边a,b的对角.试判断△ABC的形状.解:(1)设x1,x2为已知方程的两实根,由韦达定理知x1+x2=bcos A,x1x2=
acos B.
依题设知bcos A=acos B.
由正弦定理得2Rsin Bcos A=2Rsin Acos B.
即sin Acos B-sin Bcos A=0?sin(A-B)=0.
因为A∈(0,π),B∈(0,π),所以A-B∈(-π,π),
故A-B=0,得A=B,即△ABC为等腰三角形.(2)在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.因为sin2A=sin2B+sin2C,
所以a2=b2+c2,
所以△ABC是直角三角形且A=90°.
因为A=180°-(B+C),sin A=2sin Bcos C,
所以sin(B+C)=2sin Bcos C.
所以sin Bcos C-cos Bsin C=0,
即sin(B-C)=0,
所以B-C=0,即B=C.
所以△ABC是等腰直角三角形.方法技巧 根据边角关系判断三角形形状的途径:
①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解,配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个蕴含的结论.
在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.即时训练3-1:(1)在△ABC中,若a2tan B=b2tan A,则△ABC的形状为( )
(A)等腰三角形 (B)等腰直角三角形
(C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC的形状.(2)解:由已知有a2sin(A-B)+b2sin(A-B)=a2sin(A+B)-b2sin(A+B),
即2a2cos Asin B-2b2cos Bsin A=0,
所以a2cos Asin B-b2sin Acos B=0.
由正弦定理,
上式可化为sin2Acos Asin B-sin2Bsin Acos B=0,
即sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0,
因为sin A≠0,sin B≠0,
所以sin Acos A-sin Bcos B=0,
即sin 2A=sin 2B,
所以2A=2B或2A+2B=π,
所以A=B或A+B= .
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.点击进入 课时作业谢谢观赏！