1.1.2 余弦定理
1.在△ABC中,已知a2+b2=c2+ab,则C等于( B )
(A)30° (B)45° (C)150° (D)135°
解析:在△ABC中,由于已知a2+b2=c2+ab,
则由余弦定理可得cos C===,
所以C=45°,故选B.
2.在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于( A )
(A)32-16 (B)32+16
(C)16 (D)48
解析:由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos C=42+42-2×4×4×=32-16.
3.边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角之和为( B )
(A)90° (B)120° (C)135° (D)150°
解析:设边长为5,7,8的对角分别为A,B,C,则A
由题意cos B==.
所以cos(A+C)=-cos B=-,
所以A+C=120°.
4.在△ABC中,若B=120°,则a2+ac+c2-b2的值( C )
(A)大于0 (B)小于0
(C)等于0 (D)不确定
解析:由a2+c2-b2=2accos B,
即a2+c2-b2=2ac·cos 120°=-ac,
所以a2+ac+c2-b2=0.
故选C.
5.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于( D )
(A)- (B)- (C) (D)
解析:cos A==,
所以·=||||·cos A=3×2×=.故选D.
6.在△ABC中,已知A=30°,且3a=b=12,则c的值为( C )
(A)4 (B)8 (C)4或8 (D)无解
解析:由已知得a=4,b=4,所以根据余弦定理可得
a2=b2+c2-2bccos A,即16=48+c2-2×4·c·,
整理得c2-12c+32=0,解得c=4或8,故选C.
7.在△ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a=2bcos C,则
△ABC是( B )
(A)锐角三角形 (B)等腰三角形
(C)钝角三角形 (D)直角三角形
解析:因为a=2bcos C,所以cos C=,
因为cos C=,所以=,
化简整理得b=c,所以△ABC为等腰三角形.故选B.
8.△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-
asin A=asin C,则cos B为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题b2-a2=ac,代入c=2a,得b2=2a2.
所以由余弦定理,有cos B===.故选B.
9.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,
C=,则△ABC的面积为( C )
(A)3 (B) (C) (D)3
解析:c2=(a-b)2+6,所以a2+b2-c2=2ab-6,a2+b2-c2=2abcos C=ab,
所以2ab-6=ab,所以ab=6,所以S=absin C=,故选C.
10.在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则边c= .?
解析:c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=3,
所以c=.
答案:
11.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .?
解析:==×
=·
=1.
答案:1
12.已知锐角三角形三边分别为3,4,a,则a的取值范围是 .?
解析:分两种情况来考虑:
当a为最大边时,设a所对的角为α,由α为锐角,
根据余弦定理可得cos α=>0,
可知只要32+42-a2>0即可,可解得0当a不是最大边时,则4为最大边,
同理只要保证4所对的角为锐角就可以了,
则有32+a2-42>0,可解得a>,
综上可知a的取值范围为(,5).
答案:(,5)
13.在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=7,求BC边上的中线AD的长度.
解:因为在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=7,
所以cos C=
===.
所以AD2=AC2+CD2-2·AC·CD·cos C
=49+-2×7××
=.
所以AD==.
14.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,已知b2+c2-a2=bc.
(1)求角A的值;
(2)若a=,cos C=,求c的长.
解:(1)由b2+c2-a2=bc,得cos A==.
因为0所以A=.
(2)在△ABC中,A=,a=,cos C=,
所以sin C===.
由正弦定理知=,
所以c===.
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-b2=bc,
sin C=2sin B,则A等于( D )
(A)150° (B)120° (C)60° (D)30°
解析:根据sin C=2sin B,结合正弦定理可知c=2b,所以cos A=
===,因为A∈(0,π),所以A=30°,故选D.
16.△ABC各角的对应边分别为a,b,c,满足+≥1,则角A的取值范围是( A )
(A)(0,] (B)(0,] (C)[,π) (D)[,π)
解析:由+≥1,得b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),整理得b2+c2-a2≥bc,由余弦定理得cos A=≥=,所以A∈(0,].故选A.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2,则= .?
解析:因为a2=b2+c2,所以c2=4a2-4b2,
所以==
===.
答案:
18.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=6cos C,则+的值是 .?
解析:因为+=6cos C,由余弦定理得,=6·,所以a2+b2=,
则+=+
=(+)
=·
==
=·==4.
答案:4
19.已知在△ABC中,角A,B的对边分别为a,b,且=,试判断该三角形的形状.
解:法一 (转化为边来判断)
依余弦定理知cos A=,cos B=,
代入条件,得
b(1-)=a(1-),
即2bc-b2-c2+a2=2ac-c2-a2+b2,
a2-(b-c)2=b2-(a-c)2,
(a+b-c)(a-b+c)=(a+b-c)(b-a+c).
因为a+b-c>0,
所以a-b+c=b-a+c,
得a=b.
故△ABC为等腰三角形.
法二 (转化为角来判断)
依正弦定理知=,
所以=,
因为sin cos sin ≠0,
所以tan =tan .
又,∈(0,),
所以=,A=B,
即△ABC为等腰三角形.
20.在△ABC中,已知角C=,c=2.
(1)若△ABC的面积为,求a,b;
(2)若cos(A-B)+cos C=4sin2A,求△ABC的面积;
(3)求△ABC面积的最大值,以及周长的最大值.
解:(1)根据题意,可知
则得
解得
(2)根据题意,可知cos(A-B)-cos(A+B)=4sin2A.
展开左边,得2sin Asin B=4sin2A,即sin B=2sin A,b=2a.
由余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,代入条件可得
a2+(2a)2-a·(2a)=4,解得a=,b=.
因此,S△ABC=absin C=.
(3)根据题意,可知a2+b2-2abcos C=c2,
即a2+b2-ab=4.
因为由(a-b)2≥0,a2+b2-2ab≥0,所以a2+b2≥2ab.a2+b2-ab≥2ab-
ab=ab,所以ab≤4.
所以S△ABC=absin C=ab≤,
当且仅当a=b=2,即△ABC为正三角形时,S△ABC取得最大值.
根据正弦定理====,
可得a=sin A,b=sin B.
△ABC的周长=a+b+c=sin A+sin B+2
=[sin(120°-B)+sin B]+2
=[cos B-(-)sin B+sin B]+2
=·sin(B+)+2≤4+2=6,
此时B=,A=,
即△ABC为正三角形.
即周长的最大值为6.
课件29张PPT。1.1.2 余弦定理课标要求:1.掌握余弦定理及其推论.2.会用平面向量方法证明余弦定理.3.能利用余弦定理解决两类解三角形问题.4.能利用余弦定理,结合正弦定理判断三角形的形状.自主学习知识探究1.余弦定理的内容及推论三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即
a2= ,
b2= ,
c2= .
推论:cos A= ,cos B= ,cos C= .b2+c2-2bccos Aa2+c2-2accos Ba2+b2-2abcos C2.对余弦定理的理解
(1)适用范围:对任意的三角形,三个等式都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)简单应用:每个等式都涉及三边和一角四个元素,在等式中可做到知三求一.
若已知边求角时,应用余弦定理的推论较为简单.
(4)定理特例:当夹角为90°时(例如C=90°),则定理变为c2=a2+b2.这就是直角三角形中的勾股定理.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.(5)以cos A= 为例:
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立;
若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立.
由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.
由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都是锐角才行.自我检测1.△ABC的两边AB,AC的长分别为5和3,它们夹角的余弦值为- ,则该三角形的第三边长为( )
(A)52 (B)2 (C)16 (D)4BB C3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 >0,则△ABC( )
(A)一定是锐角三角形
(B)一定是直角三角形
(C)一定是钝角三角形
(D)是锐角或直角三角形解析:由 >0得-cos C>0,
所以cos C<0,从而C为钝角,
因此△ABC一定是钝角三角形.
故选C.4.在△ABC中,sin2A-sin2C-sin2B=sin Bsin C,则A等于( )
(A)30° (B)60° (C)90° (D)120°D5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cos B= .?题型一 已知两边及一角解三角形课堂探究【例1】 (1)在△ABC中,已知b=3,c=3 ,B=30°,求角A、角C和边a.方法技巧 三角形中,已知两边及一角解三角形有以下两种情况.
(1)三角形中已知两边和一边的对角,有两种解法.一是利用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程,运用解方程的方法求出第三边,这样可免去判断取舍的麻烦.二是运用正弦定理,先求角再求边.
(2)已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理或余弦定理推论求出另外两角.即时训练1-1:(1)在△ABC中,已知a=2,b=2 ,c=15°,求A.(2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,c=4( +1),解此三角形.题型二 已知三边(或三边关系)解三角形(2)在△ABC中,已知a2+c2=b2+ac,且sin A∶sin C=( +1)∶2,求角C.误区警示 (1)已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.
(2)用正弦定理求角时,要注意根据大边对大角的原理,确定角的大小,防止产生增解或漏解.即时训练2-1:(1)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg ,则A等于( )
(A)90° (B)60° (C)120° (D)150°(2)△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )解析:(2)由题c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4,
又C=60°,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,
所以2ab-4=-ab,
所以ab= .故选A.题型三 利用余弦定理判断三角形形状【例3】 (1)在△ABC中,若sin2A+sin2B(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)不能确定(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a+c=2b,且2cos 2B-
8cos B+5=0,求B的大小,并判断△ABC的形状.方法技巧 判断三角形形状的两种途径.其一是利用正、余弦定理将条件中的角转化为边,通过因式分解,配方等方式得出边的关系,进而判断三角形的形状;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角,通过三角变换,得出各内角间的关系,进而判断三角形的形状.即时训练3-1:(1)在△ABC中,若acos A+bcos B=ccos C.试判断△ABC的形状.(2)在△ABC中,若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A,判断△ABC的形状.点击进入 课时作业点击进入 周练卷(一)谢谢观赏！