第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2,C=,且a+b=3,则△ABC的面积为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,
所以22=a2+b2-2ab×cos ,
即4=(a+b)2-3ab,
又a+b=3,所以ab=,
所以S△ABC=absin=,故选D.
2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,
△ABC的面积为,则b等于( A )
(A)1+ (B)
(C) (D)2+
解析:由ac·sin 30°=,得ac=6,由余弦定理得b2=a2+c2-
2accos 30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,
所以b=+1.
3.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=,则边BC的长为( A )
(A) (B)3 (C) (D)7
解析:因为S△ABC=AB·ACsin A=,
所以AC=1,
由余弦定理可得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A
=4+1-2×2×1×cos 60°
=3.
即BC=.
故选A.
4.在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积是( D )
(A)2 (B)
(C)2或4 (D)或2
解析:在△ABC中,因为B=30°,AB=2,AC=2,
所以由==,
得sin C==,
又因为AB·sin 30°
所以C有两解,
所以C=60°或C=120°.
由三角形内角和定理得
A=90°或A=30°.
由面积公式S△ABC=AB·AC·sin A,
所以S△ABC=或S△ABC=2.故选D.
5.已知△ABC中,||=3,||=4,且·=-6,则△ABC的面积是( A )
(A)3 (B)3 (C)6 (D)6
解析:·=||||cos(180°-C)=-6,代入数据得cos(180°-
C)=-,解得cos C=,那么sin C=,所以S△ABC=||||sin C=
×3×4×=3.故选A.
6.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则等于( D )
(A) (B)2 (C) (D)
解析:S=bcsin A=,×1×c×=,c=4,
a2=b2+c2-2bccos A=1+16-2×1×4×cos 60°=13,a=,
由正弦定理===,故选D.
7.在△ABC中,a2+b2-ab=c2=2S△ABC,则△ABC一定是( B )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解析:由a2+b2-ab=c2得
cos C==,
所以C=60°.又2S△ABC=a2+b2-ab,
所以2×ab·sin 60°=a2+b2-ab,
得2a2+2b2-5ab=0,即a=2b或b=2a.
当a=2b时,由a2+b2-ab=c2得a2=b2+c2;
当b=2a时,由a2+b2-ab=c2得b2=a2+c2.
故△ABC为直角三角形.故选B.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acos B+bcos A=csin C,S=(b2+c2-a2),则B的度数为( C )
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
解析:因为acos B+bcos A=csin C,
由正弦定理可得
sin Acos B+cos Asin B=sin2C,
即sin(A+B)=sin2C,
因为sin C≠0,所以sin C=1,
故C=90°,
又S=bcsin A=(b2+c2-a2),
所以sin A==cos A,
所以tan A=1,
故A=45°,所以B=45°,故选C.
9.三角形一边长为14,它对的角为60°,另两边之比为8∶5,则此三角形面积为 .?
解析:设另外两边为8t,5t,由三角形余弦定理得=,所以t=2,
所以S=×8t×5t×=40.
答案:40
10.△ABC中A,B,C的对边分别是a,b,c,其面积S=,则其中C的大小是 .?
解析:根据面积公式S=absin C=,整理为sin C=,即sin C=cos C,解得tan C=1,C=.
答案:
11.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .?
解析:依题意知∠BDA=∠C+∠BAC,由正弦定理得=,
所以sin(∠C+∠BAC)=,
因为∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,
所以∠C+∠BAC=45°,
所以∠BAC=30°,∠C=30°.
从而AC=2·ABcos 30°=.
答案:
12.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若=+,且
2abcos C=c2,则m的值为 .?
解析:=+===,进一步整理得m=×
,根据正弦定理得=,所以m==2.
答案:2
13.在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,求证:a2+b2+c2=2(bccos A+accos B+abcos C).
证明:在△ABC中,由余弦定理得右边=2(bc·+ca·+ab·
)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边,所以原式
成立.
14.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为( C )
(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)由增加的长度决定
解析:设增加同样的长度为x>0,原来三边长为a,b,c,则新的三角形的三边长为a+x,b+x,c+x.由原三角形为锐角三角形可知,cos A=
>0,cos B=>0,cos C=>0,a+b>c,a+c>b,c+b>a,
则cos A′=
=>0,
即角A′为锐角;
cos B′=
=>0,
即角B′为锐角;
cos C′=
=>0,
即角C′为锐角;得到的新三角形为锐角三角形,
故选C.
15.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a2=b2+c2+bc,
a=,S为△ABC的面积,则S+cos Bcos C的最大值为( C )
(A)1 (B)+1
(C) (D)3
解析:因为a2=b2+c2+bc,
所以cos A==-,所以A=,
设△ABC外接圆的半径为R,
则2R===2,所以R=1,
所以S+cos Bcos C=bcsin A+cos Bcos C=bc+cos Bcos C=
sin Bsin C+cos Bcos C=cos(B-C),
故S+cos Bcos C的最大值为.故选C.
16.△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=7,b=5,c=6,则·= ;△ABC的面积为 .?
解析:由余弦定理cos B===,·=||||cos<,
>=6×7×(-)=-30,sin B==,
△ABC的面积为acsin B=×7×6×=6.
答案:-30 6
17.在△ABC中,A=60°,BC=,D是AB边上的一点,CD=,△BCD的面积为1,则AC的长为 .?
解析:因为A=60°,BC=,CD=,在△BCD中,由余弦定理可得,在
△BCD中,S△BCD=BC·CDsin∠BCD=××sin∠BCD=1,sin∠BCD=
,cos∠BCD=.
BD2=2+10-2×××=4,BD=2.
cos∠BDC==-,
所以∠BDC=135°,∠ADC=45°,
在△ADC中,
∠ADC=45°,A=60°,DC=,
由正弦定理可得=,所以AC=.
答案:
18.在△ABC中,cos 2A=cos2A-cos A.
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,sin B=2sin C,求S△ABC.
解:(1)由已知得(2cos2A-1)=cos2A-cos A,
所以cos A=.
因为0所以A=.
(2)由=可得==2,
所以b=2c.
因为cos A===,
所以c=,b=2,
所以S△ABC=bcsin A=×2××=.
19.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a>c,已知·
=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解:(1)由·=2,得c·a·cos B=2,
又cos B=,
所以ac=6,
由余弦定理得a2+c2=b2+2ac·cos B,又b=3,
所以a2+c2=9+4=13,
解得或
又a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B===.
由正弦定理得sin C=sin B=×=.
又a=b>c,所以∠C为锐角.
因此cos C===,
所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=×+×=.
课件27张PPT。第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用课标要求:1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形面积.2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题.3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.自主学习知识探究1.三角形中的面积公式2.解决与三角形有关的问题,常用到哪些定理及常见结论?(2)在三角形中大边对大角,反之亦然.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.自我检测1.在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S△ABC的值为( )BB 3.△ABC的三边长分别为a,b,c,点D为BC边上的中点,下列说法正确的是( )B4.已知锐角△ABC的面积为3 ,BC=4,CA=3,则角C的大小为 .?答案:60°5.在△ABC中,有下列命题:
①asin A=bsin B;
②asin B=bsin A;
③acos B=bcos A;
④若sin A>sin B,则A>B;
⑤若A>B,则sin A>sin B.
其中恒成立的命题序号为 .?解析:由正弦定理得,命题①等价于a2=b2,显然只有为等腰三角形时才成立;命题②显然成立;acos B=bcos A?sin Acos B=sin Bcos A?sin(A-B)=
0?A=B,故只有在等腰三角形时成立;A>B?a>b?sin A>sin B,显然命题④⑤成立.答案:②④⑤题型一 三角形面积的计算课堂探究【例1】 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且 a=2csin A.
(1)确定角C的大小;方法技巧 (1)本题采用了整体代换的思想,把a+b,ab作为整体,求解过程既方便又灵活.(1)求sin C的值;(2)求△ABC的面积S.题型二 平面图形中线段长度的计算【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(1)求cos∠CAD的值;方法技巧 三角形中的几何计算问题的解题要点及突破点
(1)正确挖掘图形中的几何条件是解题要点,善于应用正弦定理和余弦定理,只需解三角形.
(2)求解此类问题的突破点是仔细观察认真分析,迅速发现图形中较为隐蔽的几何条件.(2)若△BCD的面积为 ,求边AB的长.题型三 三角形中三角恒等式的证明问题【例3】 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c. 方法技巧 三角恒等式中,一般同时含有边和角,证明时既可以化边为角,也可化角为边,然后进行三角变换或者代数变换,通常依据式子的特征合理选择变化角度.点击进入 课时作业点击进入 周练卷(二)谢谢观赏！