1.2 应用举例
第一课时 正、余弦定理在实际中的应用
1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( B )
(A)a km (B)a km
(C)a km (D)2a km
解析:由题意得∠ACB=120°,
AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB=a.故选B.
2.设在南沙群岛相距10 n mile的A,B两小岛上的两个观测站,同时发现一外国船只C非法进入我领海.若在A望C和B成60°的视角,在B望C和A成75°的视角,则船只C距离最近观测站( C )
(A)5 n mile (B)5 n mile
(C)5 n mile (D)5 n mile
解析:结合题意作图如图,由B>A得BC
故船只C距离观测站B近.
因为在△ABC中,
因为=,
所以BC===5(n mile).
故选C.
3.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( A )
(A)10 海里 (B)10 海里
(C)20 海里 (D)20 海里
解析:根据已知条件可知△ABC中,AB=20,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠C=45°,由正弦定理,有=,所以BC==10.故选A.
4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为( B )
(A)20(+)海里/时 (B)20(-)海里/时
(C)20(+)海里/时 (D)20(-)海里/时
解析:由题意得∠SNM=105°,∠NSM=30°,
所以=,MN==,
货轮速度v===20(-).故选B.
5.如图,设A,B两点在河的两岸,测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点间的距离为( A )
(A)50 m (B)50 m
(C)25 m (D) m
解析:由正弦定理得=,又∠CBA=180°-45°-105°=30°,
故AB===50(m).故选A.
6.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出三种测量方案(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.
则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为( A )
(A)①②③ (B)②③
(C)①③ (D)①②
解析:对于①,在△ABC中,B=π-(A+C),所以sin B=sin(A+C).由正弦定理得=,所以c=.对于②,由余弦定理可得c2=a2+b2-
2abcos C,所以c=.对于③,在△ABC中,C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B),由正弦定理得=,所以c=.故能确定A,B间距离的所有方案的序号为①②③.故选A.
7.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救,则sin θ的值为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:连接BC.在△ABC中,AC=10海里,AB=20海里,∠CAB=120°.根据余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB=100+400+200=700,所以BC=10海里.根据正弦定理得=,即=,所以
sin∠ACB=,即sin θ=.故选A.
8.如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王向前走了
1 200 m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,则电视塔CD的高度为( A )
(A)600 m (B)600 m
(C)200 m (D)200 m
解析:在△ACM中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=180°-60°=120°,由正弦定理得=,
即=,解得AC=600,
在△ACD中,因为tan∠DAC==,
所以CD=ACtan∠DAC=600×=600.故选A.
9.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,
30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( C )
(A)240(-1)m
(B)180(-1)m
(C)120(-1)m
(D)30(+1)m
解析:因为AB=,=,
所以BC===120(-1).故选C.
10.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=
75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=
m.?
解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100,所以AC=100.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,
由正弦定理得,=,因此AM=100.
在Rt△MNA中,AM=100,∠MAN=60°,
由=sin 60°得MN=100×=150.
答案:150
11.如图所示,B,C,D三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为β和α(α<β),则A点距地面的高度AB为 .?
解析:AB=ACsin β,==,
解得AB=.
答案:
12.如图,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离为21 km,这时此车距离A城 km.?
解析:在△BCD中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,
由余弦定理得cos∠BDC===-,
所以sin∠BDC=,
在△ACD中,由条件知CD=21 km,∠CAD=60°,
所以sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)=×+×=.
由正弦定理得=,
所以AD=×=15(km),
故这时此车距离A城15 km.
答案:15
13.如图所示,已知树顶A离地面米,树上另一点B离地面米,某人在离地面米的C处看此树,则该人离此树 米时,看A,B的视角最大.?
解析:过C作CF⊥AB于点F(图略),
设∠ACB=α,∠BCF=β.
由已知得AB=-=5(米),
BF=-=4(米),
AF=-=9(米).
则tan(α+β)==,tan β==,
所以tan α=tan[(α+β)-β]===≤=.当且仅当FC=,即FC=6时,tan α取得最大值,此时α取得最大值.
答案:6
14.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水速度为2 km/h,则经过 h,该船实际航程为 .?
解析:如图所示,水流速和船速的合速度为v,在△OAB中,OB2=OA2+AB2-
2OA·AB·cos 60°,
所以OB=v=2 (km/h).
即船的实际速度为2 km/h,则经过小时,其路程为2×=6(km).
答案:6 km
15.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 米.?
解析:连接OC(图略),在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°.由余弦定理得OC2=1002+1502-2×100×150×cos 60°=17 500,解得OC=
50(米).
答案:50
16.一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8海里.此船的航速是
海里/小时.?
解析:在△ABS中,易知∠BAS=30°,∠ASB=45°,且边BS=8,
利用正弦定理可得=,即=得AB=16,又因为从A到S匀速航行时间为半个小时,
所以速度应为=32(海里/小时).
答案:32
17.我舰在岛A南偏西50°方向相距12 n mile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以10 n mile/h的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度为 .?
解析:设我舰速度为v n mile/h,在C处追上敌舰,由题意易知在△ABC中,AC=10×2=20,AB=12,∠BAC=120°,
所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=784,所以BC=28,所以v==
14(n mile/h).
答案:14 n mile/h
18.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一水平面上,若国歌播放的时间约为50秒,升旗手应以约多大的速度匀速升旗?
解:由题意易知△BCD中,∠BDC=30°+15°=45°,∠CBD=60°-
30°=30°,CD=10米,由正弦定理,得BC==20(米).在
Rt△ABC中,AB=BCsin 60°=20×=30(米),所以升旗速度约为=0.6(米/秒),即升旗手应以约0.6米/秒的速度匀速升旗.
19.如图所示,为了了解某海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=50 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=
80 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=110 m,求∠DEF的余弦值.
解:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H.
由题中所给数据得
DF===10,
DE===130,
EF===150.
在△DEF中,由余弦定理,得
cos∠DEF=
=
=.
所以∠DEF的余弦值为.
20.一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动,到达点B时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动,如图所示,已知AB=4 dm,AD=17 dm,∠BAD=45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?
解:设机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上,连接BC,如图所示,设BC=x dm,
由题意知CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.
在△ABC中,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,
即x2=(4)2+(17-2x)2-8(17-2x)cos 45°,
解得x1=5,x2=.
所以AC=17-2x=7(dm)或AC=-(dm)(舍去).
所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球.
课件35张PPT。1.2 应用举例
第一课时 正、余弦定理在实际中的应用课标要求:1.能够利用正弦定理、余弦定理解任意三角形.2.能够运用正弦定理、余弦定理解决实际中的测量问题.自主学习知识探究1.实际应用问题中的相关术语如下表:2.解三角形实际问题的主要类型
(1)当两点A,B之间的距离不能直接测量时,求A,B的距离分为以下三类:(2)当AB的高度不可直接测量时,求AB的高度分为三类:自我检测1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为( )
(A)α>β (B)α=β
(C)α+β=90° (D)α+β=180°B解析:根据仰角与俯角的定义知α=β.故选B.A2.某次测量中,若A在B的南偏东40°,则B在A的( )
(A)北偏西40° (B)北偏东50°
(C)北偏西50° (D)南偏西50°解析:由方向角的定义知选A.D3.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是( )
(A)a,c,α
(B)b,c,α
(C)c,a,β
(D)b,α,β解析:由正弦定理BC= ,故选D.4.如图,甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则乙楼的高是 m.?5.一船从港口A出发,沿北偏东30°方向行驶了3 km到达B岛,又沿南偏东60°方向行驶了3 km到达C岛,则C岛在港口A的北偏东 方向,距港口A km.?题型一 测量距离问题课堂探究【例1】 (1)甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15 min时,两船间的距离是( )(2)在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为 的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,
∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.误区警示 求距离问题的注意事项
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.即时训练1-1:如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°
(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.方法技巧 求两不可到达的点之间的距离问题,通常需要解多个三角形,通过一些相邻三角形公共边、角的相互转化,并综合应用正、余弦定理,来获得待求的距离.题型二 测量高度问题【例2】 (1)如图所示,为测量一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为( )A(2)如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.方法技巧 测量高度问题的方法:由于塔垂直于地面,因此一定会出现直角三角形,应抓住此条件求出直角三角形的某条边,再应用到其他三角形中.问题中,如果既有方向角又有仰(俯)角,在绘制图形时,可画出立体图形和平面图形两个图,以对比分析求解.变式探究:本例中,若将条件改为∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,且在C点测得塔顶A的仰角为60°,如何求塔高AB?即时训练2-1:如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.?题型三 测量角度问题【例3】 (1)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°方向,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B的( )
(A)北偏东10°方向
(B)北偏西10°方向
(C)南偏东10°方向
(D)南偏西10°方向(1)解析:由题意,得∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.
因为AC=BC,所以∠A=∠CBA=50°.
因为∠CBD=60°,所以∠ABD=60°-50°=10°.
故灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向.故选B.(2)解:若要最快追上走私船,
则两船所用时间相等.
假设在D处相遇,设缉私船用t h在D处追上走私船,如图.方法技巧 测量角度问题也就是通过解三角形求角的问题,求角问题可转化为求该角的三角函数值.若是用余弦定理求得该角的余弦,则该角易确定,若用正弦定理求得该角的正弦,则需讨论解的情况.即时训练3-1:某渔船在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10 nmile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以10 nmile/h的速度向某小岛B靠拢,我海军舰艇立即以10 nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.点击进入 课时作业谢谢观赏！