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《21.2.1解一元二次方程——配方法》导学案
课题 解一元二次方程－配方法 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.会用直接开平方法、配方法解一元二次方程，2.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能。
重点难点 重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式.
教学过程
知识链接 1.如果x2=a，则x就叫做a的___________。 2.如果x2=a，则x=___________. 3.如果x2=64，则x=____________
合作探究 知识1、直接开平方法工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点离墙的距离是多少? ●一般地,对于形如x2=p(p≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得这种解一元二次方程的方法叫做___________.◆对于一元二次方程x2=p，如果p≥0，那么就可以用开平方法求它的根： ◆当p>0时,方程有两个不相等的根：__________________ ◆当p=0时,方程有两个相等的根：___________ ◆当p＜0时,方程______实数根。例1、用开平方法解方程 （1）9x2=4 （2）（x+3）2=5 知识点2配方法利用完成下列填空：(1)x2＋8x＋_________=(x＋_____)2 (2)x2－3x＋_____=(x－______)2 (3)x2－12x＋_________=(x－___)2 观察每个式子前后的两个数有什么特点？ 思考：怎样解方程？ 例2、用配方法解下列方程（1）x2－8x+1 = 0； （2）； （3）． 归纳：一般地，对于方程（1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根:________________，（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根______________________（3）当P＜0时，方程___________实数根
自主尝试 知识1练习：1、填空： (1)方程x2=0.36的根是__________；(2)方程2x2=8的根是__________； (3)方程(x+1)2=1的根是_________2、用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0 (2) (2x－3)2=7 （3）（x+6）2-9=0 （4）3（x-1）2-6=0知识2练习：解下列方程：
当堂检测 1.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是( ） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 2.用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 3.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ）A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 4.一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( )A．1 s B．2 s C．1 s或2 s D．不能确定 5.若a，b，c是△ABC三边长，且满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6.已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m＝_________ ．7.已知x2＋y2＋4x＋6y＋13＝0且x，y为实数，则xy2＝____．8.用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10. 9.已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a＋19. (1)求证：B－A＞0； (2)指出A与C哪个大？并说明理由．
小结反思 通过本节课学习你有哪些收获？有哪些疑惑？你会利用直接开平方法和配方法来解一元二次方程？ 希望大家注意配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。
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《21.2.1解一元二次方程——配方法》导学案
课题 解一元二次方程－配方法 学科 数学 年级 九年级上册
教学目标 1.会用直接开平方法、配方法解一元二次方程，2.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能，3.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重点难点 重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式.
教学过程
知识链接 1.如果x2=a，则x就叫做a的___________。 2.如果x2=a，则x=___________. 3.如果x2=64，则x=____________（前面我们认识到了什么是一元二次方程，那么怎么解一元二次方程呢？今天我们就来学习形如x2=n的方程的解法！）
合作探究 知识1、直接开平方法工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点离墙的距离是多少?设BC=x,根据勾股定理，得 x2+42=52. 化简：x2=9, ∴x1==3,X2=-=-3 (不合题意，舍去）．●一般地,对于形如x2=p(p≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.◆对于一元二次方程x2=p，如果p≥0，那么就可以用开平方法求它的根： ◆当p>0时,方程有两个不相等的根： ◆当p=0时,方程有两个相等的根： ◆当p＜0时,方程没有实数根。 例1、用开平方法解方程 （1）9x2=4 解：两边同除以9，得利用开平方法，得x=∴原方程的根是x1=,x2=（2）（x+3）2=5 解：利用开平方法，得x+3=可得x+3=,x+3=∴原方程的根是x1=,x2=注意：这种解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。小结：一般来说，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，其步骤是：（1）通过移项、两边同除以a，把原方程变形为 （2）根据平方根的意义，可知 知识点2配方法利用完成下列填空：(1)x2＋8x＋_________=(x＋_____)2 (2)x2－3x＋_____=(x－______)2 (3)x2－12x＋_________=(x－___)2 观察每个式子前后的两个数有什么特点？结论：加上的最后一个常数是一次项系数一半的平方思考：怎样解方程？归纳：1.通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；2.配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程说明：引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．例2、用配方法解下列方程（1）x2－8x+1 = 0； （2）； （3）．学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析得到（1）中经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x－4）2=15；解得：（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即，方程两边都加上，方程可以化为；解得：（3）按照（2）的方式进行处理．最后求得方程无解总结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．说明：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理等），通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程． 归纳：一般地，对于方程（1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根，，（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根（3）当P＜0时，方程没有实数根
自主尝试 知识1练习：1、填空： (1)方程x2=0.36的根是__________；(2)方程2x2=8的根是__________； (3)方程(x+1)2=1的根是_________ 答案：（1）x1=0.6,x2=-0.6 （2）x1=2,x2=-2 （3）x1=0,x2=-22、用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0 (2) (2x－3)2=7 （3）（x+6）2-9=0 （4）3（x-1）2-6=0答案：（1）（2）（3）解得：x1=－3,x2=－9. （4）知识2练习：解下列方程： 答案：（1）原方程无实数根
当堂检测 1.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是( ）C A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 2.用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )DA．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 3.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ）BA.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 4.一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( )CA．1 s B．2 s C．1 s或2 s D．不能确定 5.若a，b，c是△ABC三边长，且满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则三角形是( )BA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6.已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m＝_________ ．答案：7.已知x2＋y2＋4x＋6y＋13＝0且x，y为实数，则xy2＝____．答案：-188.用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10. 证明：将2x2－8x＋18配方得2(x－2)2＋10. ∵(x－2)2≥0，即2x2－8x＋18≥10， ∴无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10 9.已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a＋19. (1)求证：B－A＞0； (2)指出A与C哪个大？并说明理由． 解：(1)B－A＝(a－1)2＋2＞0 (2)C－A＝(a＋2)2＋13＞0，∴C＞A
小结反思 通过本节课学习你有哪些收获？有哪些疑惑？你会利用直接开平方法和配方法来解一元二次方程？ 希望大家注意配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。
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