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习题演练详细解题过程
1. 求数列
【解】∵ =
∴
.
2. 求数列
【解】∵
3. 求数列
【解】∵
4. 求数列
【解】∵
5. 求数列
【解】∵
6. 求数列
【解】∵
7. 求数列
【解】∵
8. 求数列 的前n项和。
【解】∵
9. 求数列
【解】∵ ①
②
于是 ① = ②得：
10. 求数列：
【解】∵
∴
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求数列前n项和习题演练
1. 求数列
2. 求数列
3. 求数列
4. 求数列
5. 求数列
6. 求数列
7. 求数列
8. 求数列
9. 求数列
10. 求数列：
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求数列前n项和的方法
求数列前n项的和，通常有下列七种方法和技巧。
（1） 利用等差数列和等比数列的求和公式
例1 求数列
【解】=
= 。
例2 求数列4, 44，444,4444，…， ，……的前项和。
【解】∵
∴
。
（2） 用倒序相加法
推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。一般地说，前n项具有与两端等距离项的和相等的数列都可用这种方法求和。
例3 已知 是等差数列，求和
。 ①
【解】∵ ， ②
即 ，
由①+ ②，得：
，
由等差数列的性质，易得：
，
故，
于是。
（3） 利用错位相减法
例4 求数列 的前n求和(x≠0，x≠1)。
【解】设 ， ①
则 ， ②
由①- ②，得
于是。
（4） 用化差相减法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
，
，
，
（a≠0），
例5 求数列 的前n求和。
【解】
。
例6 求数列。
【解】∵，
∴，
基本原理提示：代数式变形凑相消特征：，由此可联想求更高次方幂的n项和。
从而
。
（5） 利用组合数求和公式法
因为 ，则 ，利用这个组合数公式，求某些特殊数列的前n和颇为方便。
例7 求数列
【解】∵，
∴
。
例8 求数列。
【解】∵
。
∴
，
。
（6） 用数学归纳法
例9 求数列的前n项和。
【解】，
，
，
从而 假设 ，则
于是 由数学归纳法，可知
例10 是否存在常数a，b，c，使得等式：
对一切自然数n都成立？并证明你的结论。
【解】假设存在a，b，c ，使题中等式成立，则
当n=1时，有 ，
当n=2时，有 ，
当n=3时，有 。
从而有
解之，得 a=3， b=11, c=10（提示： 此处用待定系数法求a, b , c值）
于是 当n=1, 2, 3时下列等式成立
记
设 n=k时，，
则
于是 当n=k+1时等式也成立。
故 当a=3, b=11, c=10时，题设的等式对一切的自然数n都成立。
（7） 利用自然数方幂和公式
常用的自然数方幂有：
，
，
。
例11 求和。
【解】∵
提示：通项式展开以便用常用的自然数方幂和公式求和
∴
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