2018-2019学年北京师大附中九年级（下）开学考试数学试卷解析版

2018-2019学年北京师大附中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．|a|＞b B．|b|＜a C．a+b＞0 D．﹣a＜b
3．如图，两个等直径圆柱构成的T形管道，则其俯视图正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．中国结是一种我国特有的手工编织工艺品，它的造型独特、绚丽多彩、寓意深刻、内涵丰富，是我国传统吉祥装饰物品．下列中国结图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．将一把直尺与一块含45度的三角板如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）
A．115° B．125° C．130° D．135°
6．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“一袋苹果”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“一袋苹果”区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
下列说法不正确的是（　　）
A．当n很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2 000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得“一盒樱桃”
7．如果a﹣3b＝0，那么代数式（a﹣）÷的值是（　　）
A． B． C． D．1
8．下面的统计图反映了我国最近十年间核电发电量的增长情况，根据统计图提供的信息，下列判断合理的是（　　）
A．2011年我国的核电发电量占总发电量的比值约为1.5%
B．2006年我国的总发电量约为25000亿千瓦时
C．2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的2倍
D．我国的核电发电量从2008年开始突破1000亿千瓦时
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是　 　．
10．分解因式：a3﹣ab2＝　 　．
11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱，普通酒一斗的价格是10钱，现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒各多少？设买美酒x斗，买普通酒y斗，则可列方程组为　 　．
12．完全相同的3个小球上面分别标有数﹣2、﹣1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是　 　．
13．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于　 　．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD的过程：　 　．
15．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则甲建筑物的高度为　 　m，乙建筑物的高度为　 　m．
16．下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：以AB为斜边的一个等腰直角三角形ABC．
作法：如图，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；
（4）连接AC，BC．
则△ABC即为所求作的三角形．
请回答：在上面的作图过程中，①△ABC是直角三角形的依据是　 　；②△ABC是等腰三角形的依据是　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）计算：6cos60°﹣+（π﹣2）0﹣|﹣2|．
18．（5分）解不等式组：
19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k的取值．
21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE＝CD，连接CE，DE．
（1）求证：四边形CDBE为矩形；
（2）若AC＝2，tan∠ACD＝，求DE的长．
22．（5分）如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点B（0，1），与反比例函数y＝ 的图象交于点A（3，﹣2）．
（1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式；
（2）若点C是y轴上一点，且BC＝BA，直接写出点C的坐标．
24．（6分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下，请补充完整．
收集数据17
18
16
12
24
15
27
25
18
19
22
17
16
19
31
29
16
14
15
25
15
31
23
17
15
15
27
27
16
19
整理、描述数据
销售额/万元
12
14
15
16
17
18
19
22
23
24
25
27
29
31
人数
1
1
4
3
2
1
1
1
2
3
1
2
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
平均数
众数
中位数
20
　 　
18
得出结论（1）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额应定为　 　万元．
（2）如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月　 　万元，理由为　 　．
25．（6分）阅读材料：
工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工．处理这种材料时，材料温度y（℃）是时间x（min）的函数．下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：
（1）在这个函数关系中，自变量x的取值范围是　 　．
（2）如表记录了17min内10个时间点材料温度y随时间x变化的情况：
时间x（min）
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
…
温度y（℃）
15
24
42
60
m
…
上表中m的值为　 　．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，已经描出了上表中的部分点．根据描出的点，画出该函数的图象．
（4）根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当0≤x≤5时，y与x之间的函数表达式为　 　，当x＞5时，y与x之间的函数表达式为　 　．
（5）根据工艺的要求，当材料的温度不低于30℃时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为　 　min．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2．
（1）求抛物线的对称轴及m的值（用含字母a的代数式表示）；
（2）当??＞0时，抛物线??＝????2﹣4????+??的顶点为C，若△ABC为等边三角形，则求抛物线的解析式；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，过点B作直线l∥AC，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，直线CA'，CB'分别交直线l于点D，E．
（1）当点A'，D首次重合时，
①请在图1中，补全旋转后的图形；
②直接写出∠A'CB的度数；
（2）如图2，若CD⊥AB，求线段DE的长；
（3）求线段DE长度的最小值．
28．（7分）对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”．例如：在平面直角坐标系xOy中，以点（1，1）为圆心，1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”．
（1）下列各点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，0），D（1，﹣1）中，可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是　 　；
（2）若⊙P为y轴和直线l：y＝x所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙P的半径为1，求点P的坐标．
（3）若⊙Q为x轴和直线??＝﹣??+2所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙Q的半径1≤r≤2，直接写出点Q横坐标xQ的取值范围．

2018-2019学年北京师大附中九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
2．【解答】解：由数轴知：a＝﹣2，1＜b＜2，a＜0＜b
因为|a|＝2，所以|a|＞b，故选项A正确；
因为|b|＝b＞a，故选项B错误；
因为|a|＞|b|，a+b取a的符号，即a+b＜0，故选项C错误；
因为﹣a＝2＞b，故选项D错误．
故选：A．
3．【解答】解：两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道的俯视图是矩形和圆的组合图，且圆位于矩形的中心位置，
故选：B．
4．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
5．【解答】解：如图，由三角形的外角性质得：
∠3＝90°+∠1＝90°+35°＝125°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝125°．
故选：B．
6．【解答】解：A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；
由A可知B、转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70，故B选项正确；
C、指针落在“一盒樱桃”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有2000×0.3＝600次，故C选项正确；
D、随机事件，结果不确定，故D选项正确．
故选：D．
7．【解答】解：当a﹣3b＝0时，
即a＝3b
∴原式＝?
＝?
＝
＝
＝
故选：A．
8．【解答】解：A、2011年我国的核电发电量占总发电量的比值大于1.5%、小于2%，此选项错误；
B、2006年我国的总发电量约为500÷2.0%＝25000亿千瓦时，此选项正确；
C、2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的显然不到2倍，此选项错误；
D、我国的核电发电量从2012年开始突破1000亿千瓦时，此选项错误；
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【解答】解：由题意得，x+4≥0，
解得，x≥﹣4，
故答案为：x≥﹣4．
10．【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
11．【解答】解：依题意得：．
故答案是：．
12．【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有6种结果，
所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为＝，
故答案为：．
13．【解答】解：连接OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOC＝＝π．
故答案为π．
14．【解答】解：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD，
故答案为：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD．
15．【解答】解：如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，BC＝30m，
∵tan∠DBC＝，
∴CD＝BC?tan60°＝30m，
∴甲建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF＝45°，
∴DF＝AF＝BC＝30m，
∴AB＝CF＝CD﹣DF＝（30﹣30）m，
∴乙建筑物的高度为（30﹣30）m．
故答案为：30、30﹣30．
16．【解答】解：根据作图可知：OC＝OA＝OB，
∴△ABC是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵PQ垂直平分线段AB，
∴CA＝CB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．【解答】解：原式＝6×﹣3+1﹣（2﹣），
＝3﹣3+1﹣2+，
＝．
18．【解答】解：
由①得：x≥﹣3，
由②得：x＞2，
所以不等式组的解集为：x＞2．
19．【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
20．【解答】解：（1）由题意得，△＝16﹣8（k﹣1）≥0．
∴k≤3．
（2）∵k为正整数，
∴k＝1，2，3．
当k＝1时，方程2x2+4x+k﹣1＝0有一个根为零；
当k＝2时，方程2x2+4x+k﹣1＝0无整数根；
当k＝3时，方程2x2+4x+k﹣1＝0有两个非零的整数根．
综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．
21．【解答】（1）证明：
∵CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，
∴∠CDA＝∠DBE＝90°．
∴CD∥BE，
又∵BE＝CD，
∴四边形CDBE为平行四边形，
又∵∠DBE＝90°，
∴四边形CDBE为矩形；
（2）∵四边形CDBE为矩形，
∴DE＝BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
可得∠ACD＝∠ABC．
∵，
∴．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，，
∴．
∴DE＝BC＝4．
22．【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
∵HF＝HG，∴∠1＝∠HGF．
∵∠HGF＝∠3，∴∠3＝∠1．
∵OF＝OB，∴∠B＝∠2．
∴∠B+∠3＝90°．
∴∠BEG＝90°．
∴AB⊥CD．
（2）解：如图，连接AF，
∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，
∴∠AFB＝90°．
即∠2+∠4＝90°．
∴∠HGF＝∠1＝∠4＝∠A．
在Rt△AFB中，AB＝＝＝4．
∴⊙O的半径长为2．
23．【解答】解：（1）∵双曲线y＝ 过A（3，﹣2），将A（3，﹣2）代入y＝，
解得：m＝﹣6．
∴所求反比例函数表达式为：y＝﹣．
∵点A（3，﹣2），点B（0，1）在直线y＝kx+b上，
∴﹣2＝3k+b，b＝1，
∴k＝﹣1，
∴所求一次函数表达式为y＝﹣x+1．
（2）由A（3，﹣2），B（0，1）可得，AB＝＝3，
∴BC＝3，
又∵BO＝1，
∴CO＝3+1或3﹣1，
∴C（0，3+1 ）或 C（0，1﹣3 ）．
24．【解答】解：（1）∵15出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是15，
如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额可定为18 万元；
故答案为：15；18；
（2）如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月20万元，理由为：从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大．可以估计，月销售额定位每月20万元是一个较高的目标，大约会有的营业员获得奖励．
故答案为：20，从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大．可以估计，月销售额定位每月20万元是一个较高的目标，大约会有的营业员获得奖励．
25．【解答】解：（1）根据题意知x≥0，
故答案为：x≥0；
（2）x＞5时，时间与温度乘积不变，故15m＝300，
m＝20，
故答案为：20；
（3）
（4）当x＜5时，设，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，把（0，15）、（1，24）代入得
解得k＝9，b＝15，
∴y＝9x+15；
当≥5时，设，y与x之间的函数表达式为y＝，把（15，20）代入得k＝300，
∴，
故答案为：y＝9x+15，y＝；
（5）当y＝30时，
30＝9x+15，30＝，
解得x＝，x＝10，
10﹣，
故答案为：．
26．【解答】解：
（1）由抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）
得，抛物线的对称轴为直线：x＝2
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2
有对称性可得：A（1，0）B（3，0）
把点A代入抛物线解析式可得：a﹣4a+m＝0
解得：m＝3a
（2）当??＞0时，抛物线??＝????2﹣4????+??的顶点为C
∴当x＝2时，y＝4a﹣8a+3a＝﹣a
∴C（2，﹣a）
△ABC为等边三角形，且AB＝2
∴|﹣a|＝2sin60°＝
∴C（2，﹣）
即：a＝抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3
（3）由（2）知，抛物线顶点C（2，﹣a）
要使抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点
则这五个整点分别是（1，0），（2，0），（3，0）（2，﹣1），（2，﹣2）
∴﹣3＜﹣a≤﹣2
解得：2≤a＜3
27．【解答】解：（1）①补全图形如图所示：
②∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，
∴AC＝A'C＝2，
∵cos∠A'CB＝
∴∠A'CB的度数为 30°；
（2）
∵CD⊥AB，A'C⊥B'C
∴CE∥AB，且BE∥CA，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴BE＝AC＝2，
∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°．
∴∠A＝∠BCD
∵AC∥BE
∴∠CBD+∠ACB＝180°
∴∠CBD＝90°
∵tan∠BCD＝tan∠A＝＝
∴BD＝
∴DE＝BE+BD＝2+＝
（3）如图，取DE中点F，连接CF，
∵点F是Rt△CDE斜边DE的中点，
∴CF＝DE，
即CF的值最小时，DE有最小值，
∴当点F与点B重合时，CF的值最小，
∴DE的最小值为2．
28．【解答】解：（1）∵2＝2，1＝|﹣1|，
∴可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是A，D．
故答案为：A，D．
（2）当点P在第一象限时，过点P作PA⊥y轴于点A，PB⊥直线l于点B，如图1所示．
∵点B为直线y＝x上一点，
∴设点B的坐标为（x，x）．
设直线y＝x与x轴夹角为α，
∵tanα＝，
∴直线l与x轴的夹角为30°，
∴∠AOB＝60°．
又∵⊙P与y轴及直线OB均相切，
∴OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝30°．
又∵AP＝1，
∴OA＝，
∴点P的坐标为（1，）．
同理，当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣1，﹣）．
（3）设直线??＝﹣??+2与x轴交于点M，与y轴交于点N，过点Q作QR⊥x轴于点R，则点M的坐标为（2，0），点N的坐标为（0，2），如图2所示．
∵tan∠OMN＝＝，
∴∠OMN＝60°，
∴∠RMQ＝30°．
当QR＝1时，MR＝＝；
当QR＝2时，MR＝＝2．
∴点Q横坐标xQ的取值范围为2﹣2≤xQ≤2﹣或2+≤xQ≤2+2．