1．1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
1．通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系；
2．通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征；
3．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．(重点、难点)
一、情景导入
请看演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
总结：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等．(2)菱形是特殊的平行四边形，即当一个平行四边形的一组邻边相等时，该平行四边形是菱形．不能忽略平行四边形这一前提，而错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形．
二、合作探究
探究点一：菱形的性质
【类型一】 菱形的四条边相等
如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( )
A．10
B．12
C．15
D．20
解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，继而根据AB＝5求出△ABD的周长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴△ABD的周长＝3AB＝15.
故选C.
方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．
【类型二】 菱形的对角线互相垂直
如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算．
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
AO＝AC，BO＝BD.
因为AC＝6cm，BD＝12cm，
所以AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AB＝＝＝3(cm)．
所以菱形的周长＝4AB＝4×3＝12(cm)．
方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．
【类型三】 菱形是轴对称图形
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
解析：要证明AE＝AF，需要先证明△ACE≌△ACF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
在△ACE和△ACF中，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
探究点二：菱形的面积的计算方法
如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．
解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，
于是S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
所以13h＝120，得h＝.
方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
三、板书设计
菱形
为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展.
特殊平行四边形
菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
教 学 目 标
1、会归纳菱形的特性并进行证明；
2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明；
3、在进行探索、猜想、证明过程中，进一步发展推理论证的能力，体会证明的必要性.
重点：菱形的性质定理证明
难点：菱形的性质定理证明、运用 ，生活数学与理论数学的相互转化.
知识链接： 平行四边形的性质与判定
一 、课前预习：
1．复习平行四边形的性质.
边：
角：
对角线：
对称性：
2.菱形的定义是什么？
___ ____
菱形是不是中心对称图形? ，对称中心是___ __
3.请动手制作一个菱形，折—折，观察并填空.
菱形是不是轴对称图形? ，对称轴有几条?_______，分别是 ___ ____
二、探索活动：
探索活动（一）：
菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。
菱形特有的性质是（性质定理）：
菱形的四条边_______ ______；菱形的对角线____ _________。
探索活动（二）：
试证明上述定理
已知：_____________________________________。
求证：（1）__________________________；
（2）__________________________。
探索活动(三)：
已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,图中存在特殊的三角形吗？
如果菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为 ；周长为 面积为 ）
你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？
由此可得：菱形的面积__________________________________.
由此得到菱形的两种面积计算方法：
1. _____________________________________________
2. _____________________________________________
你会计算菱形的周长吗？
三、例题精讲
例1．课本3页例1
例2．已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：OE=OF=OG=OH.
四、课堂检测：
1．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是________cm．
2．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．
3．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为
4．已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米.
5．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
6.在菱形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积
五、学习体会：
第2课时 菱形的判定
1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点)
2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)
一、情景导入
木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形．
二、合作探究
探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图所示，?ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形．
解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.
∴∠FDO＝∠EBO.
又∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(ASA)．
∴OF＝OE.
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分的．
探究点二：四边相等的四边形是菱形
如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
解析：根据平移的性质可得CF＝AD＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝＝10(cm)，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
探究点三：菱形的判定和性质的综合应用
如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8.
方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．
三、板书设计
经历菱形的证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括
以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
第2时 菱形的判定
教 学
目 标
1、掌握菱形的判定定理并解决实际问题，会根据已知条件画出菱形
2、能够运用综合法证明菱形的判定定理及其推论。
3、经历探索菱形判定的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。
重点：严格证明菱形判定定理及其推论。
难点：运用综合法解决菱形的相关题型。
知识链接： 平行四边形的性质与判定
【学习过程】
一、课前自主学习
菱形的对边 。
菱形的四边 。
菱形的性质： 菱形的对角线 。
菱形是 对称图形，又是 对称图形。
菱形的面积= 或 菱形的面积=
二、课内探索新知。
菱形的判定方法：
方法一：（定义）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
方法二：
用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过探究，得到：对角线 的平行四边形是菱形。
证明上述结论：
已知菱形的一条对角线你会做菱形吗？试一试
方法三：一个同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。
通过探究，得到： 的四边形是菱形。
证明上述结论：
三、例题巩固
课本6页例2
四、课堂检测
1、下列判别错误的是( )
A.对角线互相垂直,平分的四边形是菱形. B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. D.邻边相等的平行四边形是菱形.
2、下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分
3、要判断一个四边形是菱形，可以首先判断它是一个平行四边形，然后再判定这个四边形的一组__________或两条对角线__________.
4、已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F
求证：四边形AFCE是菱形
