初三数学专题——旋转相似讲义（含解析）

专题：旋转相似
模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。


条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。
结论：⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。
⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）










模型特例：共直角顶点的直角三角形相似


当∠AOB=∠COD=90°时，除
⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD
⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明）
外，还有结论
⑶、
⑷、因为AC⊥BD于点E，那么，若连AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则













例题讲解
例1.已知△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF.
（1）如图1，若∠ACB=900,探究BF与CD间的数量关系；
（2）如图2，若tan∠ACB=，求的值；
（3）如图3，若△ABC中AC=BC=a ，将△DEF绕点O旋转，设直线CD与直线BF交于点H，则最大值为__________（用含a的式子表示）。
分析：
（1）连OC，OD，△OBF≌ △OCD，BF=CD





（2）构造手拉手旋转相似。可证△OBC∽ △OFD, △ODC∽ △OFB
==tan
问题转化为已知tan∠ACB=，求tan的问题，必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。
由右图提示可得tan=；
（3）由（2）△OBC∽ △OFD, △ODC∽ △OFB，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a ，定边定角，点H在以BC为直径的圆上，易求







例2.如图１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证：AG＝CE；求的值

分析：如图2，证，∴AG=CE
如图2，连接BD，BF，DF，
　　　易证，，
　　　
∴
∴

∴
变式：如图3，正方形ABCD和EFGH中，O为BC，EF中点(1)求证：AH=DG;(2)求的值。

分析：(1)连接
易证：



例3.如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长。



分析：
连接BE，由基本图形易得
可证△ACD∽△BCE，AD＝ EQ \F(, 3 )BE，∠BAE＝90°
在Rt△ABE作，由勾股定理求得BE＝10
则AD＝ EQ \F(10, 3 )




练习1.如图，点A是△DBC内一点，求BD得长。
















分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.










练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针旋转，直线AF与直线BG交于点I.
(1) 求证：AF⊥BG；
(2) 当旋转角小于90°时，求的值；
(3) 若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________.







分析：
（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。















练习3．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD的延长线交直线CE于点P．
（1）如图2，BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________；
（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP的长；
（3）当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长．







分析：
（1）BD＝CE BD⊥CE
（2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90°
又∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四边形ADPE为正方形
∵AB＝2AD＝4，∴PE＝AD＝2
∴CE＝BD＝＝2
∴CP＝2－2
（3）取BC中点O，连接OA、OP
∵在旋转过程中，BD⊥CE，∴∠BPC＝90°
∴OP＝ BC＝2
∴点P的运动路径是以O为圆心、半径为2的一段圆弧
即△ABC外接圆的一部分
则∠AOP＝2∠ABP
易知点D在以A为圆心、半径为2的半圆上运动
当BP与半圆A相切于点D时，∠ABP最大，从而∠AOP最大
∵AD＝ AB，∴∠ABP＝30°，∴∠AOP＝60°
即当△ADE从初始位置旋转60°时，点P沿圆弧从A点运动到∠AOP＝60°
当△ADE继续旋转，直至点D落在BA的延长线上时，∠ABP＝0°，∠AOP＝0°
∴点P从∠AOP＝60°处又回到A点
∴点P所经过的路径的长为：2×＝



A

E

D

B

C

A

E

D

B

C

A

E

D

B

C

A

E

B

C

图1

图2

D

A

D

B

C

E

P

A

E

B

C

D

O

P