人教高中数学选修4-4第二讲-参数方程(圆锥曲线的参数方程)课件（48张）
文档属性
| 名称 | 人教高中数学选修4-4第二讲-参数方程(圆锥曲线的参数方程)课件（48张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-10 12:47:36 | ||
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文档简介
第二讲 参数方程
圆锥曲线的参数方程
椭圆的参数方程
复习
圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:
3.椭圆的标准方程：
它的参数方程是什么样的？
M
如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆,
点B是大圆半径OA与小圆的交点,
过点A作AN⊥Ox,垂足为N,
过点B作BM⊥AN,垂足为M,
A
N
B
设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，
点M的坐标是(x, y)。
那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。
由于点A, B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:
y＝NM＝
x＝ON＝
这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。
常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。
|OA|cosθ＝acosθ，
|OB|sinθ＝bsinθ
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
圆的标准方程:
圆的参数方程:
x2+y2=r2
θ的几何意义是
∠AOP=θ
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,
不是∠MOX=φ.
称为点M的离心角
小 结
椭圆的标准方程：
椭圆的参数方程：
一般地：
在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长. a>b
练习 把下列普通方程化为参数方程.
把下列参数方程化为普通方程
所以直线OP的倾角的正切值是:
解：因为椭圆的参数方程为
所以可设点M的坐标为
由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.
分析1：
分析2：
分析3：
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
矩形面积和周长分别是S、L
此时α存在。
例6 θ取一切实数时，连接
A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)
两点的线段的中点轨迹是 .
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段
消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:
(α≠0且α≠π), A(a, 0)
而OP⊥AP，
B
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
练习:
1 θ取一切实数时，连接
A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 .
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段
( )
B
双曲线的参数方程
M
以原点O为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C1,C2.
设A为圆C1上任一点, 作直线OA,
过A作圆C1的切线AA'与x交于点A',
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。
过点A', B'分别作y轴, x轴的平行线A'M, B'M交于点M,
设OA与OX所成角为φ(φ∈[0, 2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)
求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。
?
b
a
o
x
y
)
M
B
A
事实上
(t 是参数, t >0)
化为普通方程, 画出方程的曲线.
练习:
例1. 求点M0(0, 2)到双曲线x2－y2=1上点的最小距离。
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为
解得点A的横坐标为
平行四边形MAOB的面积为
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，
与点M在双曲线上的位置无关
说明：
例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。
取顶点A2(a, 0), 弦AB ∥Ox，
∴弦AB对A1张直角，
同理对A2也张直角．
，
于是线段AB中垂线方程为
例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。
抛物线的参数方程
前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:
对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？
以抛物线的普通方程
为例，其中p为焦点到准线的距离。
设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α
因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得
这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.
当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),
就表示整条抛物线．参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
C
练习
当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？
代入得 cos2φ+4cos φ+2m-1=0
所以 t2+4t+2m-1=0 在[-1, 1]内有解；
3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p>0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.
练习
4 经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。
由y2=2px和y=kx，得
同理B点坐标(2pk2,-2pk)
当直线与曲线恒有公共点时，必满足
圆锥曲线的参数方程
椭圆的参数方程
复习
圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:
3.椭圆的标准方程：
它的参数方程是什么样的？
M
如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆,
点B是大圆半径OA与小圆的交点,
过点A作AN⊥Ox,垂足为N,
过点B作BM⊥AN,垂足为M,
A
N
B
设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，
点M的坐标是(x, y)。
那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。
由于点A, B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:
y＝NM＝
x＝ON＝
这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。
常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。
|OA|cosθ＝acosθ，
|OB|sinθ＝bsinθ
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
圆的标准方程:
圆的参数方程:
x2+y2=r2
θ的几何意义是
∠AOP=θ
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,
不是∠MOX=φ.
称为点M的离心角
小 结
椭圆的标准方程：
椭圆的参数方程：
一般地：
在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长. a>b
练习 把下列普通方程化为参数方程.
把下列参数方程化为普通方程
所以直线OP的倾角的正切值是:
解：因为椭圆的参数方程为
所以可设点M的坐标为
由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.
分析1：
分析2：
分析3：
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
矩形面积和周长分别是S、L
此时α存在。
例6 θ取一切实数时，连接
A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)
两点的线段的中点轨迹是 .
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段
消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:
(α≠0且α≠π), A(a, 0)
而OP⊥AP，
B
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
练习:
1 θ取一切实数时，连接
A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 .
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段
( )
B
双曲线的参数方程
M
以原点O为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C1,C2.
设A为圆C1上任一点, 作直线OA,
过A作圆C1的切线AA'与x交于点A',
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。
过点A', B'分别作y轴, x轴的平行线A'M, B'M交于点M,
设OA与OX所成角为φ(φ∈[0, 2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)
求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。
?
b
a
o
x
y
)
M
B
A
事实上
(t 是参数, t >0)
化为普通方程, 画出方程的曲线.
练习:
例1. 求点M0(0, 2)到双曲线x2－y2=1上点的最小距离。
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为
解得点A的横坐标为
平行四边形MAOB的面积为
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，
与点M在双曲线上的位置无关
说明：
例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。
取顶点A2(a, 0), 弦AB ∥Ox，
∴弦AB对A1张直角，
同理对A2也张直角．
，
于是线段AB中垂线方程为
例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。
抛物线的参数方程
前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:
对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？
以抛物线的普通方程
为例，其中p为焦点到准线的距离。
设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α
因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得
这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.
当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),
就表示整条抛物线．参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
C
练习
当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？
代入得 cos2φ+4cos φ+2m-1=0
所以 t2+4t+2m-1=0 在[-1, 1]内有解；
3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p>0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.
练习
4 经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。
由y2=2px和y=kx，得
同理B点坐标(2pk2,-2pk)
当直线与曲线恒有公共点时，必满足