人教高中数学选修4-4第二讲2.1.1参数方程普通方程互化课件（28张）

第2课时　参数方程和普通方程的互化
第二讲　一 曲线的参考方程

学习目标
1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题.
复习回顾
齐次函数（化一）
非齐次函数（化二）

x＝rcosθ
y＝rsinθ

x＝ a ＋ rcosθ
y＝ b ＋ rsinθ
圆的参数方程
1. 运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题.
反思与感悟
思考2　
把参数方程化为普通方程的关键是什么？
答案
答案　关键是消参数.
(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化
①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过
_________ 而从参数方程得到普通方程；
②如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么
梳理
就是曲线
的参数方程.
消去参数
x＝f(t)
y＝g(t)
(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法
①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；
③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.
特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.
例1　将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.

类型一　参数方程化为普通方程
得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线.
所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2).
方程表示直线(去掉一点(－1,2)).
所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2). 方程表示直线(去掉一点(－1,2)).
消去参数方程中参数的技巧
(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数.
(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法.
(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.
反思与感悟
跟踪训练1　将下列参数方程化为普通方程.
∴(x－1)2＋y＝cos2θ＋sin2θ＝1， 即y＝－(x－1)2＋1(0≤y≤1)，
∴普通方程为y＝－x2＋1(0≤y≤1).
(2)　由x＝sin θ－cos θ，得x2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ，
∴x2＋y＝1， ∴普通方程为y＝－x2＋1(0≤y≤1).
例2　根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程.

类型二　普通方程化为参数方程
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)
(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得
y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，
(1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.
(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.
反思与感悟
跟踪训练2　已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.
(1)若令y＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？
解 (1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cos θ.
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？
(2)将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，
因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是
例3　已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为

类型三　参数方程与普通方程互化的应用
(1)求3x＋4y的最大值和最小值； (2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标.
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
(1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程.
(2)解决与圆有关的最大值，最小值时，通常用圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最大值，最小值问题.
反思与感悟
跟踪训练3　在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
.(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值.
解　(1)直线l的方程为x－y＋4＝0，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋4＝0.
所以ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
1.若点P在曲线ρcosθ＋2ρsinθ＝3上，其中0≤θ≤ ，ρ>0，则点P的轨迹是( )
A.直线x＋2y＝3 B.以(3,0)为端点的射线
C.圆(x－1)2＋y2＝1 D.以(1,1)，(3,0)为端点的线段
D
2.将参数方程 (θ为参数)化成普通方程为( )
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)
解析　由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，
∴y＝x－2.
又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].
C
y2＝x＋1(－1≤x≤1)
圆
解析　x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25，表示圆.
x2－y＝2(y≥2)
规律与方法
1.参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.
2.同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.
3.参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.