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《 21.2.2解二元一次方程——公式法 》导学案
课题 解二元一次方程—公式法 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程2.了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程3.会利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
重点难点 重点： 求根公式的推导和公式法的应用难点： 一元二次方程求根公式法的推
学习过程
知识链接 1、 解方程 x 2 = 25，依据是什么？请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2…这些方程有什么共同的特征？ 2、试一试解方程 x 2 + 2x -4 = 0 它具有的结构特征是？ 3、想一想用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？
合作探究 知识1、求根公式【探究一】:研读课本 p10页的探究内容，理解求根公式的推导过程尝试用配方法解方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。 解：方程两边都除以a，得 。 移项，得： 。 配方，得： 。即：（x＋）2＝ ∵a≠0，所以4a2>0 当b2－4ac≥0时，得 x＋＝ 。 ∴x＝ 。 即对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时， 它的根是x＝ 。 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。 【探究二】请思考在【探究一】中，当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根吗？并说出理由。●结论：一般地，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况有：（1）当b2－4ac≥0时，它的根是x＝________________（称为求根公式） 即 x1=______________ ，x2=_________________ 。 (2)当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)_________实数根。例1、用公式法解下列方程：（1）x2-4x-7=0 （2）2x2-2x+1=0 知识2、判别式“b2-4ac” 定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式.通常用“△”表示，即_________________归纳：当△>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有_______________实数根；当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有 _______________ 实数根； 当△<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）_______________实数根．反之，方程有实数根，也可以用“△”求解字母的范围，或者值。例2、 k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
自主尝试 知识点1练习：填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0 ，完成后面的练习： 解：a=_______，b= _______ ，c =_______ b2-4ac=_____________________ = ______________ . x=______________=______________.=_______即 x1 =_______ , x2 =_______ . 例1、后面的练习：用公式法解方程：（1） 5x2-4x-12=0 （2）x2+17=8x 知识点2练习：1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0; (2)x2-(m+1)x+m=0. 2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内） （1）x2-8=0 （2）x2+9=0 （3） x2+x+1=0 （4）x2+x-1=0 （5）2x2-x+3=0 （6）-2x2+x+3=0
当堂检测 1、若关于x的一元二次方程nx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝(n＋1)x－n的图象不经过( )A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ） A . m ﹥0 B . m ≥ 0 C . m ﹥ 0 且m≠1 D .m≥0且m≠1 3、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2- =0有两个相等的实数根，则k=____.4、解方程：ax2-5x+5=0 5、求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根 6、在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
小结反思 回顾下列内容，你会了吗？师生共同总结。一、用公式法解一元二次方程的一般步骤： 二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
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《 21.2.2解二元一次方程——公式法 》导学案
课题 解二元一次方程—公式法 学科 数学 年级 九年级上册
教学目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程2.了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程3.会利用根的判别式判断一元二次方程根的情况4.通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心
重点难点 重点： 求根公式的推导和公式法的应用难点： 一元二次方程求根公式法的推
教学过程
知识链接 1、 解方程 x 2 = 25，依据是什么？请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2…这些方程有什么共同的特征？ 2、试一试解方程 x 2 + 2x -4 = 0 它具有的结构特征是？ 3、想一想用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？ 是不是所有的一元二次方程都适合用配方法呢？今天我们一起来学习一种万能的解法——公式法！
合作探究 知识1、求根公式【探究一】:研读课本 p10页的探究内容，理解求根公式的推导过程尝试用配方法解方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。 解：方程两边都除以a，得 。 移项，得： 。 配方，得： 。即：（x＋）2＝ ∵a≠0，所以4a2>0 当b2－4ac≥0时，得 x＋＝ 。 ∴x＝ 。 即对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时， 它的根是x＝ 。 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。 【探究二】请思考在【探究一】中，当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根吗？并说出理由。●结论：一般地，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况有：（1）当b2－4ac≥0时，它的根是x＝（称为求根公式） 即 ， 。 (2)当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。例1、用公式法解下列方程：（1）x2-4x-7=0 解：a=`1 b=-4 c=-7⊿=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0∴方程有两个不相等的实数根 ∴x＝=（2）2x2-2x+1=0●小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤：1.变形：化已知方程为一般形式; 2.确定系数：用a,b,c写出各项系数3.计算： b2-4ac的值;判定根的情况4.代入:把有关数值代入公式X= (a≠0, b2-4ac≥0)计算; 5.定根:写出原方程的根.知识2、判别式“b2-4ac” 定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式.通常用“△”表示，即_________________归纳：当△>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有_______________实数根；当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有 _______________ 实数根； 当△<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）_______________实数根．反之，方程有实数根，也可以用“△”求解字母的范围，或者值。例2、 k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根. 解：∵一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.∴b≠0且b2-4ac≧0 解得：k≦且k≠0●小结：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. (4)当Δ≥0时，方程有两个实数根2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面的知识主要用来求字母取值范围等问题：求判别式时，应该先将方程化为一般形式. ?应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不0.
自主尝试 知识点1练习：填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0 ，完成后面的练习： 解：a=_______，b= _______ ，c =_______ 答案：3、 5、 -2 b2-4ac=_____________________ = ______________ .答案：52-4×3×(-2)、 49 x=______________=______________.=_______ 答案：、 .、即 x1 =_______ , x2 =_______ . 答案：-2、 例1、后面的练习：用公式法解方程：（1） 5x2-4x-12=0 （2）x2+17=8x 答案：(1)x1= , x2=2 (2)该方程无解 知识点2练习：1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0; (2)x2-(m+1)x+m=0.答案：（1）⊿＞0，方程有两个不相等的实数根；⊿≧0方程有两个实数根 2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内） （1）x2-8=0 （2）x2+9=0（3） x2+x+1=0 （4）x2+x-1=0（5）2x2-x+3=0 （6）-2x2+x+3=0答案：有两个实数根的方程的序号是（ （1）（4）（6） ） 没有实数根的方程的序号是（ （2）（3）（5） ）小结：任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根
当堂检测 1、若关于x的一元二次方程nx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝(n＋1)x－n的图象不经过( )CA.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ）D A . m ﹥0 B . m ≥ 0 C . m ﹥ 0 且m≠1 D .m≥0且m≠1 3、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2- =0有两个相等的实数根，则k=____.(答案：2)4、解方程：ax2-5x+5=0解：当a=0时，-5x+1=0 x=1. 当a≠0时，方程为一元二次方程. ⊿=25-20a 当⊿＞0，即a＜时，x= 当⊿=0，即a=时,x=2 当⊿＜0，即a＞时,方程无解。 5、求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根 证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157=（m-11）2+36 ∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0 ∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0 ∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式 6、在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长． 解：由Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝b2＋8b－20＝0，解得b＝2或b＝－10(不合题意，舍去)，∴b＝2 (1)当c＝b＝2时，b＋c＝4＜5，不合题意； (2)当c＝a＝5时，周长为a＋b＋c＝12
小结反思 回顾下列内容，你会了吗？师生共同总结。一、用公式法解一元二次方程的一般步骤： 二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
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21.2.2解二元一次方程
——公式法
人教版 九年级上
新知导入
1、 解方程 x 2 = 25，依据是什么？
解得 x 1 = 5，x 2 = - 5．
平方根的意义
请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？
结构特征：方程可化成 x 2 = p 的形式，
平方根的意义
降次
（当 p≥0 时）
新知导入
2、试一试解方程 x 2 + 2x -4 = 0
平方根的意义
降次
（当 p≥0 时）
新知导入
3、用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤：
基本步骤如下：
①将二次项系数化为1.
②将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项.
③两边都加上一次项系数一半的平方.
④直接用开平方法求出它的解.
新知讲解
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
1.化1:把二次项系数化为1;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
知识1、求根公式
新知讲解
探究
由①得
方程有两个不等的实数根
方程有两个相等的实数根
特别提醒：求解时必须写
新知讲解
探究
由①得
而x取任何实数都不能使
因此方程无实数根
新知讲解
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
归纳：
一元二次方程的求根公式
巩固练习
填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0
解：a= ，b= ，c = .
b2-4ac= = .
x= = .= .
即 x1 = , x2 = .
3
5
-2
52-4×3×(-2)
49
-2
(a≠0, b2-4ac≥0)
例题讲解
例 1 、用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0
巩固练习
解：由原方程移项，得X2-8x+17=0
（2）x2+17=8x
∵△=（-8）2-4×1×17=-4＜0
所以，该方程无解.
（1） 5x2-4x-12=0
用公式法解方程
新知讲解
1.变形:化已知方程为一般形式;
3.计算: b2-4ac的值;判定根的情况
5.定根:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
小结：
新知讲解
反之，
归纳：
知识2、判别式“b2-4ac”
巩固练习
1、不解方程，判断根的情况.
(1)2x2-4x-5=0;
(2)x2-(m+1)x+m=0.
=56
>0
∴方程有两个不相等的实数根；
∴当m-1=0时，
≥0
方程有两个相等的实数根；
方程有两个不相等的实数根；
当m-1≠0时，
解：
解：
巩固练习
2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
有两个实数根的方程的序号是（ ）
没有实数根的方程的序号是（ ）
任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根
新知讲解
例2、 k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
解：
∵
一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴
k≠0，
又∵
= 4-12k
∴
4-12k ≥0，
解得
∴
当
方程有实数根.
且
k≠0 时，
新知讲解
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程无实数根.
(4)当Δ≥0时，方程有两个实数根
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面
的知识主要用来求字母取值范围等问题.
?求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
?应用判别式解决有关问题时，前提条件为
“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
小结：
巩固练习
1、若关于x的一元二次方程nx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝(n＋1)x－n的图象不经过( )
A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D.第四象限
C
2、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ）
A . m ﹥0 B . m ≥ 0
C . m ﹥ 0 且m≠1 D .m ≥0且m≠1
解：由题意，得：m-1≠0①
⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②
解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
D
巩固练习
2
解：
当a=0时，-5x+1=0 x=1.
当a≠0时，方程为一元二次方程.
4、解方程：ax2-5x+5=0
巩固练习
5、求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根
证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）
=m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157
=（m-11）2+36
∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0
∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根
小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式
把判别式配方
巩固练习
解：由Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝b2＋8b－20＝0，解得b＝2或b＝－10(不合题意，舍去)，∴b＝2
(1)当c＝b＝2时，b＋c＝4＜5，不合题意；
(2)当c＝a＝5时，周长为a＋b＋c＝12
6、在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的
方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
课堂总结
一、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程无实数根.
(4)当Δ≥0时，方程有两个实数根
作业布置
教材12页练习1题
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