华师大版数学九年级上21.1二次根式教学设计
课题
二次根式
单元
21
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1.理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.
2.理解（a≥0）是非负数和()2=a.
3.理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.
过程与方法目标
1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出()2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.
3.通过具体数据的解答，探究a2=a(a≥0)?a(a<0)，并利用这个结论解决具体问题.
情感态度与价值观目标
通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.
重点
二次根式的概念以及二次根式的有关性质.
难点
二次根式的性质
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：
师：请同学们回想以前学的知识，填一填
1.425的平方根是 ，81的算术平方根是 。
2.当x 时，3x+2的值是零
3.若x2=64，则3x= .
学生填空，老师给予订正
通过复习，提高学生学习的积极性.
讲授新课
课件展示：
师：在八年级的时候我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进一个新的记号a
你还记得a表示什么？
生：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根；
生：当a是零时，a等于0，也叫零的算术平方根；
生：当a是负数时，a没有意义.
师：a需要满足什么条件？为什么？
生： a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
师：什么是二次根式？
生：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式
师：二次根式有什么特征？
生：(1)从形式上看，带二次根号“”
(2)从被开方数来看，a≥0.
师：1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号“”
4. a≥0,a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
课件展示：
练习：
下列各式是二次根式吗?
(1)32? (2)6 (3)?12
(4)?m(m≤0) (5)xy(x,y异号) (6)a2+1 (7)35
师：我们知道a(a≥0)是一个非负数，即a≥0(a≥0)，那么(a)2(a≥0)等于什么？
生：(a)2=a?(a≥0)
师：二次根式有什么基本性质呢？
生：(1)√??≥??(a≥0)
(2)(a)2=a?(a≥0)
课件展示：
例 x是怎样的实数时，二次根式x?1有意义？
课件展示：
计算下列各式的值：
(1)22= ,(?2)2= ； (2)32= ,(?3)2= ;
(3)02= .
观察分析：
(1)a2中a的取值有没有限制？
(2)当a≥0时，a2= ；当a<0时，a2= .
师：二次根式a2怎样化简
生：我觉得应该讨论，有时应该等于a，有的等于-a
师：很好，a2=a=a,(a≥0)?a,(a<0)
师：思考：若(m?4)2=4?m，则m的取值范围是 。
生：m≤4
师：式子(a)2与a2有区别吗？
生：从运算顺序来看,
(a)2 先开方，后平方
a2 先平方，后开方
生：从取值范围来看
(a)2 a≥0
a2 a取任何实数
生：从运算结果来看:
(a)2 =a
a2 =a=a,(a≥0)?a,(a<0)
学生回顾前面的内容，总结二次根式的概念.
巩固所学知识
师生共同总结二次根式的基本性质
学生解答，老师总结步骤
学生填空，总结二次根式a2的化简.
师生共同总结式子(a)2与a2的区别
学生通过回顾以前内容，激发学习的积极性，更好的进入课堂.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性
巩固学的知识
培养学生分析归纳的能力.
课堂练习
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．?x?2 B．x
C．x2+2 D．x2?2
答案：C
2.要使式子x+?x有意义，那么x的取值范围是（ ）
A.x＞0 B.x＜0 C.x=0 D.x≠0
答案：C
3.若１＜Ｘ＜４，则化简(x?4)2+(x?1)2的结果是＿＿＿＿＿
答案：3
4.若实数x、y，满足x+2+(y?3)2=0，则xy的值是 ______.
答案：-23
5.当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
(1)x?3+6?x (2)1?x+x?1
(3)x2+2 (4)x+1
答案：
(1)3≤x≤6 (2)x=1 (3)x为任何实数
(4)x为任何实数
拓展提高
已知x，y均为实数，且y=1?x2+x2?1x+1+2，求4y+x4的值．
答案：
解：由题意得，1?x2≥0，x2?1≥0且x+1≠0， ∴x2=1且x≠?1， 解得x=1，y=2， ∴4y+x4=4×2+1=3．
中考链接
1.（芜湖中考）要使式子a+2a有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
答案：D
2.(湖州中考)二次根式x?1中x的取值范围是( )
A.x<1 B.x≤1 C.x>1 D.x≥1
答案：D
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
可以照顾不层次的学生，调动学生学习积极性
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
1.二次根式的定义
形如a(a≥0)的式子叫做二次根式
2.二次根式的性质
a≥0(a≥0)
(a)2=a?(a≥0)
a2=a=a,(a≥0)?a,(a<0)
课件22张PPT。21.1二次根式华师大版 九年级上复习导入????3?2问题：新知讲解??新知讲解a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零. ???新知讲解概括??2. a可以是数,也可以是式.??5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根( 双重非负性)注意：新知讲解?下列各式是二次根式吗????自主练习新知讲解???总结：二次根式的基本性质??例题解析?分析?要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数??22330观察分析：a-a新知讲解新知讲解???m≤4新知讲解?1.从运算顺序来看,?2.从取值范围来看, ?3.从运算结果来看:??C课堂练习C?3?课堂练习5.当x为怎样的实数时，下列各式有意义？?解：(1)∵x-3≥0
∴x≥3
∵6-x≥0
∴x≤6
∴3≤x≤6(2)∵1-x≥0
∴x≤1
∵x-1≥0
∴x≥1
∴x=1??课堂练习?拓展提高??中考链接DD课堂总结?二次根式的性质二次根式???板书设计1.二次根式的定义2.二次根式的性质????作业布置?谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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21.1二次根式导学案
课题
二次根式
单元
21
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1．理解二次根式的概念。
2.通过讨论、交流，使学生学会分析二次根式的双重非负性及应用。
重点难点
重点：理解二次根式的概念。
难点：二次根式的双重非负性。
教学过程
知识链接
填一填
1.每一个正实数a有且只有 个平方根，其中一个平方根是 ，记作
，称它为a的算术平方根，另一个平方根是 。
2.0的平方根是 ，记作0，0= 。
3.425的平方根是 ，81的算术平方根是 。
4.当x 时，3x+2的值是零
5.若x2=64，则3x= .
合作探究
一、教材第2页回顾：
a表示什么？
.
.
二、教材第2页概括：
1. 叫做二次根式。
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数.
二次根式表示为a(a≥0)，“”称为二次根号
讨论：①-1有算术平方根吗？
②0的算术平方根是多少？
③当a<0，a有意义吗？
例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2，33，1x，xx>0，0，42，?2，1x+y，x+y(x≥0,y≥0)
归纳：
式子a≥0(a≥0)表示 。
(a)2=a(a≥0)表示 。
例2 计算
(32)2，(35)2，(56)2，(72)2
三、教材第2页注意：
例 x是怎样的实数时，二次根式x?1有意义？
四、教材第3页思考：
计算下列各式的值：
(1)22= ,(?2)2= ；(2)32= ,(?3)2=
(3)02= .
观察分析：
(1)a2中a的取值有没有限制？
(2)当a≥0时，a2= ；当a<0时，a2= .
五、教材第3页概括：
当a≥0时，(a)2 =
当a＜0时，(a)2 = .
自主尝试
1.各式是二次根式吗?
(1)32? (2)6 (3)?12
(4)?m(m≤0) (5)xy(x,y异号) (6)a2+1 (7)35
2、思考：若(m?4)2=4?m，则m的取值范围是 。
【方法宝典】1、二次根式的特征
①a可以是数,也可以是式.
②形式上含有二次根号“”
③既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
2、根据a2=a=a,(a≥0)?a,(a<0)进行解答即可.
当堂检测
1.下列各式一定是二次根式的是（ ）
A.?7 B.32m C.a2+1 D.ab
2.若2＜a＜3，则(2?a)2?(a?3)2等于（ ）
A.5﹣2a B.1﹣2a C.2a﹣1 D.2a﹣5
3.若(x?1)2=1﹣x，则x的取值范围是（ ）
A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤1
4.已知，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．6
5. 若y=2x?5+5?x+2，则x=_______ ,y=___________ ．
6.求使下列各式有意义的x的取值范围？
(1)x+2?3?2x (2)?x?1x+1 (3)1x?1
拓展提高
已知、为实数，且，求的值．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
1.二次根式的概念。
2.二次根式的性质。
3.二次根式a2的化简.
参考答案：
当堂检测：
1、C
2、D
3、D
4、C
5、5, 6
6、(1)-2≤x≤32 (2)x≤0且x≠-1 (3)x≠1
拓展提高
解：由题意得，，且．
∴， ∴．
∴．
