北师大版数学九年级上册同步课时训练
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第3课时 菱形的性质和判定的综合应用
自主预习 基础达标
知识点1 菱形的面积
1. 已知菱形ABCD两条对角线长a，b，则S菱形ABCD＝ .
2. 已知菱形ABCD一条边a，这条边上的高h，则S菱形ABCD＝ .
知识点2 菱形的判定和性质的综合应用
1. 在判定了菱形之后，再运用菱形及其他几何图形的性质，便可进一步解决其他问题．
2. 菱形的性质可用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题．
课后集训 巩固提升
1. 如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是( )
A．6 B．12 C．24 D．48
第1题 第2题
2. 如图，在平面直角坐标系中，四边OABC是菱形，点C的坐标为(1，2)，则菱形OABC的面积是( )
A. B．2 C．2 D．2－1
3. 如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( )
A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm
第3题 第4题
4. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝ .
5. 如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD＝1∶2，则AO∶BO＝ ，菱形ABCD的面积S＝ .
6. 如图，?ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝，AO＝3，BO＝1.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)求?ABCD的面积．
7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，AE∥BC，CE∥AD.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，CD．
(1)求证：四边形ADCF是菱形．
(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．
9. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.
(1)求证：四边形EFCD是菱形；
(2)设CD＝4，求D，F两点间的距离．
10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
11. 如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F.
(1)求证：四边形BEDF为菱形；
(2)如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．
12. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，但AD≠CD，我们称这样的四边形为“半菱形”．小明说：“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半．”他的说法正确吗？请判断并证明你的结论．
参考答案
自主预习 基础达标
知识点1 1. ab 2. ah
课后集训 巩固提升
1. C 2. B 3. A
4.
5. 1∶2 16
6. 解：(1)证明：∵AB＝，AO＝3，BO＝1，∴AB2＝10＝AO2＋BO2＝9＋1，∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.
(2)在?ABCD中，∵AC⊥BD，∴?ABCD是菱形．S菱形ABCD＝AC·BD＝·2OA·2OB＝2OA·OB＝6.
7. 解：(1)证明：∵AE∥DC，EC∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形．
(2)∵∠B＝60°，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，∵AD∥CE，∴∠DCE＝60°.∵CD＝AD＝6，∴CF＝CD＝3.∵四边形ADCE是菱形，∴CE＝CD＝6，∴EF＝3.
8. 解：(1)证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴点A，C在一条直线上，点D，E，F在一条直线上，AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形．∵D，E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC．∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形．
(2)在Rt△ABC中，∵BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵D是AB边上的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝FC＝AD＝5，∴四边形ABCF的周长为8＋10＋5＋5＝28.
9. 解：(1)证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED＝CD，∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°，∴AB∥CD，DE∥CF.又∵EF∥AB，∴EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形．又∵ED＝CD，∴?EFCD是菱形．
(2)连接DF，与CE相交于点G，由CD＝4，可知CG＝2，∴DG＝＝2，∴DF＝4.
10. 解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC．又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BE＝EF，∴?BCFE是菱形．
(2)由(1)知，四边形BCFE是菱形．∴BE＝BC，CF∥BE，∴∠EBC＋∠BCF＝180°.∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝BC＝CE＝4.过点E作EH⊥BC于点H.∴BH＝BC＝2.∴EH＝＝＝2.∴S菱形BCFE＝BC·EH＝4×2＝8.
11. 解：(1)证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形．∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE.又四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF为菱形．
(2)过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°＝∠C，DB＝DC＝6.∵DH⊥BC，∠C＝30°，∴DC＝2DH＝6，∴DH＝3.∵DF∥AB，∴∠A＝∠FDC＝90°，且∠C＝30°，DC＝6，∴DC＝DF，∴DF＝2.∵四边形BEDF为菱形，∴BF＝DF＝2，∴S菱形BEDF＝BF×DH＝2×3＝6.
12. 解：正确．证明如下：连接AC，BD交于点O，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，
