北师大版数学九年级上册同步课时训练
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
自主预习 基础达标
知识点1 矩形的定义及其性质
1. 定义：有 角是 的平行四边形叫做矩形．
2. 性质：(1)矩形四个角是 ．
(2)矩形的对角线 ．
(3)矩形的对称性：
①矩形是轴对称图形，共有 对称轴，对称轴是过每一组对边中点的两条直线．
②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ．
课后集训 巩固提升
1. 如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
第1题 第2题
2. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点交O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为( )
A．85° B．80° C．75° D．70°
3. 下列说法错误的是( )
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
4. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，AD的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A． B． C． D．不确定
5. 如图，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后三角形的周长是( )
A．2＋ B．2＋2 C．12 D．18
6. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是 .
7. 已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝ .
第7题 第8题
8. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN.若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为 .
9. 如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 .
第9题 第10题
10. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为 .
11. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE.
求证：AB＝DF.
12. 如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且EF＝CE，求AE的长．
13. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连接AF，CE.
(1)求证：△BEC≌△DFA；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
14. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．
应用：如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O.
(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
(2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
参考答案
自主预习 基础达标
知识点1 1. 一个 直角 2. (1)直角 (2)相等 (3)①两条
知识点2 一半
课后集训 巩固提升
1. B 2. C 3. C 4. A 5. B
6. 30cm2
7. 2
8. 2
9. 20
10.
11. 证明：在矩形ABCD中，∵BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB.∵DF⊥AE，AE＝BC＝AD，∴∠AFD＝∠B＝90°.在△DFA和△ABE中，∴△DFA≌△ABE(AAS)，∴AB＝DF.
12. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝DC .∵EF⊥CE，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠DEC．又∵EF＝CE，∴△AEF≌△DCE(AAS)，∴AE＝DC．∵AB＋BC＋DC＋AD＝16，AB＝DC，BC＝AD，∴AD＋DC＝8，∴AE＋DE＋DC＝8，∴AE＋2＋AE＝8，∴AE＝3.
13. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝DA，AB＝CD．又∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD，∴BE＝DF，∴△BEC≌△DFA(SAS)．
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，AB＝CD．又∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”，∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝AD＝3.∵△AOB和△AOE是“友好三角形”，∴S△AOB＝S△AOE.∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF，∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2××4×3＝12.
