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《21.2.3解一元二次方程——因式分解法》导学案
课题 解一元二次方程——因式分解法 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1．会用因式分解法解一元二次方程； 2．会用十字相乘法解一元二次方程； 3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.
重点难点 重点：因式分解法解一些一元二次方程 难点：能够正确选择方法解一元二次方程.
学习过程
知识链接 1、什么叫分解因式? 常用分解因式的方法有哪些？ 3、我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
合作探究 知识1、因式分解法思考：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度 竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：_____________根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？ 试一试：用配方法或公式法解这个方程。 对比两种解法，看看能否找到更为简单的办法? 先因式分解使方程化为两个____次式的乘积等于___的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现_____.这种解法叫做因式分解法.例1、 解下列方程: (1)x(x-2)+x-2=0; 归纳：分解因式法解一元二次方程的步骤是: 想一想：公式法、配方法和因式分解法有什么异同？ 知识2、十字相乘法因式分解试一试填空：(x+a)(x+b)=______________ x2+(a+b)x+ab=____________ 通过你的答案，你发现什么？例、把x2+3x-18分解因式 例2、用十字相乘法解下列方程
自主尝试 知识1练习：1．方程x2－3x＝0的解为( )A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2 3.下列能用因式分解法的是___________________. 4.当x=________时，分式的值为0. 例1、后的巩固练习：用因式分解法解下列方程： （1）3x2-6x=-3 （2）4x2-121=0 （3）(x-4)2=(5-2x)2 知识2、巩固练习：分解a2-a-12的结果为（ ） (a-3)(a+4) B.(a+3)(a-4) C.(a-6)(a+2) D.(a+6)(a-2)分解x2+2x-8的结果为（ ） (x+4)(x-2) B.(x-4)(x+2) C.(x+4)(x+2) D.(x-4)(x-2)若多项式M分解的因式是(x-2)(x-3),则M是（ ）x2-5x-6 B.x2+5x+6 C. x2-5x+6 D.x2+5x-6
当堂检测 1、按要求填空： ① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-2=0 ⑧ x2-2x-8=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) ⑩ 2y2+3y-2=0 适合运用直接开平方法__________________；适合运用因式分解法__________________； 适合运用公式法__________________； 适合运用配方法__________________ . 适合运用十字相乘法__________________ . 2、已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( ) A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4) C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4) 3、已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为( ) A．7 B．－1 C．7或－1 D．－2或6 4、用适当方法解下列方程：（1）（1-x）2= (2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y； (5)(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2. 5、已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 6、先化简，再求值: 其中x2-x=0
小结反思 本节课你有哪些收获？总结解一元二次方程的方法，解答自己的疑惑
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《21.2.3解一元二次方程——因式分解法》导学案
课题 解一元二次方程——因式分解法 学科 数学 年级 九年级上册
教学目标 1．会用因式分解法解一元二次方程； 2．会用十字相乘法解一元二次方程； 3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.
重点难点 重点：因式分解法解一些一元二次方程 难点：能够正确选择方法解一元二次方程.
教学过程
知识链接 1、什么叫分解因式? 常用分解因式的方法有哪些？ 3、我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? 是不是所有的一元二次方程都适用于前面学过的方法：直接开平方法、配方法、公式法？在有的情况下，我们能不能找到一种比较简单的解题方法？这节课我们一起来学习因式分解法解一元二次方程。
合作探究 知识1、因式分解法思考：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度 竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：_____________根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？答案：10x-4.9x2设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m,即：10x-4.9x2=0试一试：用配方法或公式法解这个方程。请两个同学上台板演，其他学生尝试分析10x-4.9x2=0的解题过程，对比两种解法，看看能否找到更为简单的办法?我们知道：10x-4.9x2因式分解，得:x（10-4.9x）即：只需要使x（10-4.9x）=0 .根据ab=0 则a=0或b=0得：x=0,或10-4.9x=0 即：x1=0, x2≈2.04 这两个根中，x2≈2.04表示物体大约在2.04s时落回地面。x1=0表示物体在0 s时被抛出，高度是0 m。讨论：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的? 可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.注意：1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0 ”例1、 解下列方程: (1)x(x-2)+x-2=0; 解：提公因式：(x-2)(x+2)=0 ∴x-2=0或x+2=0解：移项，合并同类项： 4x2-1=0 (2x-1)(2x+1)=0 ∴2x-1=0或2x+1=0归纳：分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.想一想：公式法、配方法和因式分解法有什么异同？ 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式； 因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．知识2、十字相乘法因式分解试一试填空：(x+a)(x+b)=______________ x2+(a+b)x+ab=____________ 通过你的答案，发现：对于二次三项式x2+px+q,如果常数q能分解为两个因数a,b的积，并且a+b=q时，（其中a与b的和是一次项系数）就可以用上面的公式因式分解。例、把x2+3x-18分解因式 解:原式=(x+6)(x-3) 例2、用十字相乘法解下列方程解：分解因式： （x-6）（x+3）=0 ∴x-6=0或x+3=0 x1=6, x2=-3解：分解因式：（3x-2）（x+4）=0 ∴3x-2=0或x+4=0 x1=, x2=-4
自主尝试 知识1练习：1．方程x2－3x＝0的解为( )DA．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )DA．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2 3.下列能用因式分解法的是___________________.答案：（1）（2）（4） 4.当x=________时，分式的值为0. 答案：1例1、后的巩固练习：用因式分解法解下列方程： （1）3x2-6x=-3 （2）4x2-121=0 （3）(x-4)2=(5-2x)2 答案：（1）x1=x2=1 （2） （3）x1 = 3 , x2 = 1.知识2、巩固练习：分解a2-a-12的结果为（ ）B (a-3)(a+4) B.(a+3)(a-4) C.(a-6)(a+2) D.(a+6)(a-2)分解x2+2x-8的结果为（ ）A (x+4)(x-2) B.(x-4)(x+2) C.(x+4)(x+2) D.(x-4)(x-2)若多项式M分解的因式是(x-2)(x-3),则M是（ ）Cx2-5x-6 B.x2+5x+6 C. x2-5x+6 D.x2+5x-6
当堂检测 1、按要求填空： ① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-2=0 ⑧ x2-2x-8=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) ⑩ 2y2+3y-2=0 适合运用直接开平方法__________________；答案:⑥适合运用因式分解法__________________；答案:⑤⑨ 适合运用公式法__________________； 答案:① 适合运用配方法__________________ . 答案:④ 适合运用十字相乘法__________________ . 答案:⑦⑧⑩2、已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( )B A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4) C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4) 3、已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为( )A A．7 B．－1 C．7或－1 D．－2或6 4、用适当方法解下列方程：（1）（1-x）2= (2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y； (5)(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2. 答案：（1）x1= , x2= （2）x1= , x2=（3）x1= , x2= （4）y1=5 , y2=-3 （5）x1= 2 , x2= -1 （6）x1= , x2=-125、已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程得x1＝10，x2＝7， ∵3＋7＝10，故x＝10舍去， ∴周长＝3＋7＋7＝17 6、先化简，再求值: 其中x2-x=0 解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0. ∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．∴x＝0.原式化简＝(x－2)(x＋1)． 当 x＝0 时， 原式＝(x－2)(x＋1)＝(0－2)(0＋1)＝－2.
小结反思 本节课你有哪些收获？总结解一元二次方程的方法，解答自己的疑惑
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21.2.3解一元二次方程
——因式分解法
人教版 九年级上
新知导入
2、分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
（3）十字相乘法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
x2+(a+b)x+ab=
(x+a)(x+b).
1、什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积
的形式叫做分解因式.
新知导入
3、我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法
配方法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
新知讲解
思考：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度 竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m,即：
10x-4.9x2=0
试一试：用配方法或公式法解这个方程。
知识1、因式分解
新知讲解
解：
配方法
公式法
解：
a = 4.9，b =－10，c = 0
b2－4ac
= (－10)2－4×4.9×0=100
比较这两种方法，你有更简单的解法吗？
新知讲解
10x-4.9x2因式分解，得:
即：x (10-4.9x) =0
右边是0
两个一次因式的乘积
若ab=0 则a=0或b=0
∵ x(10-4.9x)=0 ①
∴ x=0,或10-4.9x=0 ②
即：x1=0, x2≈2.04
这两个根中，x2≈2.04表示物体大约在2.04s时落回地面。x1=0表示物体在0 s时被抛出，高度是0 m。
降次，化为两个一次方程
x（10-4.9x）
新知讲解
以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的?
可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0 ”
巩固练习
1．方程x2－3x＝0的解为( )
A．x＝0 B．x＝3
C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3
2．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )
A．x1＝－1，x2＝2
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝－1，x2＝－2
D．x1＝1，x2＝－2
D
D
巩固练习
3.下列能用因式分解法的是___________________.
(1)、(2)、(4)
1
例题讲解
例1、 解下列方程:
(1)x(x-2)+x-2=0;
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
1.化方程为一般形式;
解：移项，合并同类项：
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0
∴2x-1=0或2x+1=0
解：提公因式：
(x-2)(x+2)=0
∴x-2=0或x+2=0
新知讲解
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根
公式，公式法直接利用求根公式；
因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
想一想：公式法、配方法和因式分解法有什么异同？
巩固练习
用因式分解法解下列方程：
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
（1）3x2-6x=-3 （2）4x2-121=0
巩固练习
解：变形为：
因式分解，得
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
（3）(x-4)2=(5-2x)2
另解：
x －4 = 5 － 2x或x －4 =－ （5 － 2x）
3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
因式分解法：
直接开平方法：
新知讲解
知识2、十字相乘法因式分解
试一试:
反过来:
(x+a)(x+b)
a与b和是一次项的系数
x
x
6
-3
(1).因式分解竖直写;
(2).交叉相乘验中项;
6x-3x=3x
(3).横向写出两因式;
(x+6)和(x-3)
解:原式=
(x+6)(x-3)
例、把x2+3x-18分解因式
这种方法叫做十字相乘法
1. 分解a2-a-12的结果为（ ）
A. (a-3)(a+4) B.(a+3)(a-4)
C.(a-6)(a+2) D.(a+6)(a-2)
2. 分解x2+2x-8的结果为（ ）
A. (x+4)(x-2) B.(x-4)(x+2)
C.(x+4)(x+2) D.(x-4)(x-2)
3. 若多项式M分解的因式是(x-2)(x-3),则M是（ ）
A. x2-5x-6 B.x2+5x+6
C. x2-5x+6 D.x2+5x-6
巩固练习
B
A
C
例题讲解
例2、用十字相乘法解下列方程
解：分解因式：
（x-6）（x+3）=0
∴x-6=0或x+3=0
x1=6, x2=-3
巩固练习
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0 ④x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-2=0 ⑧ x2-2x-8=0
⑨ (x-2)2=2(x-2) ⑩ 2y2+3y-2=0
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
适合运用十字相乘法 .
1、按要求填空：
⑥
??⑤⑨
?
④
⑦⑧⑩
注意： 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
巩固练习
2、已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( )
A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4)
C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4)
3、已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为( )
A．7 B．－1 C．7或－1 D．－2或6
B
A
巩固练习
4、用适当方法解下列方程：
(2)x2－6x－19＝0；
(3)3x2＝4x＋1;
(4)y2－15＝2y；
(5)(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0；
(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.
思路点拨：四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式
分解法→公式法→配方法．
巩固练习
巩固练习
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0.
∴y－5＝0 或 y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.
巩固练习
(6)移项，得 4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.
∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.
∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.
∴(11x－8)(x＋12)＝0.
（5）设 x2＋3＝y，则原方程化为 y2－4y＝0.
分解因式，得 y(y－4)＝0，解得 y＝0，或 y＝4.
①当 y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；
②当 y＝0 时，x2＋3＝4，即 x2＝1.解得 x＝±1.
所以原方程的解为 x1＝2，x2＝－1.
巩固练习
5、已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程得x1＝10，x2＝7，
∵3＋7＝10，故x＝10舍去，
∴周长＝3＋7＋7＝17
巩固练习
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1.
当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
＝(x－2)(x＋1)．
当 x＝0 时，
原式＝(x－2)(x＋1)＝(0－2)(0＋1)＝－2.
课堂总结
本节课你有哪些收获？总结解一元二次方程的方法，解答自己的疑惑
ax2+c=0 ====>
ax2+bx=0 ====>
ax2+bx+c=0 ====>
十字相乘因式分解
公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
1、
直接开平方法
因式分解法
作业布置
教材14页练习1、2题
谢谢
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