北师大版数学九年级上册同步课时训练
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
自主预习 基础达标
知识点 矩形的判定
1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形是 .
2. 判定定理：
定理1：对角线 的平行四边形是矩形．
定理2：有三个角是 的四边形是矩形．
课后集训 巩固提升
1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，连接ED，EC，AC，添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是( )
A．AC＝CD B．AB＝AD C．AD＝AE D．BC＝CE
第1题 第2题
2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD. 下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
3. 下列说法中，正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
4. 在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
5. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．2 B．3 C．4 D．4
第5题 第6题
6. 如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为 .
7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD>AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动， 秒后四边形ABPD是矩形．
第7题 第8题
8. 如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是 ．
9. 我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线长分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 .
10. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
11. 如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，若∠B＝90°，∠C＝90°，连接EF，AD，点B，E，F，C在同一条直线上．
求证：四边形ABCD是矩形．
12. 如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF⊥AC，O是垂足，EF分别交AB，CD于点E，F，且BE＝OE＝AE.
求证：?ABCD是矩形．
13. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
14. 如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACH的平分线于点F.
(1)试说明：EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．
参考答案
自主预习 基础达标
知识点 1. 矩形 2. 相等 直角
课后集训 巩固提升
1. D 2. C 3. C 4. C 5. A
6. 12
7. 3
8. 矩形
9. 5cm
10. 4
11. 证明：∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，∴AB＝CD，∵∠B＝90°，∠C＝90°，点B，E，F，C在同一条直线上，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．
12. 解：取AE的中点G，连接OG.在Rt△AOE中，OG＝AE＝AG，∵BE＝OE＝AE，∴OE＝OG，AG＝BE，∴∠OGE＝∠OEG，∴∠AGO＝∠BEO，∴△AGO≌△BEO.∴OA＝OB.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，即AC＝BD．∴?ABCD是矩形．
13. (1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC，又AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(AAS)．
解：(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形．理由：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD．又OD＝AC，∴OA＝OB＝OC＝OD．∴四边形ABCD为矩形．
14. 解：(1)∵MN∥BC，∴∠CEO＝∠ECB，∠CFO＝∠FCH.∵CE，CF分别是∠BCA，∠ACH的平分线，∴∠ECO＝∠ECB，∠FCO＝∠FCH，∴∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO，∴EO＝OC，FO＝OC，∴EO＝FO.
