北师大版数学九年级上册同步课时训练
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形的性质和判定的综合应用
自主预习 基础达标
知识点 矩形的性质和判定的综合应用
运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系，以及直线的位置关系、角的等量关系，常常与直角三角形的有关知识综合运用．
课后集训 巩固提升
1. 下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是( )
A．22°，68° B．44°，66°
C．24°，66° D．40°，50°
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，则阴影部分图形的周长为( )
A．15 B．20 C．25 D．30
第3题 第4题
4. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A． B． C． D．不能确定
5. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B(8，7)，D(5，0)，点P是边AB或BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为 .
第5题 第6题
6. 在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝ cm.
7. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6cm，∠BOC＝120°，则∠ACB的度数是 ，AB＝ cm，BC＝ cm.
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)求矩形ADBE的面积．
9. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若DE⊥AC交BC于E，∠ADB∶∠CDB＝2∶3，则∠BDE的度数是多少？
10. 如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连接AF，DE，DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
11. 如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
12. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF.
(1)如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
(2)如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG，EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形(不包括矩形ADCF)．
13. 如图，在?ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ.
(1)若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
参考答案
自主预习 基础达标
课后集训 巩固提升
1. A 2. A 3. D 4. A
5. (8，4)或(，7)
6. 5.8
7. 30° 3 3
8. (1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形．
(2)解：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝BC，AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，∴S矩形ADBE＝AD·BD＝3×4＝12.
9. 解：(1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
(2)∵∠ADC＝90°，∠ADB∶∠CDB＝2∶3，∴∠ADB＝36°.∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADB＝36°，∴∠DOC＝72°.∵DE⊥AC，∴∠BDE＝90°－∠DOC＝18°.
10. 解：(1)证明：∵CF＝BE，∴CF＋EC＝BE＋EC，即EF＝BC．在?ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形． (2)∵四边形AEFD是矩形，∴AF＝DE＝8.又∵AB＝6，BF＝10，∴AB2＋AF2＝BF2，∴△ABF为直角三角形，∠BAF＝90°.∴S△ABF＝AB·AF＝BF·AE，则AE＝＝.
11. 解：(1)证明：AC＝9，AB＝12，BC＝15，∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠A＝90°.∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四边形AGPH是矩形．
(2)存在．理由如下：连接AP.∴GH＝AP.∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12＝15·AP.∴AP＝.
12. 解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AFE和△CED中，∴△AEF≌△CED，∴EF＝DE，∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．
(2)∵线段DG，线段GE，线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，∴四边形ABDF，四边形AGEF，四边形GBDE，四边形AGDE，四边形GDCE都是平行四边形．
(2)四边形ABCD是矩形．∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)，∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6－x.在Rt△APQ中，AQ2＋AP2＝PQ2，∴x2＋22＝(6－x)2，解得：x＝，即AQ的长是.
