北师大版数学九年级上册同步课时训练
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
自主预习 基础达标
知识点 正方形的定义与性质
1. 定义：有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形．
2. 性质：它具有矩形和菱形的所有性质．
(1)正方形的四个角都是 ，四条边 ．
(2)正方形的对角线 且互相 ．
(3)正方形的对称性：
①正方形是轴对称图形，共有 条对称轴，分别为两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的两条直线．
②正方形是中心对称图形，对称中心是 的交点．
课后集训 巩固提升
1. 已知正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4
C．8 D．16
2. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A．45° B．55° C．60° D．75°
第2题 第3题
3. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
第4题 第5题
5. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝ °.
6. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 .
第6题 第7题
7. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论：①△AFE≌△ADE；②点G是BC的中点；③∠AGB＝60°；④FG＝FC；⑤S△FGC＝. 其中正确的是 (填序号)．
8. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于点F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
9. 如图，在正方形ABCD中，H是DC上一点，E是CB延长线上一点，且DH＝BE.请你判断△AEH的形状，并说明理由．
10. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E，F分别在AG上，连接BE，DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
11. 某地有四个村庄A，B，C，D，它们正好位于一个正方形的四个顶点．现在四个村庄计划联合架设一条电话线路，他们设计了4种架设方案，如图中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
12. 如图，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角形的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.
(1)求证：EF＝EG.
(2)如图，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
自主预习 基础达标
知识点 1. 相等 直角 2. (1)直角 相等 (2)相等 垂直平分 (3)①四 ②两条对角线
课后集训 巩固提升
1. A 2. C 3. B 4. A
5. 45
6. 6
7. ①②⑤
8. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC.又∵AC为对角线，E为AC上一点，∴∠BCE＝∠DCE＝45°，∵EC＝EC，∴△BEC≌△DEC(SAS)．
(2)∵△BEC≌△DEC，∠BED＝120°，∴∠BEC＝∠DEC＝60°，∵∠BEC＝∠AEF＝60°，∴∠EFD＝∠DAC＋∠AEF＝45°＋60°＝105°.
9. 解：△AEH是等腰直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，∴∠D＝∠ABE.又∵DH＝BE，AD＝AB，∴△ADH≌△ABE(SAS)，∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE.∴∠DAH＋∠HAB＝∠BAE＋∠HAB＝∠HAE＝90°.∴△AEH是等腰直角三角形．
10. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF.
(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°.在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝，DF＝1.由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝－1.
11. 解： 设正方形的边长为a.在方案(1)中，所用电线为DA＋AB＋BC＝3a.在方案(2)中，所用电线为AB＋BD＋CD＝2a＋a≈3.414a.在方案(3)中，所用电线为AC＋BD＝2a≈2.828a.在方案(4)中，如图，延长线段FE和EF，分别交AD，BC于点G，H.则通过已知条件可知，AG＝AD＝，AE＝2EG，在Rt△AGE中，设EG＝x，则AE＝2x.由勾股定理，得AE2＝GE2＋AG2，即(2x)2＝x2＋()2，解得x＝a(负值已舍去)．∴EG＝a，AE＝a.同理DE＝BF＝CF＝AE＝a.∴方案(4)中，所用电线为AE＋DE＋BF＋CF＋EF＝4AE＋(GH－2EG)＝4×a＋(a－2×a)＝(＋1)a≈2.732a.∴由上述计算可知，方案(4)最省电线．
(2)成立．理由如下：如图，过点E分别作BC，CD的垂线，垂足分别为H，I，则EH＝EI，∠HEI＝90°.∵∠IEF＋∠HEF＝90°，∠GEH＋∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠HEG.又∵∠EHG＝∠EIF＝90°，∴△FEI≌△GEH(ASA)，∴EF＝EG.
