北师大版数学九年级上册同步课时训练
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
自主预习 基础达标
知识点 正方形的判定
1. 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是 ．
2. 判定定理：
定理1：对角线 的菱形是正方形．
定理2：对角线 的矩形是正方形．
定理3：有一个角是 的菱形是正方形．
课后集训 巩固提升
1. 在四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是( )
A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BC
2. 下列说法中，正确的是( )
A．四条边相等的四边形是正方形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形
D．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
3. 如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是( )
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
5. 如图，平行四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为正方形(只需添加一个即可)．
第5题 第6题
6. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 .
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
求证：四边形ECFD是正方形．
8. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE中，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
9. 如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)判断四边形EFGH的形状并说明理由；
(2)连接BD和AC，当BD，AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形？
10. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.
(1)求证：CE＝CF；
(2)点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
11. 涵涵在一家商店看到一条漂亮的方丝巾，非常想买，但当她拿起来看时感到丝巾不太方正，商店老板看她犹豫的样子，马上过来拉起一组对角，让她看另一组对角是否对齐，涵涵还有些疑惑，老板又拉起另一组对角，让涵涵检验，于是涵涵买了这块丝巾．你认为涵涵买的这块丝巾真是正方形的吗？你采用什么方法可以检验出来？
12. 如图，在矩形ABCD中，AF，BE，CE，DF分别是矩形的四个内角的平分线，E，M，F，N是其交点.
求证：四边形EMFN是正方形．
参考答案
自主预习 基础达标
知识点 1. 正方形 2. 相等 垂直 直角
课后集训 巩固提升
1. D 2. D 3. C 4. A
5. ∠ABC＝90°(答案不唯一)
6. 3
7. 证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFD是矩形．∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形ECFD是正方形．
8. 解：(1)FG⊥ED.理由如下：由△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，得∠DEB＝∠ACB.由△ABC沿射线平移至△FEG，得∠GFE＝∠A.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠DEB＋∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，即FG⊥DE.
(2)根据旋转和平移，可得CG＝CB＝BE＝GE，∴四边形CBEG是菱形．又∵∠CBE＝90°，∴四边形CBEG是正方形．
9. 解：(1)四边形EFGH是平行四边形．理由如下：连接AC，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝AC，同理，HG∥AC，且HG＝AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)连接BD，当BD＝AC，且BD⊥AC时四边形EFGH是正方形．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形EFGH是正方形．
10. 解：(1)证明：∵点C是线段AB的垂直平分线上的一点，∴CA＝CB.∴∠A＝∠B.∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°.又∵AD＝BD，∴△AED≌△BFD．∴AE＝BF.∵CA＝CB，∴CE＝CF.
(2)当点C运动到AC⊥BC时，四边形CEDF成为正方形．理由：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠CED＝∠CFD＝90°.若加上条件AC⊥BC，则四边形CEDF是矩形．又CE＝CF，∴四边形CEDF是正方形．
12. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角均为90°，∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∠BAF＝∠ABE＝45°，∴△EBC为等腰直角三角形，AM＝BM，∴∠E＝90°.同理∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，∴四边形EMFN为矩形．在△DAF和△CBE中，∠E＝∠F＝90°，∠DAF＝∠CBE＝45°，AD＝BC，∴△DAF≌△CBE(AAS)，∴AF＝BE，∵AM＝BM，∴AF－AM＝BE－BM，即FM＝EM，∴四边形EMFN是正方形．
