2019年高考江苏卷数学真题试卷（解析版）

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2019年高考数学真题试卷（江苏卷）原卷+解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）
1.（2019?江苏）已知集合
，
，则
________.
【答案】
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】集合
，
，借助数轴得：
【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合
。
2.（2019?江苏）已知复数
的实部为0，其中
为虚数单位，则实数a的值是________.
【答案】
2
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设
复数
的实部为0，又
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数
，从而求出复数
的实部和虚部，再结合复数
的实部为0的已知条件求出a的值。
3.（2019?江苏）下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.
【答案】
5
【考点】程序框图
【解析】【解答】第一步：
不成立；
第二步：
不成立；
第三步：
不成立；
第四步：
成立；
输出的
【分析】根据题中的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的S的值。
4.（2019?江苏）函数
的定义域是________.
【答案】
【考点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数
，
要是函数有意义，则
函数的定义域为
【分析】利用根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法求出函数的定义域。
5.（2019?江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.
【答案】
【考点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】设一组数据为6，7，8，8，9，10的平均数为
方差为
这组数据的平均数为：
这组数据的方差为：
【分析】利用已知数据结合平均数和方差公式求出这组数据的平均数和方差。
6.（2019?江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设3名男同学为：
2名女同学为：
设选出的2名同学中至少有1名女同学的事件为A，
则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的基本事件为：
共十种，
选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件为：
共七种，
利用古典概型求概率的公式，得：
【分析】根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。
7.（2019?江苏）在平面直角坐标系
中，若双曲线
经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】
双曲线
经过点（3，4)，
将点（3，4)代入双曲线标准方程中得：
双曲线的标准方程为：
双曲线的焦点再x轴上，
双曲线的渐近线方程为：
又
双曲线的渐近线方程为：
【分析】根据点在双曲线上求出b的值，从而求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的标准方程结合焦点的位置，用a,b的值求出双曲线的渐近线方程。
8.（2019?江苏）已知数列
是等差数列，
是其前n项和.若
，则
的值是________.
【答案】
16
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】数列
是等差数列，又
利用等差数列通项公式
得：
①
是等差数列
前n项和，且
利用等差数列前n项和公式
得：
②
①②联立，得：
【分析】根据已知条件结合等差数列通项公式和等差数列前n项和公式求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列前n项和公式求出等差数列前8项的和。
9.（2019?江苏）如图，长方体
的体积是120，E为
的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.
【答案】
10
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】
在长方体中，
平面
又
在
上，
平面
是三棱锥E-BCD的高，
长方体的体积为：
长方体
的体积是120，
又
为
的中点，
又
【分析】根据长方体的结构特征结合线面垂直和中点的性质，用三棱锥体积公式结合三棱锥体积与长方体体积的关系式，用长方体的体积求出三棱锥的体积。
10.（2019?江苏）在平面直角坐标系
中，P是曲线
上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.
【答案】
4
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
P是曲线
上的一个动点，
设
,设P到直线x+y=0的距离为
利用点到直线的距离公式，得：
又
利用均值不等式，得:
点P到直线x+y=0的距离的最小值是4。
【分析】利用P是曲线
上的一个动点设出动点P的坐标，再利用点到直线的距离公式结合均值不等式求最值的方法求出点P到直线x+y=0的距离的最小值。
11.（2019?江苏）在平面直角坐标系
中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是________.
【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】点A在曲线y=lnx
，
x>0上，
设点
利用点斜式方程表示曲线在切点A处的切线方程为：
则
切线经过点（-e，-1)，
点A的坐标是
【分析】利用点A在曲线y=lnx上设出切点A的坐标，再利用求导的方法求出曲线在切点A处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点A处的切线方程，再利用切线经过点（-e，-1)，从而求出切点的横坐标，再利用切点的横坐标代入曲线方程求出切点的纵坐标，从而求出切点A的坐标。
12.（2019?江苏）如图，在
中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA
，
AD与CE交于点
.若
，则
的值是________.
【答案】
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】在
上，
与
共线，
设
又D是BC的中点，
,
根据等式左右两边对应相等，从而求出
的值，进而得：
【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，用平面向量基本定理求出
，进而求出
的值。
13.（2019?江苏）已知
，则
的值是________.
【答案】
【考点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】
【分析】利用两角和的正切公式结合已知条件求出角
的正切值，再利用角
的正弦值和余弦值与角
的正切值的关系式结合角
的正切值的取值范围求出角
的正弦值和余弦值与角
的正切值，再用角
的正切值结合两角和的正弦公式求出
的值。
14.（2019?江苏）设
是定义在R上的两个周期函数，
的周期为4，
的周期为2，且
是奇函数.当
时，
，
，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程
有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当
时，
，又
是奇函数，
时，则
函数
在
上的图象为两个分别以
为圆心，半径为1的圆的上半部分和以
为圆心，半径为1的圆的下半部分拼接而成，再利用函数
的周期为4，画出函数
在区间(0，9]上的图象。
再根据函数
画出函数g（x）图象为经过点（-2,0）的一条直线与一条线段拼接而成.
再利用函数
的周期为2，画出函数
在区间(0，9]上的图象。
在区间(0，9]上，关于x的方程
有8个不同的实数根，则
函数
与函数
在区间
上有8个交点。
又
在区间
上，线段
与函数
有4个交点，
的图象在区间
上与函数
有2个交点，在区间
上与函数
有2个交点，在区间
上与函数
无交点，
k的取值范围是
。
【分析】利用奇函数的定义结合已知条件求出分段函数
的解析式,从而画出分段函数
在区间
的图象，再利用函数
的周期性，画出函数
在区间(0，9]上的图象，再利用分段函数
的解析式画出其在区间
图象，再利用函数
的周期性，画出函数
在区间(0，9]上的图象，再利用在区间(0，9]上，关于x的方程
有8个不同的实数根，结合方程的根与两函数的交点的横坐标等价关系，得出函数
与函数
在区间
上有8个交点，再利用两函数在区间(0，9]上的图象求出k的取值范围。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分）
15.（2019?江苏）在△ABC中，角A
，
B
，
C的对边分别为a
，
b
，
c
．
（1）若a=3c
，
b=
，cosB=
，求c的值；
（2）若
，求
的值．
【答案】
（1）解：因为
，
由余弦定理
，得
，即
.
所以
（2）解：因为
，
由正弦定理
，得
，所以
.
从而
，即
，故
.
因为
，所以
，从而
.
因此
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理求出c的值。
（2）根据已知条件结合正弦定理得出
，再利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求出
的值。
16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D
，
E分别为BC
，
AC的中点，AB=BC
．
求证：
（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E
．
【答案】
（1）证明：因为D
，
E分别为BC
，
AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1
，
所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1
，
A1B1
平面DEC1
，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）解：因为AB=BC
，
E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE?平面ABC
，
所以CC1⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1
，
AC?平面A1ACC1
，
C1C∩AC=C
，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1
，
所以BE⊥C1E.
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用直三棱柱的结构特征结合中点的性质，用中位线证出线线平行，从而证出线面平行。
（2）因为AB=BC
，
E为AC的中点，所以BE⊥AC
，
再结合直三棱柱的结构特征证出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直。
17.（2019?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:
的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l
，
在x轴的上方，l与圆F2:
交于点A
，
与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B
，
连结BF2交椭圆C于点E
，
连结DF1
．
已知DF1=
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
【答案】
（1）解：设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=
，AF2⊥x轴，所以DF2=
，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2
，
得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为
（2）解：解法一：
由（1）知，椭圆C：
，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1)
2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由
，得
，
解得
或
.
将
代入
，得????
，
因此
.又F2(1，0)，所以直线BF2：
.
由
，得
，解得
或
.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以
.
将
代入
，得
.因此
.
解法二：
由（1）知，椭圆C：
.如图，连结EF1.
因为BF2=2a
，
EF1+EF2=2a
，
所以EF1=EB
，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B
，
所以∠A=∠B
，
所以∠A=∠BF1E
，
从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由
，得
.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以
.
因此
.
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】
（1）
利用焦距求出c的值，再利用DF1=
，AF2⊥x轴，结合勾股定理和椭圆的定义得出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用两种方法求出点E的坐标，利用椭圆的标准方程求出
的值和焦点
坐标，再利用
的值求出圆F2:
的标准方程，再利用过F2作x轴的垂线l
，
求出直线l的方程，再利用直线l与圆F2:
交于点A
，
联立二者方程求出交点A的坐标，再利用直线l与椭圆C交于点D
，
联立二者方程求出交点D的坐标，连结AF1并延长交圆F2于点B
，
从而求出交点B的坐标，连结BF2交椭圆C于点E
，
再利用两点距离公式或角之间的关系式，从而求出交点E的坐标。
18.（2019?江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l
，
湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q
，
并修建两段直线型道路PB、QA
．
规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
【答案】
（1）解：过A作
，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，
.'
因为PB⊥AB
，
所以
.
所以
.
因此道路PB的长为15（百米）
解法二：如图，过O作OH⊥l
，
垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A
，
B的纵坐标分别为3，?3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为
.
因为PB⊥AB
，
所以直线PB的斜率为
，
直线PB的方程为
.
所以P（?13，9），
.
因此道路PB的长为15（百米）
（2）解：①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B
，
E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD
，
由（1）知
，
从而
，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
解法二：①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD
，
由（1）知D（?4，9），又A（4，3），
所以线段AD：
.
在线段AD上取点M（3，
），因为
，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）解：先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F
，
OF≥OB
，
即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设
为l上一点，且
，由（1）知，
B=15，
此时
；
当∠OBP>90°时，在
中，
.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，
.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB
，
点Q位于点C右侧，且CQ=
时，d最小，此时P
，
Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+
.
因此，d最小时，P
，
Q两点间的距离为17+
（百米）
解法二：先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F
，
OF≥OB
，
即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设
为l上一点，且
，由（1）知，
B=15，此时
（?13，9）；
当∠OBP>90°时，在
中，
.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a
，
9），由
，得a=
，所以Q（
，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（?13，9），Q（
，9）时，d最小，此时P
，
Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P
，
Q两点间的距离为
（百米）
【考点】余弦定理的应用，三角形中的几何计算，解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）利用两种方法求出道路PB的长，第一种方法是利用矩形的性质结合直角三角形中正余弦值的关系式求出道路PB的长；第二种方法利用建系的方法结合直线和直线垂直求出未知直线的斜率，再利用直线与圆的位置关系求出所求直线的方程，再利用两点距离公式求出道路PB的长。（2）利用两种方法得出P和Q均不能选在D处，第一种方法利用实际问题的已知条件结合余弦定理得出P和Q均不能选在D处；第二种方法利用实际问题的已知条件结合两点距离公式得出P和Q均不能选在D处。（3）利用两种方法得出当d最小时，P
，
Q两点间的距离为17+
（百米），第一种方法是利用分类讨论的方法结合讨论P,Q的位置，用勾股定理结合几何方法求出当PB⊥AB
，
点Q位于点C右侧，且CQ=
时，d最小，从而求出P
，
Q两点间的距离为17+
（百米）；第二种方法是利用分类讨论的方法结合讨论P,Q的位置，用两点距离公式结合线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.，得出当d最小时，P
，
Q两点间的距离为17+
（百米）。
19.（2019?江苏）设函数
、
为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c
，
f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b
，
b=c
，
且f（x）和
的零点均在集合
中，求f（x）的极小值；
（3）若
，且f（x）的极大值为M
，
求证:M≤
．
【答案】
（1）解：因为
，所以
．
因为
，所以
，解得
（2）解：因为
，
所以
，
从而
．令
，得
或
．
因为
，都在集合
中，且
，
所以
．
此时
，
．
令
，得
或
．列表如下：
1
+
0
–
0
+
极大值
极小值
所以
的极小值为
（3）解：因为
，所以
，
．
因为
，所以
，
则
有2个不同的零点，设为
．
由
，得
．
列表如下：
?
+
0
–
0
+
极大值
极小值
所以
的极大值
．
解法一：
．因此
．
解法二：
因为
，所以
．
当
时，
．
令
，则
．
令
，得
．列表如下：
+
0
–
极大值
所以当
时，
取得极大值，且是最大值，故
．
所以当
时，
，因此
【考点】利用导数研究函数的极值，不等式的证明
【解析】【分析】利用已知条件a=b=c
，
f（4）=8，求出
的值。（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合a≠b
，
b=c
，
且f（x）和
的零点均在集合
中，从而求出函数的极值。（2）利用两种方法证出M≤
，第一种方法是利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用均值不等式求最值的方法结
，
且f（x）的极大值为M
，
从而证出M≤
；第二种方法利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而求出函数的最值从而证出当
时
，因此
。
20.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}
满足：
，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:
，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}
，对任意正整数k
，
当k≤m时，都有
成立，求m的最大值．
【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q
，
所以a1≠0，q≠0.
由
，得
，解得
．
因此数列
为“M—数列”.
（2）解：①因为
，所以
．
由
得
，则
.
由
，得
，
当
时，由
，得
，
整理得
．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n
.
②由①知，bk=k
，
.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q
，
所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1
，
所以
，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有
．
设f（x）=
，则
．
令
，得x=e.列表如下：
x
e
(e，+∞)
?
+
0
–
f（x）
极大值
因为
，所以
．
取
，当k=1，2，3，4，5时，
，即
，
经检验知
也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3
，
且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用
与
的关系式结合已知条件得出数列
为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列
的通项公式。②由①知，bk=k
，
.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q
，
所以c1=1，q>0，因为ck≤bk≤ck+1
，
所以
，其中k=1，2，3，…，m
，
再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。
三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）
21.（2019?江苏）A.[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵
?
（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
【答案】
（1）解：因为
，
所以
=
=
（2）解：矩阵A的特征多项式为
.
令
，解得A的特征值
【考点】复合变换与二阶矩阵的乘法，特征值与特征向量的计算
【解析】【分析】（1）利用矩阵
，
（2）利用矩阵A的特征多项式为
，结合
，解得矩阵A的特征值。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知两点
，直线l的方程为
.
（1）求A
，
B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.
【答案】
（1）解：设极点为O.在△OAB中，A（3，
），B（
，
），
由余弦定理，得AB=
（2）解：因为直线l的方程为
，
则直线l过点
，倾斜角为
．
又
，所以点B到直线l的距离为
【考点】余弦定理的应用，极坐标刻画点的位置
【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式结合余弦定理求出A,B两点间的距离。（2）利用直线l过点
，倾斜角为
，再利用直线的倾斜角和直线斜率的关系式求出直线斜率，从而用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式求出点B到直线l的距离.
23.[选修4-5：不等式选讲]
设
，解不等式
.
【答案】
解：当x<0时，原不等式可化为
，解得x<–
：
当0≤x≤
时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；
当x>
时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.
综上，原不等式的解集为
.
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】
利用零点分段法求出绝对值不等式解集。
四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）
24.（2019?江苏）设
.已知
.
（1）求n的值；
（2）设
，其中
，求
的值.
【答案】
（1）解：因为
，
所以
，
．
因为
，
所以
，
解得
（2）解：由（1）知，
．
．
解法一：
因为
，所以
，
从而
．
解法二：
．
因为
，所以
．
因此
【考点】组合及组合数公式，二项式定理的应用
【解析】【分析】利用二项式定理结合已知条件求出展开式中通项公式，再利用展开式中的通项公式求出系数，再利用
结合组合数公式求出
的值。（2）由（1）知，
。
（2）用两种方法求出
的值，利用二项式定理求出展开式中通项公式，再利用展开式中的通项公式求出系数，再结合已知条件求出
的值。
25.（2019?江苏）在平面直角坐标系xOy中，设点集
，
令
.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
【答案】
（1）解：当
时，
的所有可能取值是
．
的概率分布为
，
（2）解：设
和
是从
中取出的两个点．
因为
，所以仅需考虑
的情况．
①若
，则
，不存在
的取法；
②若
，则
，所以
当且仅当
，此时
或
，有2种取法；
③若
，则
，因为当
时，
，所以
当且仅当
，此时
或
，有2种取法；
④若
，则
，所以
当且仅当
，此时
或
，有2种取法．
综上，当
时，
的所有可能取值是
和
，且
．
因此，
【考点】离散型随机变量及其分布列，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】利用已知条件求出离散型随机变量
的概率分布。（2）设
和
是从
中取出的两个点．
因为
，所以仅需考虑
的情况，再利用分类讨论的方法结合求最值的方法得出a,c的取值的取法，从而求出当
时，
的所有可能取值是
和
，且
，
因此，求出用n表示的概率P（X≤n）为：
。
试卷分析部分
1.
试卷总体分布分析
总分：210分
分值分布
客观题（占比）
0（0.0%）
主观题（占比）
210（100.0%）
题量分布
客观题（占比）
0（0.0%）
主观题（占比）
25（100.0%）
2.
试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
14（56.0%）
70（33.3%）
解答题：本大题共6小题，共计90分．
6（24.0%）
90（42.9%）
数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3（12.0%）
30（14.3%）
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．
2（8.0%）
20（9.5%）
3.
试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
容易
16%
2
普通
76%
3
困难
8%
4.
试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
交集及其运算
5（1.3%）
1
2
复数代数形式的乘除运算
5（1.3%）
2
3
程序框图
5（1.3%）
3
4
函数的定义域及其求法
5（1.3%）
4
5
极差、方差与标准差
5（1.3%）
5
6
古典概型及其概率计算公式
5（1.3%）
6
7
双曲线的简单性质
5（1.3%）
7
8
等差数列的前n项和
5（1.3%）
8
9
棱柱、棱锥、棱台的体积
5（1.3%）
9
10
直线与圆锥曲线的综合问题
19（5.1%）
10,17
11
利用导数研究曲线上某点切线方程
5（1.3%）
11
12
向量在几何中的应用
5（1.3%）
12
13
三角函数的化简求值
5（1.3%）
13
14
函数的零点与方程根的关系
5（1.3%）
14
15
正弦定理
14（3.8%）
15
16
余弦定理
14（3.8%）
15
17
直线与平面平行的判定
14（3.8%）
16
18
直线与平面垂直的判定
14（3.8%）
16
19
椭圆的标准方程
14（3.8%）
17
20
余弦定理的应用
26（7.0%）
18,22
21
三角形中的几何计算
16（4.3%）
18
22
解三角形的实际应用
16（4.3%）
18
23
不等式的证明
16（4.3%）
19
24
利用导数研究函数的极值
16（4.3%）
19
25
导数在最大值、最小值问题中的应用
16（4.3%）
20
26
等比数列的通项公式
16（4.3%）
20
27
等差关系的确定
16（4.3%）
20
28
复合变换与二阶矩阵的乘法
10（2.7%）
21
29
特征值与特征向量的计算
10（2.7%）
21
30
极坐标刻画点的位置
10（2.7%）
22
31
绝对值不等式的解法
10（2.7%）
23
32
组合及组合数公式
10（2.7%）
24
33
二项式定理的应用
10（2.7%）
24
34
离散型随机变量及其分布列
10（2.7%）
25
35
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
10（2.7%）
25
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精品试卷·第
2
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（共
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页）
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