4.1.1 圆的标准方程
课后篇巩固提升
1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别为( )
A.(-2,3),1 B.(2,-3),3
C.(-2,3), D.(2,-3),
答案D
2.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2) ( )
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
解析∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.
答案C
3.已知A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116
C.(x-1)2+(y+3)2=29 D.(x-1)2+(y+3)2=116
解析因为A(-4,-5)、B(6,-1),所以线段AB的中点为C(1,-3),半径r=|AB|=,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C.
答案C
4.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )
A.,-4 B.-,4
C.,4 D.-,-4
解析因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=.并且直线经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.
答案A
5.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
解析根据圆心在直线x+y-2=0上可排除B,D.再把点B的坐标代入A,C选项中,可得C正确.
答案C
6.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆C挡住,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析(法一)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.
过A,B两点的直线方程为y=x+,
即ax-4y+2a=0,令d==1,
化简后,得3a2=16,解得a=±.再进一步判断便可得到正确答案为C.
(法二)(数形结合法)
如图,在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=,再由图直观判断,故选C.
答案C
7.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为 .?
解析圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.
答案x2+(y+1)2=5
8.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是 .?
解析由题意得A(0,3),B(-4,0),AB的中点为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+2)2+.
答案(x+2)2+
9.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是 .?
解析由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.
答案5
10.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是?
.?
解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
答案(x+1)2+(y-2)2=5
11.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
解(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-2.又因为点T(-1,0)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.
(2)由解得所以点A的坐标为(0,-2),
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1),所以M为矩形外接圆的圆心.
又|AM|=,
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.
12.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围:
(1)点A在圆的内部;
(2)点A在圆上;
(3)点A在圆的外部.
解(1)∵点A在圆的内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,
即2a+5<0,解得a<-.
故a的取值范围是.
(2)将点A(1,2)坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,解得a=-.
(3)∵点A在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,即2a+5>0,解得a>-.
故a的取值范围是.
13.(选做题)若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的方程.
解法一设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径r=.当a=时,rmin=.
故所求圆的方程为.
解法二易知,圆的半径的最小值就是原点O到直线y=-2x+3的距离.
如图,此时r=.
设圆心为(a,-2a+3),
则,
解得a=,从而圆心坐标为.故所求圆的方程为.
5
4.1.2 圆的一般方程
课后篇巩固提升
1.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心坐标及半径分别是 ( )
A.(-2,1), B.(2,1),
C.(-2,1),2 D.(2,-1),2
解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0得:(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为.故选A.
答案A
2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2+4x-2y-5=0
B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y=0
D.x2+y2-4x+2y=0
解析设直径的两个端点分别为A(a,0)、B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.
答案C
3.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
解析将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).
∵直线3x+y+a=0过圆心,
∴将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.
答案B
4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-4x+6y+8=0
B.x2+y2-4x+6y-8=0
C.x2+y2-4x-6y=0
D.x2+y2-4x+6y=0
解析易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.
答案D
5.若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则m的取值范围是( )
A.m>0 B.m<
C.0
解析x2+y2-x+y+m=0可化为x-2+y+2=-m,
则-m>0,解得m<.
因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m>0,
即m>0,所以0答案C
6.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.10 B.4 C.5 D.
解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆M过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得解得即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即为(x-1)2+(y+2)2=25,圆心(1,-2)到原点的距离为.故选D.
答案D
7.已知点P(5,3),点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动,则|PM|的最大值为 .?
解析圆x2+y2-4x+2y+4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=1,圆心为C(2,-1),半径为1,
∴|PC|==5,
∴|PM|的最大值为5+1=6.
答案6
8.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为 .?
解析设M(x,y),则P(x,2y).
∵点P(x,2y)在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4.
答案x2+4y2=4
9.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为 .?
解析将圆的方程配方得+(y+1)2=-k2+1,即r2=1-k2>0,∴rmax=1,此时k=0.
∴圆心为(0,-1).
答案(0,-1)
10.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆C的一般方程为 .?
解析因为圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C-,-在直线x+y-1=0上,
所以--1=0,即D+E=-2, ①
又r=,所以D2+E2=20, ②
联立①②可得,
又圆心在第二象限,所以-<0,D>0,所以
所以所求的圆的方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
答案x2+y2+2x-4y+3=0
11.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.
解设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.
∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,
∴圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.
由题知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,
∴D+E=-2. ①
又A(4,2),B(-1,3)在圆上,
∴16+4+4D+2E+F=0, ②
1+9-D+3E+F=0. ③
由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
12.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
解(1)(解法一)直线AB的斜率k==-1,
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.
线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=,y=.因此,直线m的方程为y-=x-,即x-y-1=0.
又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程组解得
所以圆心坐标为C(3,2).
又半径r=|CA|=,
则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(解法二)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意得解得
所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),
则解得
将P(2x-8,2y)代入圆C中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ中点M的轨迹方程为+(y-1)2=.
13.(选做题)设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程.
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.
解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),
∴
解得D=0,E=3-a,F=-3a.
∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由
解得x=0,y=-3.
∴圆M过定点(0,-3).
5
4.2.1 直线与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知直线l:ax-y-a+3=0和圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,则直线l和圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
解析把圆的方程化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线方程化为a(x-1)=y-3恒过定点(1,3),而(1,3)在圆C的内部,则直线l和圆C相交,故选A.
答案A
2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
解析圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,
可化为(x-1)2+(y-1)2=1.
由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或b=12,故选D.
答案D
3.若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为( )
A.(-) B.[-]
C.- D.
解析设直线l的方程为y=k(x-3),代入曲线方程,整理得(k2+1)x2-(6k2+2)x+9k2=0,所以Δ=(6k2+2)2-4(k2+1)·9k2=4(1-3k2)≥0,解得-≤k≤,故选D.
答案D
4.(2018·全国3,文8)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
解析设圆心到直线AB的距离d==2.
点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.
又AB=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',
∴2≤S△ABP≤6.
答案A
5.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
解析在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为.故|PA|的最小值为=1.
答案A
6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-
解析由已知得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d==1,解得k=-或k=-,故选D.
答案D
7.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是 ( )
A.6 B.3
C.2 D.8
解析∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.
答案A
8.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是 .?
解析易知所求直线过圆心且与AB垂直,
圆心坐标为(1,0).
设所求直线方程为3x-2y+c=0,
则3×1-2×0+c=0,c=-3.
即所求直线方程为3x-2y-3=0.
答案3x-2y-3=0
9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.
解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,
设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
根据点到直线的距离公式,得<1,
即k2<,解得-即为直线l斜率的取值范围.
能力提升
1.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
解析由题意知,=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.
答案B
2.过点(2,1)的直线中被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程是( )
A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0
C.x+3y-5=0 D.x-3y+5=0
解析∵过点(2,1)的直线中被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线经过圆心,∴该直线过点(2,1)和圆心(1,-2),其方程为,整理得3x-y-5=0.故选A.
答案A
3.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R,n≠m)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0,-1)
C.(-∞,1) D.(-∞,-1)
解析圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+2n-4=0,即m+n=2,mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1,当m=1时等号成立,此时n=1,与“m≠n”矛盾,所以mn<1.
答案C
4.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为 .?
解析由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,
得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,
又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,
由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,
根据勾股定理得:|PB|==4.则切线长为4.
答案4
5.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .?
解析如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.
∴直线l的斜率的取值范围为.
答案
6.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.
解(1)依题意知:圆C的半径r==3,
圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)2+y2=9.
(2)∵直线l2平行于l1,直线l1的方程为x-2y+4=0,
∴设直线l2的方程为x-2y+C=0,
又∵弦长MN=4,圆的半径为3,故圆心C到直线l2的距离d=,
∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,
∴直线l2的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0.
7.(选做题)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得
L=2=2=2.
∵0(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,
即|m-2a|=2.
∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,
∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.
∵0∴m∈[-1,8-4].
5
4.2.2 圆与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础巩固
1.圆(x+2)2+(y+2)2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( )
A.内切 B.外切
C.相交 D.相离
解析圆(x+2)2+(y+2)2=4的圆心坐标为(-2,-2),半径r1=2;圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心坐标为(2,1),半径r2=3,圆心距为d==5,r1+r2=5,即d=r1+r2,故两圆外切.
答案B
2.圆:x2+y2-2x-2y=0和圆:x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x+y+3=0 B.x-y+2=0
C.x+y-2=0 D.2x-y-1=0
解析AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.
答案C
3.下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相外切的是 ( )
A.(x+2)2+(y+2)2=9
B.(x-2)2+(y+2)2=9
C.(x-2)2+(y-2)2=16
D.(x-2)2+(y+2)2=16
解析由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2,则点(2,-2)到圆心(-1,2)的距离d==5,要使得所求圆与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切,则所求圆表示以(2,-2)为圆心,半径为3的圆,即(x-2)2+(y+2)2=9,故选B.
答案B
4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( )
A.(x-4)2+(y-6)2=16
B.(x±4)2+(y-6)2=16
C.(x-4)2+(y-6)2=36
D.(x±4)2+(y-6)2=36
解析设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6.
由题意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.
若b=6,则a=±4;若b=-6,则a无解.
故所求圆方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
答案D
5.若点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为( )
A.3 B.2 C.1 D.4
解析|PQ|的最小值应为圆心距减去两圆半径,
即(|PQ|)min=|OC|-2=3-2=1.
答案C
6.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是 .?
解析两圆的连心线的长为d=.
∵两圆相外离,∴d>+1,∴a2+b2>3+2.
答案a2+b2>3+2
7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是 .?
解析∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,
则|C1C2|==2,
∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切.
答案外切
8.过原点O作圆x2+y2-4x-8y+16=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为 .?
解析设圆x2+y2-4x-8y+16=0的圆心为C,则C(2,4),
∵CP⊥OP,CQ⊥OQ,
∴过四点O,P,C,Q的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
两圆方程相减得直线PQ的方程为x+2y-8=0.
答案x+2y-8=0
9.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程;
(2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为2的圆的方程.
解(1)过点P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0,
由求得
即圆心C(1,-2),半径r=|CP|=,
所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为,故两圆连心线斜率k==2.
设所求圆心为(a,b),
所以
解得(舍去)
所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20.
10.已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:
(1)外切;(2)内切;(3)相交;(4)内含;(5)外离.
试确定上述条件下k的取值范围.
解将两圆的方程化为标准方程:C1:(x+2)2+(y-3)2=1;C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.
则圆C1的圆心坐标C1(-2,3),半径r1=1,
圆C2的圆心坐标C2(1,7),半径r2=.
从而圆心距d==5.
(1)当两圆外切时,d=r1+r2,即1+=5,
解得k=34.
(2)当两圆内切时,d=|r1-r2|,
即|1-|=5,解得k=14.
(3)当两圆相交时,|r1-r2|即|1-|解得14(4)当两圆内含时,d<|r1-r2|,
即|1-|>5,解得k<14.
(5)当两圆外离时,d>r1+r2,即1+<5,解得k>34.
能力提升
1.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
解析设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25.
答案D
2.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16相离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为( )
A. B.- C.-6 D.6
解析两圆外离,则>2+4,即(a-2)2>35,设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,则=2,解得k=,则与圆C2相切的直线l2的斜率k'=-=-,直线l2的方程为y=-x,即12x+5y=0,所以=4,解得a=-6或a=,结合(a-2)2>35可知a=-6,故选C.
答案C
3.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是( )
A.[1-2,1+2]
B.[1-,3]
C.[-1,1+2]
D.[1-2,3]
解析由y=3-,得(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),它表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示,令=2,得b=1-2(b=1+2舍去),故选D.
答案D
4.圆x2+y2-x+y-2=0和圆x2+y2=5的公共弦长为 .?
解析由
②-①得,两圆的公共弦所在直线方程为x-y-3=0,∴圆x2+y2=5的圆心到该直线的距离为
d=.
设公共弦长为l,∴l=2.
答案
5.已知圆(x-1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)无公切线,则r的取值范围为 .?
解析由题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为C1(1,0),半径为r1=1,圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)的圆心坐标为C1(2,1),半径为r,因为两圆无公切线,则两圆的位置关系为两个圆内含,则圆心距d=,则d+1,所以r的取值范围是(+1,+∞).
答案(+1,+∞)
6.与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a= .?
解析利用两圆圆心连线与对称轴垂直,圆心连线中点在对称轴上,可得a=2.
答案2
7.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.
解设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是所求的圆.直线AB的方程为x+y-2=0.
两圆圆心连线的方程为x-y=0.
解方程组
得圆心坐标为(1,1).
圆心M(0,0)到直线AB的距离为d=,
弦AB的长为|AB|=2=4,
所以所求圆的半径为2.
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.
6
4.2.3 直线与圆的方程的应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )
A.
B.∪[0,+∞)
C.
D.
解析圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.
当|MN|=2时,弦心距最大,
由点到直线的距离公式得≤1,
解得k∈.
答案A
2.直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析∵圆心到直线的距离为d=,圆的半径为2,
∴劣弧所对的圆心角为60°.
答案C
3.已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0
C.x-y+3=0 D.x-y-3=0
解析圆x2+y2=4的圆心是O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心是C(3,-3),所以直线l是OC的垂直平分线.又直线OC的斜率kOC=-1,所以直线l的斜率k=1,OC的中点坐标是,所以直线l的方程是y+=x-,即x-y-3=0.
答案D
4.圆x2+y2-4x+6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m,最小弦长为n,则m-n=( )
A.10-2 B.5-
C.10-3 D.5-
解析圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=25,圆心(2,-3)到(-1,0)的距离为=3<5.∴最大弦长为直径,即m=10,最小弦长为以(-1,0)为中点的弦,即n=2=2.∴m-n=10-2.
答案A
5.圆x2+y2=4上与直线l:4x-3y+12=0距离最小的点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析圆的圆心(0,0),过圆心与直线4x-3y+12=0垂直的直线方程为3x+4y=0.
3x+4y=0与x2+y2=4联立可得x2=,所以它与x2+y2=4的交点坐标是.又圆上一点与直线4x-3y+12=0的距离最小,所以所求的点的坐标为.
答案C
6.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为 .?
解析圆心C(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离为d=,又知圆C的半径长为3,∴|EF|=2=4,∴S△ECF=·|EF|·d=×4×=2.
答案2
7.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 .?
解析两圆圆心分别为O(0,0),O1(m,0),
且<|m|<3.
又易知OA⊥O1A,∴m2=()2+(2)2=25,
∴m=±5,∴|AB|=2×=4.
答案4
8.已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.
解(1)圆x2+y2-6x-6y+14=0即为(x-3)2+(y-3)2=4,可得圆心为C(3,3),半径为r=2.
设k=,即kx-y=0,
则圆心到直线的距离d≤r,即≤2,
平方得5k2-18k+5≤0,
解得≤k≤.
故的最大值是,最小值为.
(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示点(x,y)与A(-1,0)的距离的平方加上2.
连接AC,交圆C于B,延长AC,交圆于D,
可得AB为最短,且为|AC|-r=-2=3;
AD为最长,且为|AC|+r=5+2=7,
则x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,
x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.
9.有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?
解以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.
设A(-5,0),则B(5,0).
在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.
若P地居民选择在A地购买此商品,
则2a整理得+y2<.
即点P在圆C:+y2=的内部.
也就是说,圆C内的居民应在A地购物.
同理可推得圆C外的居民应在B地购物.
圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购物.
能力提升
1.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A.6-2 B.8
C.4 D.10
解析易知点A关于x轴对称点A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为=10.故所求最短路程为10-2=8.
答案B
2.直线y=x+b与曲线x=有且仅有一个公共点,则实数b的取值范围是( )
A.b=
B.-1C.-1≤b≤1
D.以上都不正确
解析如图,作半圆的切线l1和经过端点A,B的直线l3,l2,
由图可知,当直线y=x+b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3,不包括l2)时,满足题意.
∵l1与半圆相切,
∴b=-;
当直线y=x+b位于l2时,b=-1;
当直线y=x+b位于l3时,b=1.
∴b的取值范围是-1答案B
3.已知x+y+1=0,则的最小值是 .?
解析表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d==2.
答案2
4.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .?
解析圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为d=.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以2+12=22,解得a=4±.
答案4±
5.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a= .?
解析由题意可知,直线x-y+2=0过圆心,所以-1-+2=0,a=-2.
答案-2
6.某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为6 m,行车道总宽度BC为2 m,侧墙面高EA,FD为2 m,弧顶高MN为5 m.
(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程.
(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.
解(1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1m为单位长度建立直角坐标系xOy,则E(-3,0),F(3,0),M(0,3),由于所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=r2,因为F,M在圆上,所以解得b=-3,r2=36,所以圆的方程为x2+(y+3)2=36.
(2)设限高为h,作CP⊥AD,交圆弧于点P,则|CP|=h+0.5,将P的横坐标x=代入圆的方程,得()2+(y+3)2=36,得y=2或y=-8(舍),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).
所以车辆通过隧道的限制高度是3.5米.
7.在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最大值和最小值.
解如图所示,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,则A(8,0),B(0,6),内切圆C的半径r==2.
∴圆心坐标为(2,2).
∴内切圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
设P(x,y)为圆C上任一点,点P到顶点A,B,O的距离的平方和为d,
则d=|PA|2+|PB|2+|PO|2
=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2
=3x2+3y2-16x-12y+100
=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76.
∵点P(x,y)在圆上,∴(x-2)2+(y-2)2=4.
∴d=3×4-4x+76=88-4x.
∵点P(x,y)是圆C上的任意点,
∴x∈[0,4].
∴当x=0时,dmax=88;当x=4时,dmin=72.
7
4.3 空间直角坐标系
课后篇巩固提升
1.设A(1,-1,1),B(3,1,5),则AB中点在空间直角坐标系中的位置是( )
A.y轴上 B.xOy面内
C.xOz面内 D.yOz面内
解析因为A(1,-1,1),B(3,1,5),所以线段AB的中点坐标为(2,0,3),该点在xOz面内.
答案C
2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|=( )
A. B. C. D.
解析AB的中点M的坐标为,
故|CM|=.
答案C
3.设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1,则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是( )
A.(1,1,-1) B.(-1,-1,-1)
C.(-1,-1,1) D.(1,-1,1)
解析易知点P关于xOy平面的对称点P1(1,1,-1),则点P1关于z轴的对称点P2(-1,-1,-1).
答案B
4.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析由空间两点间的距离公式,得
|AB|=,
|AC|=,
|BC|=.
∴AC2+BC2=AB2.又∵BC≠AC,∴△ABC为直角三角形.
答案C
5.在空间直角坐标系中,点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为,则m的值为( )
A.-9或1 B.9或-1
C.5或-5 D.2或3
解析由题意|PP1|=,即,∴(m-4)2=25,解得m=9或m=-1.故选B.
答案B
6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=BC=2,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是( )
A. B. C. D.
解析建立如图所示空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4),P(0,t,2t),t∈[0,2],Q(2-m,m,0),m∈[0,2].
∴PQ=
=,
当且仅当5t=m=时,PQ取最小值,故选C.
答案C
7.已知A(-4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1,A关于z轴的对称点为A2,则|A1A2|等于 .?
解析由题可知A1(-4,-2,3),A2(4,2,3),
∴|A1A2|==4.
答案4
8.已知点P在z轴上,且满足|OP|=1(O为坐标原点),则点P到点A(1,1,1)的距离是 .?
解析∵点P在z轴上,且|OP|=1,
∴点P的坐标是P(0,0,1)或P(0,0,-1).∴|PA|=或|PA|=.
答案
9.已知平行四边形ABCD,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为 .?
解析由平行四边形对角线互相平分知,AC的中点即为BD的中点,AC的中点M.设D(x,y,z),则,4=,-1=,∴x=5,y=13,z=-3,∴D(5,13,-3).
答案(5,13,-3)
10.
如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A'B'C'D',A'C的中点E到AB的中点F的距离为 .?
解析由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a).
∴F,E.
∴|EF|=
=a.
答案a
11.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,|AA1|=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点,求MN的长.
解
以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
∵|CA|=|CB|=1,|AA1|=2,
∴N(1,0,1),M,2.
由两点间的距离公式,得|MN|=,
∴MN的长为.
12.如图建立空间直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是正方体对角线D1B的中点,点Q在棱CC1上.
(1)当2|C1Q|=|QC|时,求|PQ|;
(2)当点Q在棱CC1上移动时,探究|PQ|的最小值.
解由题意,知B(1,1,0),D1(0,0,1),
故BD1的中点P.
由于点Q在CC1上,故Q点坐标可设为(0,1,a)(0≤a≤1).
(1)由2|C1Q|=|QC|,易知|QC|=,
故Q.
从而|PQ|=
=.
(2)由题意,知|PQ|=(0≤a≤1).
当a=时,取得最小值.
从而|PQ|min=,此时Q.
13.在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.
解由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影R在OC上,
又底面边长为a,所以OC=a,
而侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,
故可设P点的坐标为(x>0),
又Q点在底面ABCD的对角线BD上,
所以可设Q点的坐标为(y,y,0),
因此P,Q两点间的距离
|PQ|=
=,
显然当x=,y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于,这时,点P为SC的中点,点Q为底面的中心.
6
第四章 圆与方程测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=2
B.(x+1)2+(y+2)2=2
C.(x-1)2+(y-2)2=5
D.(x+1)2+(y+2)2=5
解析由题意可知,所求圆的半径为r=.
∴圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=5.故选C.
答案C
2.圆x2+y2-2x+4y+4=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
解析圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=1,直线过定点P(1,-2),因为定点P(1,-2)在圆内,所以直线和圆相交.
答案C
3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为( )
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x-y+4=0 D.x-y+2=0
解析∵点P(1,)在圆x2+y2-4x=0上,
∴点P为切点.从而圆心与点P的连线应与切线垂直.
又圆心为(2,0),设切线斜率为k,
∴·k=-1,解得k=.
∴切线方程为x-y+2=0.
答案D
4.一束光线自点P(1,1,1)发出,被xOy平面反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,则光线自点P到点Q所走的距离是 ( )
A. B.12 C. D.57
解析点Q关于xOy平面的对称点为Q'(3,3,-6),
|PQ'|=.
答案C
5.过点P(5,6)作圆C:(x-1)2+(y-2)2=36的弦,其中最短的弦长为( )
A.2 B.4 C.4 D.8
解析过圆心内一点最短的弦垂直于过该点的直径,|PC|==4,此时l=2=2=4.
答案B
6.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心C在x轴上,则圆C的方程为( )
A.(x-2)2+y2=50 B.(x+2)2+y2=10
C.(x+2)2+y2=50 D.(x-2)2+y2=10
解析易得线段AB的垂直平分线为2x-y-4=0.因为圆心在此垂直平分线上,令y=0,得x=2,
∴圆心为(2,0),半径为,∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
答案D
7.方程(x2+y2-4)·=0的曲线形状是( )
解析由(x2+y2-4)=0可得或x+y+1=0,它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分.
答案C
8.若圆C:x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2,则c的取值范围是( )
A.[-2,2]
B.(-2,2)
C.[-2,2]
D.(-2,2)
解析圆x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,
∴圆心坐标为(2,2),半径为3.
要求圆上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2,则圆心到直线的距离,∴-2≤c≤2.故选C.
答案C
9.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差为( )
A.36 B.18 C.6 D.5
解析x2+y2-4x-4y-10=0?(x-2)2+(y-2)2=18,圆心(2,2),半径为3.圆心到直线x+y-14=0的距离为=5,∴直线与圆相离.∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差为圆的直径,即6.
答案C
10.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( )
A.21 B.19 C.9 D.-11
解析易知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=(m<25).由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,解得m=9.故选C.
答案C
11.已知A、B为圆x2+(y-1)2=4上关于点P(1,2)对称的两点,则直线AB的方程为( )
A.x+y-3=0 B.x-y+3=0
C.x+3y-7=0 D.3x-y-1=0
解析记圆心为C(0,1),由题意CP⊥AB,kCP==1,∴kAB=-1,又∵直线AB过点P(1,2),∴直线AB的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0,故选A.
答案A
12.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )
A. B.- C.± D.-
解析曲线y=的图象如图所示:
若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k<0,设l:y=k(x-),则点O到l的距离d=.
又S△AOB=|AB|·d=×2·d=,当且仅当d2=时,S△AOB取得最大值.所以,
∴k2=,∴k=-.故选B.
答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),则△ABC的边BC上的中线长为 .?
解析设BC的中点为D,则D(1,-2,3),
故|AD|==2.
答案2
14.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线x-ay+1=0平行,则a= .?
解析因为点P在圆(x-1)2+y2=5上,所以过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切的切线方程为(2-1)(x-1)+2y=5,即x+2y-6=0,又该直线与直线x-ay+1=0平行,所以-a=2,a=-2.
答案-2
15.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .?
解析设圆C方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离
d==r. ①
∵圆C过A(4,1),B(2,1),
∴(4-a)2+(1-b)2=r2, ②
(2-a)2+(1-b)2=r2. ③
由①②③,得a=3,b=0,r=,
∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.
答案(x-3)2+y2=2
16.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心,且与直线l垂直的直线的方程为 .?
解析设圆心(a,0)(a>0),
∴+()2=|a-1|2.
∴a=3.
∴圆心(3,0).∴所求直线方程为x+y-3=0.
答案x+y-3=0
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点,B,C是这个圆上的两个动点,若BA⊥CA,求BC中点M的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线.
解设点M(x,y).∵M是弦BC的中点,∴OM⊥BC.
又∠BAC=90°,∴|MA|=|BC|=|MB|.
∵|MB|2=|OB|2-|OM|2,
∴|OB|2=|MO|2+|MA|2,即42=(x2+y2)+[(x-0)2+(y-2)2],化简为x2+y2-2y-6=0,即x2+(y-1)2=7.
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心,以为半径的圆.
18.(本小题满分12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.
解设圆心为C(a,a-1),半径为r,
则点C到直线l2的距离
d1=.
点C到直线l3的距离
d2=.
由题意,得
解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.
19.(本小题满分12分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l过定点A(1,0).
(1)若l与圆C相切,求l的方程;
(2)若l与圆C相交于P、Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.(其中点C是圆C的圆心)
解(1)直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时直线l和圆C相切,直线l斜率存在时,设方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,利用圆心到直线的距离等于半径得:d==2,解得k=,直线方程为y=x-,故所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.
(2)△CPQ面积最大时,∠PCQ=90°,S=×2×2=2,即△CPQ是等腰直角三角形,由半径r=2得:圆心到直线的距离为,设直线l的方程为:y=k(x-1),即kx-y-k=0,d=,解得k=7或1,所以所求的直线方程为y=7x-7或y=x-1.
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知圆心C在直线x-2y=0上的圆C经过点A(4,0),但不经过坐标原点,并且直线4x-3y=0与圆C相交所得的弦长为4.
(1)求圆C的一般方程;
(2)若从点M(-4,1)发出的光线经过x轴反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在的直线方程(用一般式表达).
解(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
因为圆心C在直线x-2y=0上,所以有a-2b=0, ①
又因为圆C经过点A(4,0),所以有(4-a)2+b2=r2,
而圆心到直线4x-3y=0的距离为d=, ②
由弦长为4,所以弦心距d=,所以, ③
联立①②③,解得
又因为(x-2)2+(y-1)2=5通过坐标原点,所以舍去.
所以所求圆的方程为:(x-6)2+(y-3)2=13,
化为一般方程为:x2+y2-12x-6y+32=0.
(2)点M(-4,1)关于x轴的对称点N的坐标为(-4,-1),
反射光线所在的直线即为NC,又因为点C的坐标为(6,3),
所以反射光线所在的直线方程为:,
所以反射光线所在的直线方程的一般式为2x-5y+3=0.
21.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),
(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求直线PQ的斜率;
(2)若点M是圆C上任意一点,求|MQ|的最大值、最小值;
(3)若N(a,b)满足关系:a2+b2-4a-14b+45=0,求出t=的最大值.
解圆C:x2+y2-4x-14y+45=0可化为(x-2)2+(y-7)2=8.
(1)因为点P(m,m+1)在圆C上,
所以m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得m=4,
故点P(4,5).
所以直线PQ的斜率是kPQ=.
(2)如图,点M是圆C上任意一点,Q(-2,3)在圆外,
所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r,|QC|-r.
易求|QC|=4,r=2,
所以|MQ|max=6,|MQ|min=2.
(3)易知点N在圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上,t=表示的是定点Q(-2,3)与圆上的动点N连线l的斜率.
设l的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
当直线l和圆C相切时,d=r,
即=2,解得k=2±.
所以t=的最大值为2+.
22.(本小题满分12分)已知点P(2,1)是圆O:x2+y2=8内一点,直线l:y=kx-4.
(1)若圆O的弦AB恰好被点P(2,1)平分,求弦AB所在直线的方程;
(2)若过点P(2,1)作圆O的两条互相垂直的弦EF,GH,求四边形EGFH的面积的最大值;
(3)若k=,Q是l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D.证明:直线CD过定点.
解(1)由题意知AB⊥OP,∴kAB·kOP=-1,
∵kOP=,∴kAB=-2,
因此弦AB所在直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
(2)设点O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2,则
=|OP|2=5,
|EF|=2=2,
|GH|=2=2.
∴S四边形EGFH=|EF|·|GH|
=2
=2
=2
=2≤11,
当d1==d2时取等号.
所以四边形EGFH面积的最大值为11.
(3)证明:由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上,设Qt,-4,
则该圆的方程为x(x-t)+yy-t+4=0,
即:x2-tx+y2-t-4y=0.
又C、D在圆O:x2+y2=8上,
所以直线CD的方程为tx+t-4y-8=0,即tx+y-4(y+2)=0,
由所以直线CD过定点(1,-2).
8
