第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一
二
一、圆的标准方程
1.在平面内,圆是如何定义的?
提示:在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合.
2.圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素是什么?各要素与圆具有怎样的关系?
提示:圆心和半径.圆心:确定圆的位置;半径:确定圆的大小.
3.若已知圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0).设M(x,y)为这个圆上的任意一点,那么点M满足的条件是什么?该圆如何用集合来表示?
提示:|MC|=r,P={M||MC|=r}.
一
二
4.将点M适合的条件用坐标表示并化简会得到一个什么样的等式?
化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.
5.填空:
一
二
6.做一做:
圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是 ( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.
答案:A
一
二
二、点与圆的位置关系
1.点A(1,1),B(3,0),C( )与圆x2+y2=4的关系如图所示,则|OA|,|OB|,|OC|与圆的半径r=2有什么关系?
提示:|OA|<2,|OB|>2,|OC|=2.
2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系如何判断?
提示:(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2?点在圆外;
(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2?点在圆上;
(3)(x0-a)2+(y0-b)2
一
二
3.填表:点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
一
二
4.做一做:点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是( )
A.在圆上 B.在圆外
C.在圆内 D.以上都不对
解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.
答案:B
探究一
探究二
思想方法
求圆的标准方程
例1求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.
解法一:设点C为圆心,
∵点C在直线:x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).
又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
解得a=-2.∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r= .
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
探究一
探究二
思想方法
法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
探究一
探究二
思想方法
所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2,
所以线段AB的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即y=-2x-4.
故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,
所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解—解方程组,求出a,b,r;
④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究经过A(6,5),B(0,1)两点,且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上的圆的标准方程为 .?
解析:(方法一)(直接法)
由题意,得AB的中垂线方程为3x+2y-15=0.
故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.
探究一
探究二
思想方法
(方法二)(待定系数法)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
解得a=7,b=-3,r2=65.
故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.
答案:(x-7)2+(y+3)2=65
探究一
探究二
思想方法
点与圆的位置关系
例2 (1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )
A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定
(2)已知点M(5 )在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是 .?
思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.
解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点P在圆外.
解得0≤a<1.
答案:(1)B (2)[0,1)
探究一
探究二
思想方法
反思感悟点与圆的位置关系及其应用
点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.
探究一
探究二
思想方法
变式训练若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )
A.a<-1或a>1 B.-1C.0解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,
故-1答案:B
探究一
探究二
思想方法
代入法求解与圆有关的轨迹问题
典例已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解(1)设AP的中点为M(x0,y0),
由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0-2,2y0).
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x0-2)2+(2y0)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x',y').在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2.
所以x'2+y'2+(x'-1)2+(y'-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟求与圆有关的轨迹方程的方法
(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;
(2)定义法:根据圆的定义写出方程;
(3)几何法:利用圆的性质列方程;
(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
探究一
探究二
思想方法
变式训练 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
1
2
3
4
1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是 ( )
A.5 B.3 C.4 D.2
答案:A
1
2
3
4
2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为 ( )
A.(x-2)2+(y+3)2=25
B.(x+2)2+(y-3)2=65
C.(x+2)2+(y-3)2=53
D.(x-2)2+(y+3)2=13
答案:D
1
2
3
4
3.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是 .?
解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.
又m>0,故m的取值范围是(0,10).
答案:(0,10)
1
2
3
4
4.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为 .?
解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.
答案:(x-2)2+y2=5
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判定方法
1.大海上初升的红日,冉冉升起中,展现着迷人的风采,同时也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.
(1)怎样用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系?
提示:利用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断它们之间的位置关系如下:若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d(2)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?
提示:把直线的方程与圆的方程组成方程组
当方程组无解即Δ<0时,直线与圆相离;方程组有一解即Δ=0时,直线与圆相切;方程组有两解即Δ>0时,直线与圆相交.
2.填空:直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
3.做一做:
(1)直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
答案:A
(2)过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,切线方程为 .?
解析:∵圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
∴圆与x轴、y轴都相切,
∴所求切线方程为x=0或y=0.
答案:x=0或y=0
探究一
探究二
探究三
思想方法
判断直线与圆的位置关系
例1 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解法一将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,
得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法
直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.
探究一
探究二
探究三
思想方法
直线与圆相切
例2 过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程.
解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,
探究一
探究二
探究三
思想方法
(2)若直线斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,
这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
反思感悟切线方程的求法
1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.
2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解
设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可数形结合求出.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.
解:容易判断点Q(3,0)在圆外.设切线的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.又圆的圆心为(0,0),半径为2,
探究一
探究二
探究三
思想方法
直线与圆相交
例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.
探究一
探究二
探究三
思想方法
消去y,得x2-3x+2=0.
设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得x1+x2=3,x1·x2=2.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,
探究一
探究二
探究三
思想方法
(2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2 ,求圆C的标准方程.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
数形结合法求参数的取值范围
典例已知直线l:y=x+b,与曲线C: 有两个不同的公共点,求实数b的取值范围.
解如图.
方程y=x+b表示斜率为1,在y轴上截距为b的直线,
防范措施有关直线与圆的位置关系问题,要看清运动中的不变量,例如本例中直线的平行关系,并注意方程中变量的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思想方法
1
2
3
4
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
答案:D
1
2
3
4
2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是 ( )
解析:∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,
答案:B
1
2
3
4
3.(2018·全国1,文15)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .?
解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到
1
2
3
4
4.以点P(-4,3)为圆心的圆与直线l:2x+y-5=0相交,则圆的半径r的取值范围是 .?
解析:因为直线与圆相交,
所以圆心到直线的距离小于半径,
4.2.2 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系的判定方法
将两圆放在同一平面内,通过动态分析可以得到两圆位置关系有五种(如图).
1.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-a)2+y2=1,
(1)两圆半径分别为多少?
提示:r1=2,r2=1.
(2)若a=4,两圆圆心分别为多少?圆心距为多少?与两半径有何关系?两圆有何位置关系?
提示:圆心C1(0,0),C2(4,0),d=4,d>r1+r2,相离.
(3)若a=3,两圆圆心分别为多少?圆心距为多少?与半径有何关系?两圆有何位置关系?
提示:圆心C1(0,0),C2(3,0),d=3,d=r1+r2,外切.
(4)若a=2,两圆圆心分别为多少?圆心距为多少?与半径有何关系?两圆有何位置关系?
提示:圆心C1(0,0),C2(2,0),d=2,r1-r2(5)若a=1,两圆圆心分别为多少?圆心距为多少?与半径有何关系?两圆有何位置关系?
提示:圆心C1(0,0),C2(1,0),d=1,d=r1-r2,内切.
(6)若a=0,两圆圆心分别为多少?圆心距为多少?与半径有何关系?两圆有何位置关系?
提示:圆心C1(0,0),C2(0,0),d=0,d2.如何利用两圆的半径和圆心距的大小关系即“几何法”来判定圆与圆的位置关系?
提示:设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为r1,r2,则当d>r1+r2时,圆C1与圆C2外离;当d=r1+r2时,圆C1与圆C2外切;当|r1-r2|提示:联立两圆的方程,消去y后得到一个关于x的一元二次方程,当判别式Δ>0时,两圆相交;当Δ=0时,两圆相切;当Δ<0时,两圆相离.
4.填表:圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:
则有,
5.做一做:
两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为 .?
答案:0或±2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
判断两圆的位置关系
例1已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:
(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含?
思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:圆C1,C2的方程,经配方后可得
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5,即3(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当|C1C2|<3,即0探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;
(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究若两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为 .?
解析:∵x2+y2=a表示一个圆,∴a>0.
解得a=121或a=1.
答案:121或1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
两圆相交问题
例2 已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.
(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
①-②,得x-y+4=0.
∵A,B两点坐标都满足此方程,
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.
即x2+y2-x+7y-32=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),
故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
反思感悟相交弦及圆系方程问题的解决
1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为 .?
解析:由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直,
∴kAB×1=-1.
∴AB的中点坐标为(3,1).
AB的中点在直线x-y+c=0上,
∴3-1+c=0,∴c=-2,
∴m+c=5-2=3.
答案:3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
两圆相切问题
例3求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+3y=0相切于点M(3,-3)的圆的方程.
思路分析:设圆的方程,利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得.
解设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,
解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究1将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- )的圆的方程”,如何求?
解因为圆心在x轴上,
所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究2将本例改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切,试求实数m的值.”
反思感悟处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
两圆公共弦问题
典例已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0和圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长.
思路分析:在求公共弦方程时需要明确两圆的交点坐标满足两圆的方程,故将两圆的方程联立相减即可得到该公共弦的方程;求弦长时首先找到一个圆的圆心与半径,利用点到直线的距离公式求得这个圆心到该公共弦的距离,再利用勾股定理即可得到答案.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解设两圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则A、B两点的坐标是方程组:
两式相减,得3x-4y+6=0.
由于A、B两点坐标都满足此方程,
故3x-4y+6=0即为公共弦所在直线的方程.
∵C1的圆心为(-1,3),半径为3,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法总结 (1)两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时,公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
(2)两圆的圆心连线是公共弦的垂直平分线.
(3)求公共弦长也利用几何法和代数法.
1
2
3
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
解析:圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.
圆x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)点为圆心,以R2=3为半径的圆.
∵|O1O2|= ,∴R2-R1<|O1O2|答案:B
1
2
3
2.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .?
解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.
答案:4x+3y-2=0
1
2
3
3.一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是 .?
解析:设所求圆的方程为x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0.依题意,- =0,λ=2.故圆的方程为x2+y2+4y-6=0.
答案:x2+y2+4y-6=0
4.2.3 直线与圆的方程的应用
直线与圆的方程的应用
1.一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心,半径为30 km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70 km处,港口位于小岛中心正北40 km处.如果这艘轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?
(1)通过怎样的方法把这个实际问题转化为数学问题?
提示:以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(2)如何表示受暗礁影响的圆形区域所对应的圆的方程及轮船沿直线返港时的直线的方程?
提示:取10 km为单位长度,则受暗礁影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9;轮船航线所在直线的方程为4x+7y-28=0.
(3) 轮船沿直线返港是否会有触礁危险的问题归结为怎样的数学问题?
提示:归结为圆与直线有无公共点,若有公共点则会触礁,若没有公共点,则不会触礁.
2.填空:用直线与圆的方程解决实际问题的步骤
(1)从实际问题中提炼几何图形;
(2)建立直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面问题转化为代数问题;
(3)通过代数运算,解决代数问题;
(4)将结果“翻译”成几何结论并作答.
3.用坐标方法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面问题转化为代数问题;
(2)通过代数运算,解决代数问题;
(3)将代数运算结果“翻译”成几何结论.
探究一
探究二
思想方法
直线与圆的方程的实际应用
例1 已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,求B城市处于危险区内的时间.
思路分析:将实际应用问题转化为直线与圆相交求弦长问题.
解:如图,以A为原点,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
射线AC为∠xAy的平分线,则台风中心在射线AC上移动,
则射线AC被以B为圆心,以30千米为半径的圆截得的弦长为
探究一
探究二
思想方法
反思感悟与圆有关的最值问题的求解策略
1.解决直线与圆的方程的实际应用题的步骤:
2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则:
(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.
(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.
(3)尽量使已知点位于坐标轴上.
探究一
探究二
思想方法
变式训练一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
解:以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为
改变航线,不会受到台风的影响.
探究一
探究二
思想方法
与圆有关的最值问题
例2 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:
(2)y-x的最大值和最小值;
(3)x2+y2的最大值和最小值.
思路分析:本题可将 和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)距离的平方,然后结合图形求解.
探究一
探究二
思想方法
解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以 为半径的圆.
易知圆心(2,0)到y=kx的距离等于半径时,直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.
(2)设y-x=b,则y=x+b,由点到直线的距离公式,
探究一
探究二
思想方法
(3)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
反思感悟与圆有关的最值问题的求解策略
求与圆上的点的坐标有关的最值问题时,常常根据式子的结构特征,寻找它的几何意义,进而转化成与圆的性质有关的问题解决,其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究若把例2中实数x,y满足的方程改为“(x-3)2+(y-3)2=6”,则
的最大值与最小值分别为 .?
解析:设P(x,y),则P点的轨迹就是已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=6.
探究一
探究二
思想方法
函数思想解决与圆有关的最值问题
典例若动点(x,y)在圆x2+y2-4x=0上,求3x2+4y2的最大值.
解圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,
所以y2=4x-x2,x∈[0,4].
所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64.因为x∈[0,4],
所以当x=4时,3x2+4y2取得最大值48.
防范措施用函数思想求与圆有关的最值问题时,一定注意不能忽略圆上的点(x,y)中的x,y的限制条件,也就是说要注意自变量的取值范围.
1
2
3
4
1.将直线x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90°后与圆x2+(y-1)2=r2(r>0)相切,则r的值是( )
解析:将x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90°后,所得直线的方程为x-
答案:B
1
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3
4
答案:D
1
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4
3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为 .?
1
2
3
4
4.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过 米.?
解析:如图是卡车在隧道内的截面图,由题意知OA=3.6米,AB=0.8米,
答案:3.5
4.3 空间直角坐标系
一
二
一、空间直角坐标系
1.如图1,在数轴上,一个实数就能确定一个点的位置.如图2,在平面直角坐标系中,需要一对有序实数才能确定一个点的位置.
一
二
(1)为了确定空间中任意一点的位置,需要几个实数?
提示:三个.
(2)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成,那么空间直角坐标系该由几条数轴组成?其相对位置关系如何?
提示:三条交于一点,且两两互相垂直的数轴.
(3) x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点?xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何特点?
提示:x轴上的点(x,0,0);y轴上的点(0,y,0);z轴上的点(0,0,z);xOy平面上的点(x,y,0);yOz平面上的点(0,y,z);xOz平面上的点(x,0,z).
一
二
2.填空:空间直角坐标系
一
二
3.填空:坐标
如图所示,设点M为空间直角坐标系中的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P,Q和R.设点P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.
一
二
4.对于空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点P的坐标是什么?
一
二
二、空间两点间的距离公式
1.在空间直角坐标系中,坐标轴上的点A(x,0,0),B(0,y,0),C(0,0,z)与坐标原点O的距离分别是什么?
提示:|OA|=|x|,|OB|=|y|,|OC|=|z|.
2.在空间直角坐标系中,坐标平面上的点A(x,y,0),B(0,y,z),C(x,0,z)与坐标原点O的距离分别是什么?
一
二
3.在空间中,设点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如何求点P1,P2之间的距离|P1P2|?
一
二
5.做一做:在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)和点B(2,1,-1)间的距离为 .?
4.填空:空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求空间点的坐标
例1在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是D1D、BD的中点,G在棱CD上,且CG= CD,H为C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出E、F、G、H的坐标.
思路分析:要求点的坐标,需求得横、纵、竖坐标的值,从而确定出所求点的坐标.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间中点的坐标的确定方法
1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;
(2)充分利用几何图形的对称性.
2.求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 在棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,建立恰当的空间直角坐标系,并写出三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标.
解取BC,B1C1的中点分别为O,O1,连接OA,OO1,
根据正三棱柱的几何性质,OA,OB,OO1两两互相垂直,且 ,以OA,OB,OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则正三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标分别为:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求对称点的坐标
例2 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.
思路分析:求对称点的坐标,可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长,使得垂足为所作线段的中点,再根据有关性质即可写出对称点坐标.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).
(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟对称点的坐标的确定方法
求对称点的坐标可按以下规律写出:“关于谁对称谁不变,其余的符号均相反.”
在空间直角坐标系中,任一点P(a,b,c)的几种特殊的对称点的坐标如下:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究点P(-3,2,-1)关于平面xOz的对称点是 ,关于z轴的对称点是 ,关于M(1,2,1)的对称点是 .?
解析:点P关于平面xOz对称后,它的纵坐标变为原来的相反数,其他不变,因此第一个空应填(-3,-2,-1);P关于z轴对称后,它的竖坐标没变,横、纵坐标变为原来的相反数,因此第二个空应填(3,-2,-1);设P关于M(1,2,1)对称后的点为(x,y,z),则由中点坐标公式得
答案:(-3,-2,-1) (3,-2,-1) (5,2,3)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间两点间距离公式及应用
【例3】 如图所示,PA,AB,AD两两互相垂直,ABCD为矩形,M,N分别为AB,PC的中点,求证:MN⊥AB.
思路点拨:写出点的坐标,代入距离公式即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),设B(a,0,0),D(0,b,0),C(a,b,0),P(0,0,c).
因为M,N分别是AB,PC的中点,
故MN⊥AM,即MN⊥AB.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间中两点间距离的求法
1.求线段长度问题就是把点的坐标代入空间两点间距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
2.若所给题目中未建立坐标系,需先结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算,其一般步骤为:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
一题多变——空间两点间的距离
典例在空间直角坐标系中,已知A(2,0,3)和B(-3,0,-2),试问在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|.
解假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.
因为M在y轴上,可设M(0,y,0).
显然,此式对任意y∈R恒成立,即y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1本例中将点A的坐标改成“A(3,1,1)”,其余条件不变,请再探讨结论.
解假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.
因为M在y轴上,可设M(0,y,0).由|MA|=|MB|,可得
解得y=-1,所以y轴上存在点M(0,-1,0)满足关系|MA|=|MB|.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2将本例改为“在空间直角坐标系中,已知A(2,0,3),B(-3,0,-2),C(1,2 ,-1)”,试判断三角形ABC的形状?
解由空间两点间的距离公式知:
所以|AC|=|BC|,|AC|2+|BC|2=|AB|2,
所以三角形ABC为等腰直角三角形.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法总结 解决空间两点间的距离的方法
(1)若两点坐标已知,直接代入空间两点间的距离公式求解.
(2)若两点坐标未知,则需建立适当的空间直角坐标系(有些题目已给出坐标系),利用平面图形及空间图形的性质,结合坐标系表示出相关的坐标,最后代入空间两点间的距离公式求解.
1
2
3
4
1.点P(3,0,4),Q(0,0,-3)在空间直角坐标系中的位置分别是在( )
A.y轴上、x轴上
B.xOz平面上、y轴上
C.xOz平面上、z轴上
D.xOy平面上、yOz平面上
答案:C
1
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4
2.已知点A(-3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A.(-3,-1,-4) B.(-3,-1,4)
C.(3,1,4) D.(3,-1,-4)
解析:点A(-3,1,4),点A关于x轴对称的点的坐标为(-3,-1,-4).故选A.
答案:A
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4
3.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点,则|AB|=( )
解析:易知B点坐标为(2,-3,-5),故|AB|=10.
答案:A
1
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4
4.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是 .?
答案:(0,-1,0)
