第19章矩形、菱形与正方形测试题含答案（一）
文档属性
| 名称 | 第19章矩形、菱形与正方形测试题含答案（一） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 228.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-11 13:48:53 | ||
图片预览
文档简介
第19章 矩形、菱形与正方形测试题（一）
（本试卷满分100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．邻边相等 B．四个角都是直角 C．对角线相等 D．对角线互相平分
2. 如图1，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
图1 图2 图3 图4
3. 如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则添加下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC
4. 如图3，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．若∠EFG=58°，则∠FEG的度数是（ ）
A. 58° B. 60° C. 45° D. 30°
5. 如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE=1，CF=3，则AB的长为（ ）
A． B．10 C．3 D．
6. 学习了正方形之后，小文给同桌小虎出了道题.下列四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.从中任选两个条件，使□ABCD成为正方形，其中错误的选法是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
7. 如图5，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．67.5°
8. 如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD=6，则四边形CODE的周长是（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
图5 图6 图7 图8
9. 如图7，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（ ）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
10. 如图8，矩形ABCD的面积为10 cm2，它的两条对角线交于点O，以AB，AO为两邻边作平行四边形ABC1O，平行四边形ABC1O的对角线交于点O1，同样以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC2O1，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn-1的面积为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 如图9，在□ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．
图9 图10 图11 图12 图13
12. 如图10，已知P是正方形ABCD的对角线BD上的点，且BP=BC，则∠PCD的度数是___________．
13. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4 cm，则AC的长为_____cm．
14. 如图11，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB；分别以点A，B为圆心，OA的长为半径画弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为________cm．
15. 如图12，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为_________．
16. 如图13，在正方形ABCD中，O是AC的中点，点E，F分别在AB，BC上，且∠EOF=90°，若AC=2，则BE+BF=________．
三、解答题（共52分）
17. （5分）如图14，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE=DF．
求证：四边形ABCD是菱形．
图14 图15 图16 图17 图18
18. （6分）如图15，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作DB的平行线，两线相交于点E．求证：四边形OBEC是正方形．
19. （7分）如图16，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的F处，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求折痕AE的长．
20. （8分）如图17，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，BE=DF，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.
21. （8分）如图18，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形的边长为4，AE=，求菱形BEDF的面积．
22. （8分）如图19，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与点B，C，D重合．
（1）求证：BE=CF；
（2）当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，说明理由并求值．
图19 图20 图21
23. （10分）在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质．
定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图20-①）．
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形定义的四边形是________；
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图20-②，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．
附加题（20分，不计入总分）
24．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图21-①，在正方形ABCD中，AB=4，将三角尺放在正方形ABCD上，使三角尺的直角顶点与D点重合．三角尺的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：AP=CQ；
（2）如图21-②，小明在图21-①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE与QE存在一定的数量关系，试猜测他的结论并予以证明；
（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．
第19章 矩形、菱形与正方形测试题（一）
一、1. D 2. C 3. B 4. A 5. A 6. B 7. C 8. B 9. B 10. D
二、11. 答案不唯一，如EB＝DC 12. 22.5° 13. 8 14. 4 15. 3 16.
三、17. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C．又因为DE⊥AB，DF⊥BC，所以∠AED=∠CFD=90°．又因为DE=DF，所以△ADE≌△CDF（A.A.S.）.所以AD=CD.所以□ABCD是菱形．
18. 证明：因为BE∥OC，CE∥OB，所以四边形OBEC是平行四边形．
因为四边形ABCD是正方形，所以OC=OB，AC⊥BD.所以∠BOC=90°.所以四边形OBEC是矩形．
又因为OC=OB，所以四边形OBEC是正方形．
19. 解：由折叠的性质，知AF=AD=10 cm，∠AFE=∠D=90°，DE=EF.
在Rt△ABF中，BF==6（cm），所以CF=BC-BF=10-6=4（cm）.
设DE=x，EF=x，EC=8-x．
在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，即（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE=5 cm.
在Rt△ADE中，AE===5（cm）．
20. 证明：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以BE∥DF.又因为BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形．因为DE⊥AB，所以∠DEB=90°.所以四边形BFDE是矩形．
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AB∥DC.所以∠DFA=∠FAB.
由（1）可知四边形BFDE是矩形，所以∠BFD=90°.所以∠BFC=90°.
在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=5，所以AD=BC=5.因为DF=5，所以AD=DF.
所以∠DAF=∠DFA.所以∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB.
21. （1）证明：如图3所示，连接BD交AC于点O．
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，OD=OB=OA=OC．又因为AE=CF，所以OA-AE=OC-CF，即OE=OF.所以四边形BEDF为平行四边形.又因为BD⊥EF，所以□BEDF为菱形．
（2）解：因为正方形的边长为4，所以BD=AC=4．因为AE=CF=，所以EF=AC﹣2=2.所以S菱形BEDF=BD·EF=×4×2=8．
22. （1）证明：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，所以∠B=60°，∠BAC=∠BAD=60°.
所以△ABC为等边三角形，则AB=BC=AC．因为△AEF为等边三角形，所以AE=AF，∠EAF=60°.
所以∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF.所以△BAE≌△CAF.所以BE=CF．
（2）解：四边形AECF的面积不会发生变化．
理由：因为△BAE≌△CAF，所以S△ABE=S△ACF.所以S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC.
因为△ABC的面积是定值，所以四边形AECF的面积不会发生变化．
连接BD交AC于点O.在Rt△ABO中，AB=4，AO=2，由勾股定理，得BO=2.
S△ABC=×4×2=4，即四边形AECF的面积是4.
23. 解：（1）菱形（或正方形）
（2）它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线（写出其中的两条即可）．选取“一组对角相等”进行证明．证明如下：
已知：四边形ABCD是筝形．求证：∠B=∠D.
证明：连接AC.因为四边形ABCD是筝形，所以AB=AD，CB=CD.
又因为AC=AC，所以△ABC≌△ADC.所以∠B=∠D.
（3）连接AC，易知S筝形ABCD=2S△ABC.过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则∠E=90°.
因为∠ABC=120°，所以∠EBC=60°.所以∠ECB=30°.
又因为BC=2，所以BE=1.所以CE==.
所以S筝形ABCD=2S△ABC=2×AB·CE=2××4×=4.
24. （1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠A=∠DCQ=90°，AD=CD，∠ADC=∠PDQ=90°.
所以∠ADP=∠CDQ.所以△ADP≌△CDQ（A.S.A.）.所以AP=CQ.
（2）解：PE=QE.
理由：因为△ADP≌△CDQ，所以PD=QD．因为DE平分∠PDQ，所以∠PDE=∠QDE．
在△PDE和△QDE中，PD=QD，∠PDE=∠QDE，DE=DE，所以△PDE≌△QDE（S.A.S）.所以PE=QE.
（3）解：由（2），得PE=QE，由（1），得CQ=AP=1，所以BQ=BC+CQ=5，BP=AB-AP=3.
设PE=QE=x，则BE=5-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理，得32+（5-x）2=x2，解得x=3.4，即PE的长为3.4．
第 5 页 共 6 页
（本试卷满分100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．邻边相等 B．四个角都是直角 C．对角线相等 D．对角线互相平分
2. 如图1，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
图1 图2 图3 图4
3. 如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则添加下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC
4. 如图3，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．若∠EFG=58°，则∠FEG的度数是（ ）
A. 58° B. 60° C. 45° D. 30°
5. 如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE=1，CF=3，则AB的长为（ ）
A． B．10 C．3 D．
6. 学习了正方形之后，小文给同桌小虎出了道题.下列四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.从中任选两个条件，使□ABCD成为正方形，其中错误的选法是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
7. 如图5，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．67.5°
8. 如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD=6，则四边形CODE的周长是（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
图5 图6 图7 图8
9. 如图7，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（ ）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
10. 如图8，矩形ABCD的面积为10 cm2，它的两条对角线交于点O，以AB，AO为两邻边作平行四边形ABC1O，平行四边形ABC1O的对角线交于点O1，同样以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC2O1，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn-1的面积为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 如图9，在□ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．
图9 图10 图11 图12 图13
12. 如图10，已知P是正方形ABCD的对角线BD上的点，且BP=BC，则∠PCD的度数是___________．
13. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4 cm，则AC的长为_____cm．
14. 如图11，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB；分别以点A，B为圆心，OA的长为半径画弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为________cm．
15. 如图12，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为_________．
16. 如图13，在正方形ABCD中，O是AC的中点，点E，F分别在AB，BC上，且∠EOF=90°，若AC=2，则BE+BF=________．
三、解答题（共52分）
17. （5分）如图14，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE=DF．
求证：四边形ABCD是菱形．
图14 图15 图16 图17 图18
18. （6分）如图15，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作DB的平行线，两线相交于点E．求证：四边形OBEC是正方形．
19. （7分）如图16，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的F处，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求折痕AE的长．
20. （8分）如图17，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，BE=DF，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.
21. （8分）如图18，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形的边长为4，AE=，求菱形BEDF的面积．
22. （8分）如图19，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与点B，C，D重合．
（1）求证：BE=CF；
（2）当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，说明理由并求值．
图19 图20 图21
23. （10分）在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质．
定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图20-①）．
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形定义的四边形是________；
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图20-②，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．
附加题（20分，不计入总分）
24．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图21-①，在正方形ABCD中，AB=4，将三角尺放在正方形ABCD上，使三角尺的直角顶点与D点重合．三角尺的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：AP=CQ；
（2）如图21-②，小明在图21-①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE与QE存在一定的数量关系，试猜测他的结论并予以证明；
（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．
第19章 矩形、菱形与正方形测试题（一）
一、1. D 2. C 3. B 4. A 5. A 6. B 7. C 8. B 9. B 10. D
二、11. 答案不唯一，如EB＝DC 12. 22.5° 13. 8 14. 4 15. 3 16.
三、17. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C．又因为DE⊥AB，DF⊥BC，所以∠AED=∠CFD=90°．又因为DE=DF，所以△ADE≌△CDF（A.A.S.）.所以AD=CD.所以□ABCD是菱形．
18. 证明：因为BE∥OC，CE∥OB，所以四边形OBEC是平行四边形．
因为四边形ABCD是正方形，所以OC=OB，AC⊥BD.所以∠BOC=90°.所以四边形OBEC是矩形．
又因为OC=OB，所以四边形OBEC是正方形．
19. 解：由折叠的性质，知AF=AD=10 cm，∠AFE=∠D=90°，DE=EF.
在Rt△ABF中，BF==6（cm），所以CF=BC-BF=10-6=4（cm）.
设DE=x，EF=x，EC=8-x．
在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，即（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE=5 cm.
在Rt△ADE中，AE===5（cm）．
20. 证明：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以BE∥DF.又因为BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形．因为DE⊥AB，所以∠DEB=90°.所以四边形BFDE是矩形．
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AB∥DC.所以∠DFA=∠FAB.
由（1）可知四边形BFDE是矩形，所以∠BFD=90°.所以∠BFC=90°.
在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=5，所以AD=BC=5.因为DF=5，所以AD=DF.
所以∠DAF=∠DFA.所以∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB.
21. （1）证明：如图3所示，连接BD交AC于点O．
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，OD=OB=OA=OC．又因为AE=CF，所以OA-AE=OC-CF，即OE=OF.所以四边形BEDF为平行四边形.又因为BD⊥EF，所以□BEDF为菱形．
（2）解：因为正方形的边长为4，所以BD=AC=4．因为AE=CF=，所以EF=AC﹣2=2.所以S菱形BEDF=BD·EF=×4×2=8．
22. （1）证明：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，所以∠B=60°，∠BAC=∠BAD=60°.
所以△ABC为等边三角形，则AB=BC=AC．因为△AEF为等边三角形，所以AE=AF，∠EAF=60°.
所以∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF.所以△BAE≌△CAF.所以BE=CF．
（2）解：四边形AECF的面积不会发生变化．
理由：因为△BAE≌△CAF，所以S△ABE=S△ACF.所以S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC.
因为△ABC的面积是定值，所以四边形AECF的面积不会发生变化．
连接BD交AC于点O.在Rt△ABO中，AB=4，AO=2，由勾股定理，得BO=2.
S△ABC=×4×2=4，即四边形AECF的面积是4.
23. 解：（1）菱形（或正方形）
（2）它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线（写出其中的两条即可）．选取“一组对角相等”进行证明．证明如下：
已知：四边形ABCD是筝形．求证：∠B=∠D.
证明：连接AC.因为四边形ABCD是筝形，所以AB=AD，CB=CD.
又因为AC=AC，所以△ABC≌△ADC.所以∠B=∠D.
（3）连接AC，易知S筝形ABCD=2S△ABC.过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则∠E=90°.
因为∠ABC=120°，所以∠EBC=60°.所以∠ECB=30°.
又因为BC=2，所以BE=1.所以CE==.
所以S筝形ABCD=2S△ABC=2×AB·CE=2××4×=4.
24. （1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠A=∠DCQ=90°，AD=CD，∠ADC=∠PDQ=90°.
所以∠ADP=∠CDQ.所以△ADP≌△CDQ（A.S.A.）.所以AP=CQ.
（2）解：PE=QE.
理由：因为△ADP≌△CDQ，所以PD=QD．因为DE平分∠PDQ，所以∠PDE=∠QDE．
在△PDE和△QDE中，PD=QD，∠PDE=∠QDE，DE=DE，所以△PDE≌△QDE（S.A.S）.所以PE=QE.
（3）解：由（2），得PE=QE，由（1），得CQ=AP=1，所以BQ=BC+CQ=5，BP=AB-AP=3.
设PE=QE=x，则BE=5-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理，得32+（5-x）2=x2，解得x=3.4，即PE的长为3.4．
第 5 页 共 6 页