2018-2019学年江苏省淮安市高中校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）

2018-2019学年江苏省淮安市高中校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．（5分）已知，则z＝　 　
2．（5分）已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z的模为　 　．
3．（5分）甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有　 　种．（用数字作答）
4．（5分）的二项展开式中x3的系数为　 　．
5．（5分）设（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝　 　．
6．（5分）由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为　 　（写序号）．
7．（5分）用数学归纳法证明“，第一步，左边是　 　
8．（5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n?1?3?…?（2n﹣1）（n∈N）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是　 　．
9．（5分）已知平面α，β，且α∥β，若＝（1，λ，2），＝（﹣3，6，﹣6）分别是两个平面α，β的法向量，则实数λ的值为　 　．
10．（5分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，共面，则λ＝　 　．
11．（5分）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝　 　．
12．（5分）若＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为　 　．
13．（5分）已知数列{an}满足，通过计算a1，a2，a3，a4可猜想an＝　 　．
14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，（n∈N*，n≥2），令，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得＝　 　．
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并请将答案写在答题卡相应的位置上.）
15．（14分）已知复数z满足（1+i）z＝1﹣3i（i是虚数单位）
（1）求复数z的虚部；
（2）若复数（1+ai）z是纯虚数，求实数a的值；
（3）若复数z的共轭复数为，求复数的模．
16．（14分）（1）已知x，y∈（0，+∞），且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2；
（2）设a＞0，b＞0，且a+b＝10，求证：
17．（14分）先解答（1），再通过结构类比解答（2）：
（1）求证：；
（2）已知函数f（x）满足（x∈R），试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．
18．（16分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角余弦值；
（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．
19．（16分）（1）求的展开式中的常数项；
（2）若的展开式中x3的系数是﹣84，求a的值；
（3）求证：9n+1﹣8n﹣9能被64整除（n∈N*）．
20．（16分）观察下列各不等式：
1+＜，
1++＜，
1+++＜，
1++++＜，
…
（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数n（n≥2）有关的一般性结论；
（2）用数学归纳法证明你得到是结论．

2018-2019学年江苏省淮安市高中校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．【解答】解：∵，
∴
＝＝i，
∴z＝﹣i，
故答案为：﹣i．
2．【解答】解：∵z＝＝，
∴复数z的模为．
故答案为：．
3．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾，则先从其余的3个人中选一个安排在排尾，有3种方法，
其余的人任意排在其余的3个位上，方法有＝6种．
根据分步计数原理，甲不站在排尾的站法共有3×6＝18种，
故答案为 18．
4．【解答】解：设求的项为Tr+1＝C5r（x）5﹣r＝C5rx5﹣r
今r＝2，
∴T3＝C52x3＝x3．
故答案为：．
5．【解答】解：∵（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x＝﹣1，则（﹣1）4＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1
故答案为：1．
6．【解答】解：用三段论的形式写出的演绎推理是：
大前提 ②矩形的对角线相等，
小前提 ③正方形是矩形，
结论 ①正方形的对角线相等，
故答案为：②③①
7．【解答】解：由数学归纳法可得n＝1时，不等式的左边为++，
故答案为：++．
8．【解答】解：当n＝k时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k）＝（k+1）（k+2）…（2k），
当n＝k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），
故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 ＝2（2k+1），
故答案为 2（2k+1）．
9．【解答】解：∵α∥β，＝（1，λ，2），＝（﹣3，6，﹣6）分别是两个平面α，β的法向量，
∴，
∴存在实数k使得，
∴，解得，λ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．【解答】解：∵向量，共面，
∴存在唯一一对实数m，n使得，
∴，解得．
故答案为：3．
11．【解答】解：由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，
若由向量确定的点P与A，B，C共面，
∴
解得λ＝
故答案为：
12．【解答】解：∵＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，1），
∴||＝，||＝，?＝4﹣λ，
又与的夹角为60°，
∴cos60°＝＝＝，
解得：λ＝﹣17或1．
故答案为：﹣17或1
13．【解答】解：∵数列{an}满足，
当n＝1时，＝，
当n＝2时，＝，
当n＝1时，＝，
…
归纳可得：an＝．
故答案为：
14．【解答】解：由题意，可知：
∵（n∈N*，n≥2），
∴（an﹣1+an）?3n＝1，（n∈N*，n≥2）．
∵，
∴3Tn＝a1?32+a2?33+…+an﹣2?3n﹣1+an﹣1?3n+an?3n+1．
两式错位相加，可得：
4Tn＝a1?3+（a1+a2）?32+（a2+a3）?33+…+（an﹣2+an﹣1）?3n﹣1+（an﹣1+an）?3n+an?3n+1．
＝1?3+1+1+…+1+1+an?3n+1．
＝3+1×（n﹣1）+an?3n+1．
＝n+2+an?3n+1．
∴4Tn﹣an?3n+1＝n+2．
故答案为：n+2．
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并请将答案写在答题卡相应的位置上.）
15．【解答】解：（1）由（1+i）z＝1﹣3i，
得＝，
∴复数z的虚部为：﹣2；
（2）（1+ai）z＝（1+ai）（﹣1﹣2i）＝2a﹣1﹣（2+a）i，
∵复数（1+ai）z是纯虚数，
∴，
解得a＝．
∴实数a的值为：；
（3）由z＝﹣1﹣2i，
得．
则＝＝，
∴|z|＝．
∴复数的模为：．
16．【解答】证明：（1）（反证法）假设与都不小于2，
即，，又x，y∈（0，+∞），
∴1+x≥2y，1+y≥2x，
将两式相加得：2+x+y≥2x+2y，
即x+y≤2，这与已知x+y＞2矛盾，
故与中至少有一个小于2；
（2）∵a＞0，b＞0，∴要证，
只要证，
即证，又a+b＝10
∴只要证，
即证（1+3a）（1+3b）≤256，即证ab≤25，
∵a＞0，b＞0，∴，
∴ab≤25成立，
∴．
17．【解答】（1）证明：由题意，可知：
．
（2）结论：f（x）是以4为周期的周期函数．
证明如下：
证明：由题意，可知：
∵函数f（x）满足（x∈R），
∴可用x+1代替等式中的x，得：
，
再用x+2代替上式中的x，得，，
∴f（x）是以4为周期的周期函数．
18．【解答】证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．
（1）解：因，
故，
所以．
所以，AC与PB所成的角余弦值为．
（2）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴．
要使AN⊥MC，只需即，解得．
可知当时，N点坐标为，能使．
此时，，有，
由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为
所求二面角A﹣MC﹣B的平面角．∵．
∴．故所求的二面角的余弦值为．
19．【解答】解　（1）求的展开式的通项公式为，
令18﹣3r＝0，得r＝6，即第7项为常数项，T7＝?＝．
（2）的展开式的通项公式为 ，令9﹣2r＝3，得r＝3，
∵x3的系数是﹣84，∴，∴a3＝1，∴a＝1．
（3）证明∵9n+1﹣8n﹣9＝9?9n﹣8n﹣9＝9（8+1）n﹣8n﹣9＝9（8n+?8n﹣1+?8n﹣2+…+?8+1）﹣8n﹣9
＝9（8n+?8n﹣1+?8n﹣2+…+?82 ）+64，
由于（8n+?8n﹣1+?8n﹣2+…+?82 ）和64 都能被64整除，
故9（8n+?8n﹣1+?8n﹣2+…+?82 ）+64 能被64整除，
故9n+1﹣8n﹣9能被64整除．
20．【解答】解：（1）观察1+＜，
1++＜，
1+++＜，
1++++＜，
…
各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为
1++++＜且n≥2．…（6分）
（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．
①当n＝2时，由题设可知，不等式显然成立．
②假设当n＝k时，不等式成立，即
1++++＜ …（8分）
那么，当n＝k+1时，有 1+++++＜
＝＝＝．
所以当n＝k+1时，不等式也成立．…（14分）
根据①和②，可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立．…（16分）