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《 21.2.4一元二次方程根与系数的关系》导学案
课题 一元二次方程根与系数的关系 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1．理解并掌握根与系数关系： 2．会用根与系数关系，根的判别式解答相关类型的问题．
重点难点 重点： 一元二次方程根与系数关系的内容及其推导、应用难点： 一元二次方程根与系数关系和根的判别式的综合应用
学习过程
知识链接 1、一元二次方程的一般形式：________________,其中满足的条件是：___________ 2、一元二次方程有根的条件是：___________求根的公式是：____________
合作探究 知识1、根与系数关系的猜想及证明用适当的方法解下列方程并完成填空：（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0猜想：两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a、b、c有什么关系？结论：x1+x2= _____________，x1·x2= _____________。证明猜想：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：___________________∴x1=______________, x2=___________________∴x1+x2= _____________=____________x1·x2= _____________=____________于是得到，一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间有怎样的关系？●归纳：一元二次方程根与系数的关系： 即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。●注意,韦达定理使用的前提：____________例1、不解方程，求一元二次方程2x2+3x-1=0两个根的①平方和；②倒数和。 例2、求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：， 例3、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
自主尝试 知识1、练习：不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1)x2-6x=15； (2)3x2=-7x+9； (3)-5x-1=4x2； 例1、后的练习1、设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则 X1+X2 = ______ ,X1X2 = ______ X12+X22 = ( X1+X2)2 - _________=______ ( X1-X2)2 = (______)2 - 4X1X2 =______ 2、已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A．－1 B．9 C．23 D．27例2、后的练习1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0 C．x2－3x－2＝0 D．x2－3x＋2＝0 2.以方程x2+3x-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）A.y2＋3y-5=0 B. y2－3y-5=0 C.y2＋3y＋5=0 D. y2－3y＋5=0
当堂检测 1、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( )A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或3 2、设x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x12＋3x1x2＋x22的值为________．3、已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根是x1,x2且x12+x22=4,则k的值为：____________ 4、已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值． 5、已知方程 x2＋3x＋m＝0 的两根为 x1，x2当 m 为何值时，3x1－x2＝4. 6、方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
小结反思 本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《 21.2.4一元二次方程根与系数的关系》导学案
课题 一元二次方程根与系数的关系 学科 数学 年级 九年级上册
教学目标 1．理解并掌握根与系数关系： 2．会用根与系数关系，根的判别式解答相关类型的问题．
重点难点 重点： 一元二次方程根与系数关系的内容及其推导、应用难点： 一元二次方程根与系数关系和根的判别式的综合应用
教学过程
知识链接 1、一元二次方程的一般形式：________________,其中满足的条件是：___________ 2、一元二次方程有根的条件是：___________求根的公式是：____________ 一元二次方程的求根公式是由系数表达的，它 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)反映了根与系数之间的一种运算关系，除此之外，同学们想知道一元二次方程两根的和、两根的积与系数之间又有怎样的关系吗？这就是本节课要学习的知识。（板书课题）
合作探究 知识1、根与系数关系的猜想及证明用适当的方法解下列方程并完成填空：（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0在学生充分观察、活动的基础上，组织学生进行归纳交流，教师根据学生的实际情况，重点引导学生得出猜想：猜想：两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a、b、c有什么关系？结论：x1+x2= _____________，x1·x2= _____________。证明猜想：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：于是得到，一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间有怎样的关系？●归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。●注意,韦达定理使用的前提：(b2-4ac≥ 0且a≠0)例1、不解方程，求一元二次方程2x2+3x-1=0两个根的①平方和；②倒数和。答案： 3小结：用到根与系数的关系的几种常见的求值（1）（2） （3） （4） （5） （6）例2、求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：，答案：小结：1、已知两根求作新的方程 以x1,x2为两根的(二次项系数为1)一元二次方程为: 2、求作新的一元二次方程时: ?先求原方程的两根和与两根积.利用新方程的两根与原方程的两根之间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) ?利用新方程的两根和与两根积,求作新的一元二次方程.例3、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。答案：k=0
自主尝试 知识1、练习：不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1)x2-6x=15； (2)3x2=-7x+9； (3)-5x-1=4x2；答案：（1）x1+x2=6， x1x2=-15（2）x1+x2=-， x1x2=3 （3）x1+x2=， x1x2=-例1、后的练习1、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 X1+X2 = ______ ,X1X2 = ______ X12+X22 = ( X1+X2)2 - _________=______ ( X1-X2)2 = (______)2 - 4X1X2 =______答案：4、 1、 2x1x2、 14 、 X1+X2 、122、已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )DA．－1 B．9 C．23 D．27例2、后的练习1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )CA．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0 C．x2－3x－2＝0 D．x2－3x＋2＝0 2.以方程x2+3x-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）BA.y2＋3y-5=0 B. y2－3y-5=0 C.y2＋3y＋5=0 D. y2－3y＋5=0
当堂检测 1、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( )AA．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或3 2、设x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x12＋3x1x2＋x22的值为________．答案：73、已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根是x1,x2且x12+x22=4,则k的值为：____________ 答案：-2 4、已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．答案：k≦,(2)k=-35、已知方程 x2＋3x＋m＝0 的两根为 x1，x2当 m 为何值时，3x1－x2＝4. 答案：m=- 6、方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。答案：0小结反思 本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决） 教师注意点评，同时强调： 在利用根与系数的关系时，（1）需将一元二次方程化成一般形式；（2）求出的字母系数，必须使得△才可以，因此需要检验。
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21.2.4一元二次方程
根与系数的关系
人教版 九年级上
新知导入
我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
ax2+c=0 ====>
ax2+bx=0 ====>
ax2+bx+c=0 ====>
十字相乘因式分解
公式法（配方法）
直接开平方法
因式分解法
新知讲解
（1）x2-7x+12=0
(2)x2+3x-4=0
(3) 2x2+3x-2=0
用适当的方法解下列方程并完成填空：
3
4
12
7
1
-3
- 4
- 4
-1
-2
猜想：两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a、b、c有什么关系？
x1+x2=
x1x2=
方程 两根 两根和
X1+x2 两根积
x1x2
x1 x2
x2-7x+12=0
x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0
新知讲解
证明
猜想：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
(b2-4ac≥ 0且a≠0)
新知讲解
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
推论
注意,韦达定理使用的前提：
(b2-4ac≥ 0且a≠0)
即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。
巩固练习
不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1)x2-6x=15； (2)3x2=-7x+9； (3)5x-1=4x2；
解：方程化为
x2-6x-15=0
∴x1+x2=6，
x1x2=-15
解：方程化为
3x2+7x+9=0
解：方程化为
4x2-5x+1=0
新知讲解
例1、不解方程，求一元二次方程2x2+3x-1=0
两个根的①平方和；②倒数和。
设方程的两根是x1,x2，那么:
①
②
解：
新知讲解
用到根与系数的关系的另外几种常见的求值
小结：
巩固练习
1、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ______ ,X1X2 = ______
X12+X22 = ( X1+X2)2 - _________=______
( X1-X2)2 = (______)2 - 4X1X2 =______
2、已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )
A．－1 B．9 C．23 D．27
D
X1+X2
2X1X2
4
1
14
12
新知讲解
所求的方程是：
解：
即：
或：
新知讲解
以 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
1、已知两根求作新的方程
小结：
2、求作新的一元二次方程时:
?先求原方程的两根和与两根积.
?利用新方程的两根与原方程的两根之间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积)
?利用新方程的两根和与两根积,求作新的一元二次方程.
1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )
A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0
C．x2－3x－2＝0 D．x2－3x＋2＝0
巩固练习
2.以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）
A.y2＋3y-5=0 B. y2－3y-5=0
C.y2＋3y＋5=0 D. y2－3y＋5=0
B
c
新知讲解
例3、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
即-8k+4≥0
由根与系数的关系：x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2
∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4
由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。
∴ k=0
巩固练习
1、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( )
A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或3
A
巩固练习
2、设x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x12＋3x1x2＋x22的值为________．
7
3、已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根是x1,x2且x12+x22=4,则k的值为：____________
- 2
巩固练习
4、已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
巩固练习
5、已知方程 x2＋3x＋m＝0 的两根为 x1，x2，当 m 为何值
时，3x1－x2＝4.
解：∵3x1－x2＝4，
∴3(x1＋x2)－4x2＝4.
∵x1＋x2＝－3，
新知讲解
6、方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0课堂总结
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
作业布置
教材16页，练习1题
谢谢
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