2.5等比数列的前n项和(2)同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.5等比数列的前n项和(2)
班级 姓名
学习目标
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2. 掌握等比数列前n项和的性质。
学习过程
一、课前准备
复习1：等比数列的通项公式.

= .
复习2：等比数列的前n项和公式.
当时， ＝ .
当q=1时， .
二、新课导学
新知1：等比数列的判定方法有以下几种
(1)定义法：＝q (q是不为0的常数，n∈N*)?{an}是等比数列；
(2)通项公式法：an＝cqn (c，q均是不为0的常数，n∈N*)?{an}是等比数列；
(3)中项公式法：a＝an·an＋2 (an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比数列；
(4)前n项和法：若Sn＝A(qn－1)，(A≠0，q≠0且q≠1)则{an}是等比数列，其中A＝.
新知2：等比数列的前n项和的性质
(1)若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，S(m＋1)k－Smk，…成等比数列(q≠－1或k为奇数)．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)若Sn表示等比数列的前n项和，公比为q，则有Sm＋n＝Sm＋qmSn.

※ 典型例题
例1、数列的前n项和（A≠0，a≠0，a≠1），试证明数列是等比数列.
变式1、已知数列的前n项和，且， ，设，求证：数列是等比数列.
变式2、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
例2 、在等比数列中，已知，求.
变式3、等比数列中，，，求.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等比数列的前n项和与通项关系；
2. 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是，，，则数列，，也成为等比数列.
※ 知识拓展
1. 等差数列中，； 2. 等比数列中，.
课后作业
一、基础训练题
1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)
A. －6(1－3－10) B.(1－3－10) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
2．若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a等于(　　)
A．－4 B．－2 C．0 D．－1
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)．
A．2 B. C. D．3
4．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1的前n项和等于(　　)
A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2 C．2n－n D．2n
5．一个等比数列共有3m项，若前2m项和为15，后2m项之和为60，则中间m项的和为(　　)
A．12 B．16 C．20 D．32
6．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2.则该数列前15项的和S15＝________.
7．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋10(n∈N*)，则f(n)＝________．
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．
9．在等比数列{an}中，已知对n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求a＋a＋…＋a.
10．一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
二、提高训练题
11．等比数列{an}中，公比q≠1，它的前n项和为M，数列{}的前n项和为N，则的值为(　　)
A．2aqn B.a1qn－1 C.aqn－1 D．2aqn－1
12．已知数列前n项的和Sn＝2n－1，则此数列奇数项的前n项的和是 (　　)．
A.(2n＋1－1) B.(2n＋1－2) C.(22n－1) D.(22n－2)
13．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*，且a≠3.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
必修5第二章 §2.5等比数列的前n项和(2)参考答案
1、解析　由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，
可得a1＝4，所以S10＝＝3(1－3－10)．
答案　C
2、解析：∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18.由a1·a3＝a，得a＝－1.
答案：D
3、解析　由题意知＝＝＝1＋q3＝3，∴q3＝2.∴＝＝
＝＝＝.
答案　B
4、解析：设此数列为{an}，则an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴前n项和Sn＝2n＋1－n－2.
答案：B
5、解析：由已知S2m＝15，S3m－Sm＝60，又(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)，
解得Sm＝3，∴S2m－Sm＝15－3＝12.
答案：A
6、解析　由性质知：a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…成等比数列，其公比q＝＝－2，
首项为a1＋a2＋a3＝1，其前5项和就是数列{an}的前15项的和S15＝＝11.
答案　11
7、解析：数列2，24，…，23n＋10是首项为a1＝2，公比q＝23＝8，项数为n＋4的等比数列，
∴f(n)＝＝(8n＋4－1)．
答案：(8n＋4－1)
8、解：设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以＝1.①
＝17.②
由①②整理，得＝17.解得q4＝16.
所以q＝2或q＝－2.
将q＝2代入①式得a1＝， 所以an＝.
将q＝－2代入①式得a1＝－，所以an＝.
9、解：由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，①
知a1＝1.
且当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1.②
①－②得an＝2n－1，n≥2.
又a1＝1，∴an＝2n－1，n∈N＋.
＝＝4，即{a}为公比为4的等比数列．
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
10、解：设该等比数列有2n项，则奇数项有n项，偶数项有n项，设公比为q，由等比数列性质可得＝＝2＝q.
又∵S奇＋S偶＝＝255，a1＝1，
∴2n＝8.
∴此数列的公比为2，项数为8.
11、解析：{an}是公比为q的等比数列，则{}是首项为，公比为的等比数列，由题意得
M＝，N＝， 解得＝aqn－1.
答案：C
12、解析　由Sn＝2n－1知当n＝1时，a1＝21－1＝1.
由n≥2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时也适合，
∴an＝2n－1.∴奇数项的前n项和为
Sn＝＝(4n－1)＝·(22n－1)．
答案　C
13、解　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
∴{Sn－3n}是等比数列，
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*①21世纪教育网
(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，
当n≥2时，an＋1≥an?12·n－2＋a－3≥0?a≥－9，又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．