1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念
[学习目标] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的两个特性.3.记住常用数集的表示符号并会应用.
[知识链接]
1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.
2.在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.
3.解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数合在一起称为这个不等式的解集.
4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.
[预习导引]
1.元素与集合的概念
(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).
(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.
(3)集合元素的特性：确定性、互异性.
2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a?A
a不属于集合A
3.集合的分类
(1)空集：不含任何元素的集合，记作?.
(2)非空集合：
①有限集：含有有限个元素的集合.
②无限集：含有无限个元素的集合.
4.常用数集的表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
要点一 集合的基本概念
例1 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体.
解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合.
规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________.
(1)所有正三角形；
(2)必修1课本上的所有难题；
(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生.
答案 (1)(4)
解析
序号
能否构成集合
理由
(1)
能
其中的元素是“三条边相等的三角形”
(2)
不能
“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给对象不确定，故不能构成集合
(3)
不能
“比较接近1”的标准不明确，所以所给对象不确定，故不能构成集合
(4)
能
其中的元素是“16岁以下的学生”
要点二 元素与集合的关系
例2 所给下列关系正确的个数是( )
①－∈R；②?Q；③0∈N*；④|－3|?N*.
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 －是实数，是无理数，∴①②正确.N*表示正整数集，∴③和④不正确.
规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a?A”这两种情况中必有一种且只有一种成立.
2.符号“∈”和“?”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.
3.“∈”和“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合.
跟踪演练2 设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是( )
A.0∈M,2∈M B.0?M,2∈M
C.0∈M,2?M D.0?M,2?M
答案 B
解析 本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0?M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M.
要点三 集合中元素的特性及应用
例3 已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值.
解 ∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
规律方法 1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.
2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.
跟踪演练3 已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.
答案 1
解析 ∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.
当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.
当a2－1＝0时，a＝±1.
a＝－1(舍)，∴a＝1.
此时，A＝{2,0}，符合题意.
1.下列能构成集合的是( )
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.上海市所有的中学生
D.香港的高楼
答案 C
解析 A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.
2.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( )
A.0∈A B.a?A
C.a∈A D.a＝A
答案 C
解析 由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，a是否等于0不确定，因为0是否属于A不确定，故选C.
3.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或?).
答案 ? ∈
解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.
4.已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3?Z.正确的个数为________.
答案 3
解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的.
5.已知1∈{a2，a}，则a＝________.
答案 －1
解析 当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.
2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a?A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.
3.集合中元素的两种特性：确定性、互异性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.
一、基础达标
1.有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④直角三角形的全体.
其中能构成集合的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A
解析 ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准.②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算“比较小”没明确标准.③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依.
2.已知集合A由小于1的实数构成，则有( )
A.3∈A B.1∈A
C.0∈A D.－1?A
答案 C
3.若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案 D
解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形.
4.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A.2B.2或4C.4D.0
答案 B
解析 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0?A.故选B.
5.已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________.
答案 ±1
解析 由a2≠1，得a≠±1.
6.若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________.
答案 3
解析 由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，
∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.
7.判断下列说法是否正确？并说明理由.
(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)我校的年轻教师构成一个集合.
解 (1)正确.因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的.
(2)不正确.因为高科技产品的标准不确定.
(3)不正确.对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素.
(4)不正确.因为年轻没有明确的标准.
二、能力提升
8.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A.2 B.3
C.0或3 D.0,2,3均可
答案 B
解析 因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m＝3，故选B.
9.已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
答案 6
解析 ∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.
10.如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________.
答案 x≠0,1,2，.
解析 由集合元素互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
11.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－.
三、探究与创新
12.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个.
13.设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集.
证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解.
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集.
1.1.2 集合的表示方法
[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
[知识链接]
1.质数又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他正整数整除的数.
2.函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有2个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点.
[预习导引]
1.列举法
把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.
2.描述法
(1)集合的特征性质
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.
(2)特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.
要点一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.
解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.
(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.
规律方法 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.
跟踪演练1 用列举法表示下列集合：
(1)我国现有的所有直辖市；
(2)绝对值小于3的整数的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合.
解 (1){北京，上海，天津，重庆}；
(2){－2，－1,0,1,2}；
(3)方程组
的解是
所求集合为.
要点二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
规律方法 用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.
跟踪演练2 用描述法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；
(3)集合{－2，－1,0,1,2}.
解 (1){x|x＝5n，n∈Z}；
(2){x|6x2－5x＋1＝0}；
(3){x∈Z||x|≤2}.
要点三 列举法与描述法的综合运用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解 (1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}.
(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.
则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}.
规律方法 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解.(2)kx2－8x＋16＝0的二次项系数k不确定，需分k＝0和k≠0展开讨论，从而做到不重不漏.
2.解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点.
跟踪演练3 把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合.
解 由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根.
∴
解得k＜1，且k≠0.
所以k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}.
1.集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案 B
解析 {x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1,2,3,4}.
2.已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有( )
A.－1∈A B.0∈A
C.∈A D.2∈A
答案 B
解析 ∵0∈N且－≤0≤，∴0∈A.
3.用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________.
答案 {x|x＜－}
解析 ∵x＜－x－3，∴x＜－.
∴解集为{x|x＜－}.
4.已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________.
答案 {1}
解析 由x2＋x－2＝0，
得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
5.用适当的方法表示下列集合.
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2＞6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.
解 (1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
(2){x|x＝2n＋1，且x＜1000，n∈N}；
(3){x|x＞8}；
(4){1,2,3,4,5,6}.
1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
2.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
一、基础达标
1.将集合用列举法表示，正确的是( )
A.{2,3} B.{(2,3)}
C.{(3,2)} D.(2,3)
答案 B
解析 解方程组解得
所以答案为{(2,3)}.
2.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
答案 C
解析 当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；
当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；
当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；
当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，
由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
3.集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是( )
A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集
C.第四象限内的点集 D.第二、四象限内的点集
答案 D
解析 因xy＜0，所以有x＞0，y＜0；或者x＜0，y＞0.因此集合M表示的点集在第四象限和第二象限.
4.集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R，y∈R}.选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A.2∈A，且2∈B
B.(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C.2∈A，且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A，且2∈B
答案 C
解析 集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对.集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错.
5.将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________.
答案 {(2,4)，(5,2)，(8,0)}
解析 ∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，∴y为偶数且y≤5，∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.
6.有下面四个结论：
①0与{0}表示同一个集合；
②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示.
其中正确的结论是________(填写序号).
答案 ④
解析 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示.
7.下面三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}；
B＝{y|y＝x2＋1}；
C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
问：(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
解 (1)在A、B、C三个集合中，虽然特征性质的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合.
(2)集合A的代表元素是x，满足y＝x2＋1，
故A＝{x|y＝x2＋1}＝R.
集合B的代表元素是y，满足y＝x2＋1的y≥1，
故B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}.
集合C的代表元素是(x，y)，满足条件y＝x2＋1，即表示满足y＝x2＋1的实数对(x，y)；也可认为满足条件y＝x2＋1的坐标平面上的点.
因此，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}＝{(x，y)|(x，y)是抛物线y＝x2＋1上的点}.
二、能力提升
8.已知x，y为非零实数，则集合M＝＋为( )
A.{0,3} B.{1,3}
C.{－1,3} D.{1，－3}
答案 C
解析 当x＞0，y＞0时，m＝3，
当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}.
9.已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
答案 D
解析 ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1}，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
10.如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________.
答案 {(x，y)|－1≤x≤3，且0≤y≤3}
解析 图中阴影部分点的横坐标－1≤x≤3，纵坐标为0≤y≤3，
故用描述法可表示为{(x，y)|－1≤x≤3，且0≤y≤3}.
11.已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.
解 ∵1是集合A中的一个元素，
∴1是关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，
∴a·12＋2×1＋1＝0，即a＝－3.
方程即为－3x2＋2x＋1＝0，
解这个方程，得x1＝1，x2＝－，
∴集合A＝{－，1}.
三、探究与创新
12.已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}：
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
解 (1)∵A中有两个元素，∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴
得a＞－且a≠0，
故所求a的取值范围是{a|a＞－，且a≠0}.
(2)当a＝0时，A＝{－}；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故所求的a的取值范围是{a|a≤－，或a＝0}.
13.定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}.设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是多少？
解 当x＝1或2，y＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝4.
所以A*B＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6.
1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
[学习目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集.2.能使用Venn图表示集合间的关系.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用.
[知识链接]
1.已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b.
2.若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？
3.方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？
[预习导引]
1.集合相等、子集、真子集的概念
(1)集合相等：
①定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.
②符号表示：A＝B.
③图形表示：
(2)子集
①定义：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.
②符号表示：A?B或B?A.
③图形表示：或
(3)真子集
①定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集.
②符号表示：A?B或B?A.
③图形表示：
2.集合关系与其特征性质之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有
集合间的关系
特征性质间的关系
A?B
p(x)?q(x)
A?B
q(x)?p(x)
A＝B
p(x)?q(x)
3.?与其它集合之间的关系
(1)?是任意一个集合的子集；
(2)?是任意一个非空集合的真子集.
要点一 有限集合的子集确定问题
例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集.
解 由0个元素构成的子集：?；
由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；
由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；
由3个元素构成的子集：{1,2,3}.
由此得集合A的所有子集为?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集.
规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
跟踪演练1 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.
解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.
要点二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解 (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N?M.
规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.
跟踪演练2 集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合A和B的关系.
解 A＝{－3,2}，B＝.
∵－3＞－，2＞－，
∴－3∈B,2∈B∴A?B
又0∈B，但0?A，∴A?B.
要点三 由集合间的关系求参数范围问题
例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.
求实数m的取值范围.
解 ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠?时，有
解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}.
规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.
2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.
跟踪演练3 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围.
解 (1)若A?B，由图可知a＞2.
(2)若B?A，由图可知1≤a≤2.
1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )
A.4B.7C.8D.16
答案 B
解析 可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}.共有23－1＝7(个).
2.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )
A.{0}?MB.{0}∈MC.?∈MD.0?M
答案 A
解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.
3.已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是( )
答案 C
解析 M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴N?M.
4.已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.
答案 －1
解析 ∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1.
5.已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________.
答案 {a|a≤}
解析 ∵??{x|x2－x＋a＝0}.
∴{x|x2－x＋a＝0}≠?.
即x2－x＋a＝0有实根.
∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤.
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
一、基础达标
1.下列命题中，正确的有( )
①空集是任何集合的真子集；
②若A?B，B?C，则A?C；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④如果凡不属于B的元素也不属于A，则A?B.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
答案 C
解析 ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确.
2.已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A.6B.5C.4D.3
答案 A
解析 集合{0,1,2}的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个.
3.设集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P与Q的关系是( )
A.P?Q B.P?Q
C.P＝Q D.以上都不对
答案 D
解析 集合P是指函数y＝x2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数y＝x2图象上的点，故P，Q不存在谁包含谁的关系.
4.已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a满足( )
A.a＜4B.a≤4C.a＞4D.a≥4
答案 D
解析 由A?B，结合数轴，得a≥4.
5.集合{－1,0,1}共有________个子集.
答案 8
解析 根据计算集合子集个数的公式求出或直接写出.由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集.
6.设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N?M，则实数m 的取值集合为________.
答案 {－2,0，}
解析 集合M＝{3，－}.若N?M，则N＝{3}或{－}或?.于是当N＝{3}时，m＝；当N＝{－}时，m＝－2；当N＝?时，m＝0.所以m的取值集合为{－2,0，}.
7.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.
∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.
二、能力提升
8.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是( )
A.1B.－1C.0,1D.－1,0,1
答案 D
解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根.
(1)当a＝0时，
方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意.
(2)当a≠0时，
由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，
∴a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意.
∴a＝0或a＝±1.
9.已知集合A＝，B＝，则( )
A.A?BB.B?A
C.A＝BD.A与B关系不确定
答案 A
解析 对B集合中，x＝，k∈Z，当k＝2m时，x＝，m∈Z；当k＝2m－1时，x＝－，m∈Z，故按子集的定义，必有A?B.
10.设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A?B，则实数a的值为________.
答案 －1或2
解析 A?B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，
解得a＝2或a＝－1或a＝1，
结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.
11.已有集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合.
解 由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1,3}.
(1)当B＝?时，此时m＝0，满足B?A.
(2)当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.
∵B?A，∴＝1或＝3，解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}.
三、探究与创新
12.已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围.
解 当B＝?时，只需2a＞a＋3, 即a＞3.当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，可得
或
解得a＜－4或2＜a≤3.
综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4，或a＞2}.
13.若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围.
解 ①当A无真子集时，A＝?，
即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
所以所以a>1.
②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：
当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－；
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是a＝0或a≥1.
1.2.2 集合的运算
第1课时 并集、交集
[学习目标] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表示集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.
[知识链接]
下列说法中，不正确的有________：
①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；
②集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,4,5}；
③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}.
答案 ①
[预习导引]
1.并集与交集的概念
运算
自然语言
符号语言
图形语言
交集
对于两个给定的集合A、B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
并集
对于两个给定的集合A、B，由两个集合的所有元素构成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
2.交集与并集的运算性质
(1)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?；
(2)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A；
(3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
解决学生疑难点
要点一 集合并集的简单运算
例1 (1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A.{x|－1≤x＜3} B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥－1}
答案 (1)A (2)C
解析 (1) 由题意A∪B＝{1，2，3，4}，故选A.
(2)在数轴上表示两个集合，如图.
规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示.
跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A.{－1,2,3} B.{－1，－2,3}
C.{1，－2,3} D.{1，－2，－3}
(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.
答案 (1)C (2){x|x＜－5，或x＞－3}
解析 (1)A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}.
(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来.
∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}.
要点二 集合交集的简单运算
例2 (1) 已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
答案 (1)B (2)A
解析 (1) 由题意可得：A∩B＝{2，4}，含有2个元素.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图.
则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}.
规律方法 1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似.
2.当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合.
跟踪演练2 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B，A∪B.
解 ∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，
把集合A与B表示在数轴上，如图.
∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥}
＝{x|－1＜x≤0，或≤x≤3}；
A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0，或x≥}＝R.
要点三 已知集合交集、并集求参数
例3 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围.
解 由A∩B＝?，
(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠?，如下图：
∴解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2，或a＞3}.
规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.
2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到.最好是把端点值代入题目验证.
跟踪演练3 设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求实数a的取值范围.
解 如下图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
1.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{1,2} D.{0}
答案 A
解析 集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素.故选A.
2.设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2}B.{3}C.{－3,2}D.{－2,3}
答案 A
解析 注意到集合A中的元素均为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}.
3.集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于( )
A.{1,2} B.{0,1,2}
C.{x|0≤x≤3} D.{x|0≤x＜3}
答案 B
解析 由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，
故P∩M＝{0,1,2}.
4.已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－＜x＜}，则( )
A.A∩B＝? B.A∪B＝R
C.B?A D.A?B
答案 B
解析 ∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－＜x＜}，
∴A∩B＝{x|－＜x＜0，或2＜x＜}，A∪B＝R.故选B.
5.设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为________.
答案 k≤6
解析 因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，
且M∩N≠?，所以－≥－3?k≤6.
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.
一、基础达标
1. 已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q＝( )
A.{x|－1C.{x|－1答案 A
解析 结合数轴可得P∪Q＝{x|－12.已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于( )
A.{0,1,2} B.{－1,0,1,2}
C.{－1,0,2,3} D.{0,1,2,3}
答案 A
解析 先求出集合M，然后运用集合的运算求解.集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.
3.设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( )
A.{0} B.{0,2}
C.{－2.0} D.{－2,0,2}
答案 D
解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算.集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.
4.设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于( )
A.{x|1≤x＜2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|2＜x≤3} D.{x|2≤x≤3}
答案 A
解析 ∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，
∴M∩N＝{x|1≤x＜2}.
5.设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}.若A∩B＝?，则实数t的取值范围是( )
A.t＜－3 B.t≤－3
C.t＞3 D.t≥3
答案 A
解析 B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.
6. 已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.
答案 1
解析 由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.
7.已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}.
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围.
解 (1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}.
(2)∵C＝{x|x＞－}，B∪C＝C?B?C，
∴－＜2，即a＞－4.
二、能力提升
8.集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A.0B.1C.2D.4
答案 D
解析 ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，
又A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
9.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝A，则( )
A.－3≤m≤4 B.－3＜m＜4
C.2＜m＜4 D.2＜m≤4
答案 D
解析 ∵A∪B＝A，∴B?A.又B≠?，
∴即2＜m≤4.
10.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}，且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.
答案 －1 2
解析 ∵B∪C＝{x|－3＜x≤4}，
∴A?(B∪C).
∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}.
∴a＝－1，b＝2.
11.已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}.
(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B≠?，且A∩B≠A，求实数a的取值范围.
解 (1)如图可得，在数轴上实数a在－2的右边，可得a≥－2；
(2)由于A∩B≠?，且A∩B≠A，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a＜4.
三、探究与创新
12.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解 ∵A∪B＝A，∴B?A.
若B＝?时，2a＞a＋3，即a＞3；
若B≠?时，
解得－1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2，或a＞3}.
13.已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围.
(1)A∩B＝?；(2)A?(A∩B).
解 (1)若A＝?，则A∩B＝?成立.
此时2a＋1＞3a－5，即a＜6.
若A≠?，如图所示，则
解得6≤a≤7.
综上，满足条件A∩B＝?的实数a的取值范围是
{a|a≤7}.
(2)因为A?(A∩B)，且(A∩B)?A，
所以A∩B＝A，即A?B.
显然A＝?满足条件，此时a＜6.
若A≠?，如图所示，则
或
由解得a∈?；
由解得a＞.
综上，满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是
{a|a＜6，或a＞}.
第2课时 补集及集合运算的综合应用
[学习目标] 1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集.
[知识链接]
上课前，老师让班长统计班内的出勤情况，班长看看教室里的同学，就知道哪些同学未到，这么短的时间，他是如何做到的呢？
[预习导引]
全集与补集的概念
(1)全集
如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示.
(2)补集
定义
如果给定集合A是全集U的一个子集.由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作?UA，读作A在U中的补集.
图形语言
性质
对于任意集合A，有A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U
要点一 简单的补集运算
例1 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA等于( )
A.{1,2} B.{3,4,5}
C.{1,2,3,4,5} D.?
(2) 已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则?UA＝( )
A.{x|－22}
C.{x|－2≤x≤2} D.{x|x≤－2或x≥2}
答案 (1)B (2)C
解析 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?UA＝{3,4,5}.
(2) A＝{x|x<－2或x>2}，则?UA＝{x|－2≤x≤2}，故选C.
规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.
2.解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪?UA＝U.
跟踪演练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则?UA＝________.
答案 {x|x＝－3，或x＞4}
解析 借助数轴得?UA＝{x|x＝－3，或x＞4}.
要点二 交、并、补的综合运算
例2 (1)已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?UB等于( )
A.{3}B.{4}C.{3,4}D.?
(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则?RS∪T等于( )
A.{x|－2＜x≤1} B.{x|x≤－4}
C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}
答案 (1)A (2)C
解析 (1)利用所给条件计算出A和?UB，进而求交集.
∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}.
又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}.
又?UB＝{3,4}，∴A∩?UB＝{3}.
(2)先求出集合S的补集，再求它们的并集.
因为S＝{x|x＞－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}.
而T＝{x|－4≤x≤1}，所以?RS∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}.
规律方法 当集合是用列举法表示时，如数集，可以找出所求的集合的所有元素；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.
跟踪演练2 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求?R(A∪B)及?RA∩B.
解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.
∵?RA＝{x|x＜3，或x≥7}，
∴?RA∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.
要点三 补集的综合应用
例3 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B??RA，求a的取值范围.
解 由题意得?RA＝{x|x≥－1}.
(1)若B＝?，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B??RA.
(2)若B≠?，则由B??RA，得2a≥－1且2a＜a＋3，
即－≤a＜3.综上可得a≥－.
故a的取值范围是{a|a≥－}.
规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形；
2.?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系.
跟踪演练3 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(?RB)＝?，求实数a的取值范围.
解 ∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，
∴?RB＝{x|－1≤x≤0}，
因而要使A∩(?RB)＝?，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.
故a的取值范围是{a|a≤－1}.
1.若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则?MN等于( )
A.? B.{1,3,5}
C.{2,4} D.{1,2,3,4,5}
答案 B
解析 ?MN＝{1,3,5}，所以选B.
2.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩?UA等于( )
A.{2} B.{3,4}
C.{1,4,5} D.{2,3,4,5}
答案 B
解析 先求?UA，再找公共元素.
∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴?UA＝{3,4,5}，
∴B∩(?UA)＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}.
3.已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A.2个 B.4个
C.6个 D.8个
答案 B
解析 ∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个.
4.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1,2} B.{－1,0}
C.{0,1} D.{1,2}
答案 A
解析 图中阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(?UA)∩B＝{－1,2}.
5.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝________.
答案 {x|0＜x＜1}
解析 ∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，
∴?UA＝{x|0＜x＜1}.
1.若集合中的元素含参数，要由条件先求出参数再作集合的运算.
2.集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行.
3.有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行.如(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算.
一、基础达标
1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)等于( )
A.{1,3,4} B.{3,4}
C.{3} D.{4}
答案 D
解析 先求出两个集合的并集，再结合补集概念求解.
∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，
∴?U(A∪B)＝{4}.
2.已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B等于( )
A.{－2，－1} B.{－2}
C.{－1,0,1} D.{0,1}
答案 A
解析 解不等式求出集合A，进而得?RA，再由集合交集的定义求解.
因为集合A＝{x|x＞－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，则(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}.
3.设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)等于( )
A.{x|0≤x＜1} B.{x|0＜x≤1}
C.{x|x＜0} D.{x|x＞1}
答案 B
解析 ?UB＝{x|x≤1}，∴A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}.
4.设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )
A.{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤3}
C.{x|x≤2，或x＞3} D.{x|－2≤x≤2}
答案 A
解析 阴影部分所表示的集合为?U(M∪N)，而M∪N＝{x|x＜－2，或x≥1}，所以?U(M∪N)＝{x|－2≤x＜1}.故选A.
5.已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则?AB＝________.
答案 {x|0≤x＜2，或x＝5}
解析 如图：
由数轴可知：?AB＝{x|0≤x＜2，或x＝5}.
6.设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则?UA与?UB的包含关系是________.
答案 ?UA??UB
解析 先求出?UA＝{x|x＜0}，
?UB＝{y|y＜1}.
∴?UA??UB.
7.已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝，
(1)求A∩B；
(2)求(?UB)∪P；
(3)求(A∩B)∩(?UP).
解 借助数轴，数形结合.
(1)A∩B＝{x|－1＜x≤2}.
(2)易知?UB＝{x|x≤－1，或x＞3}，
∴(?UB)∪P＝.
(3)?UP＝，
∴(A∩B)∩(?UP)＝{x|－1＜x≤2}∩
＝{x|0＜x≤2}.
二、能力提升
8.已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤1} B.{a|a＜1}
C.{a|a≥2} D.{a|a＞2}
答案 C
解析 如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边(含端点2).∴a≥2.
9.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.(M∩P)∩S
B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(?IS)
D.(M∩P)∪(?IS)
答案 C
解析 依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈?IS, 所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(?IS)，故选C.
10.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有________人.
答案 12
解析 设两项运动都喜欢的人数为x，喜爱篮球的记为集合A，喜爱乒乓球的记为集合B，画出Venn图得到方程
15－x＋x＋10－x＋8＝30?x＝3，
∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人).
11.已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}.
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B??RA，求实数m的取值范围.
解 (1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，
A∪B＝{x|－1＜x＜4}.
(2)?RA＝{x|x≤－1，或x＞3}.
当B＝?时，即m≥1＋3m
得m≤－，满足B??RA，
当B≠?时，使B??RA成立，
则或解之得m＞3.
综上可知，实数m的取值范围是
.
三、探究与创新
12.已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}.
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若全集U＝R，且A?(?UB)，求a的取值范围.
解 ∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，
(1)由A?B，结合数轴(如图所示)
可知a的范围为{a|a≤－4}.
(2)∵U＝R，∴?UB＝{x|x＜a}，要使A??UB，
须a＞－2.故a的取值范围为{a|a＞－2}
13.学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.
根据题意有
解得x＝5，即两项都参加的有5人.
1.集合中元素的特性
集合中元素有两大特性——确定性、互异性，确定性是指构成集合的元素要有明确的标准；而互异性是指一个集合中的元素不能有重复，求含有参数的集合元素时利用互异性来进行讨论，从而达到确定集合的目的.
2.空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往被忽视而导致漏解.
3.集合的运算
集合的运算有交、并、补三种.在集合运算过程中应力求做到“三化”：
(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？
(2)具体化：具体求出相关集合中函数的x的取值集合、y的取值集合或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式;
(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.
进行集合的运算时应当注意：
①勿忘对空集情形的讨论；
②勿忘集合中元素的互异性；
③对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；
④对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍.
题型一 集合间的关系
集合与集合之间的关系有包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.
例1 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)若x∈Z，求A的非空真子集个数.
解 ∵A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
(1)∵B?A，①B≠?
如图所示
∴
即∴2≤m≤3.
②B＝?
由m＋1＞2m－1得m＜2.
综上m≤3.
(2)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}.
则A的非空真子集个数为28－2＝254.
跟踪演练1 下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
答案 B
解析 由N＝{－1,0}，知N?M，故选B.
题型二 集合的运算
集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往会因考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对?的讨论，不要遗漏.
例2 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围.
(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
解 (1)A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x＜0，或x＞2}.
∵(?RA)∪B＝R.
∴∴－1≤a≤0.
(2)由(1)知(?RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾.即这样的a不存在.
跟踪演练2 (1)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(?UA)∩B＝________.
(2)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A.A∩B＝ B.A∩B＝?
C.A∪B＝ D.A∪B＝R
答案 (1){6,8} (2)A
解析 (1)∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴?UA＝{6,8}.
∴(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}.
(2) 由3－2x>0得x<，所以A∩B＝{x|x<2}∩＝，故选A.
题型三 分类讨论思想的应用
在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想.分类讨论时要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合元素互异性、集合运算中出现A?B，A∩B＝A，A∪B＝B等符号语言时对?的讨论等.
例3 已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B?A，求实数p的范围.
解 (1)当B＝?时，B?A，由Δ＝(－1)2－4p＜0，
解得p＞.
(2)当B≠?，且B?A时，
方程x2－x＋p＝0存在两个正实根.
由x1＋x2＝1＞0，Δ＝(－1)2－4p≥0，
且x1x2＝p＞0，得0＜p≤.
由(1)(2)可得p的取值范围为{p|p＞0}.
跟踪演练3 设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求满足条件的x的值.
解 由A∩B＝{9}，得9∈A，所以x2＝9或2x－1＝9.
故x＝±3或x＝5.
当x＝3时，B＝{－2，－2,9}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去.
当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，满足题意.
当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，A∩B＝{9，－4}与已知矛盾，应舍去，
综上所述，满足条件的x值为－3.
题型四 数形结合思想
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解.
例4 已知集合A＝{x|x＜－1，或x≥1}，B＝{x|2a＜x＜a＋1，a＜1}，B?A，求实数a的取值范围.
解 ∵a＜1，∴2a＜a＋1，B≠?.
画出数轴分析，如图所示.
由图知，要使B?A，需2a≥1或a＋1≤－1，
即a≥或a≤－2.又∵a＜1，
∴实数a的取值范围是{a|a≤－2，或≤a＜1}.
跟踪演练4 已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞2}，集合B＝{x|4x＋p＜0}.当B?A时，求实数p的取值范围.
解 集合A，B都是以不等式的形式给出的数集，欲求满足B?A的实数p，可先将集合A在数轴上表示出来，然后再根据集合B中不等式的方向，确定p与集合A中端点－1或2的关系.
∵B＝{x|4x＋p＜0}
＝，
将集合A在数轴上表示出来，如图所示.
∵B?A，
∴－≤－1，即p≥4.
故实数p的取值范围是{p|p≥4}.
1.要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系.
2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.
3.利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心.
4.遗忘空集的存在性也是常见的致误原因，在A?B，A∪B＝B，A∩B＝A，A∩B＝?中容易忽视集合A＝?这一情况，预防出现错误的办法是分类讨论.
章末检测
一、选择题
1. 设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝( )
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}
答案 B
解析 由题意可得：A∪B＝{1，2，4，6}，∴(A∪B)∩C＝{1，2，4}.故选B.
2.已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合M满足M＝{x|x∈A，且xD∈/B}，则集合M为( )
A.{2,4} B.{1,3}
C.{1,2,4} D.{2}
答案 B
解析 ∵A∩B＝{2}，由x∈A，且xD∈/B，∴M＝{1,3}.
3.已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A.A?B B.C?B
C.D?C D.A?D
答案 B
解析 因为由正方形是特殊的菱形，矩形是特殊平行四边形，正方形是特殊的矩形，逐个判断四个选项可知B正确.
4.如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.(M∩P)∩S
B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(?IS)
D.(M∩P)∪(?IS)
答案 C
解析 本题考查识图能力，关键是寻找阴影部分的形成过程，设阴影部分为集合A，显然A?P，A?M，但A?S，故选C.
5.设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么( )
A.a?A B.aD∈A
C.{a}D∈A D.{a}?A
答案 D
解析 ∵≤，∴a∈A，∴{a}?A.
6.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B等于( )
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|x＞－1}
C.{x|－1＜x＜1} D.{x|1＜x＜2}
答案 D
解析 由数轴知A∩B＝{x|1＜x＜2}.
7.定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}.设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A.0 B.2
C.3 D.6
答案 D
解析 ∵A*B＝{0,2,4}，∴各元素之和为6.
8.若P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，则必有( )
A.P∩Q＝? B.P?Q
C.P＝Q D.P?Q
答案 A
解析 ∵P是由y＝x2的自变量x的取值组成，是数集，而Q是y＝x2上的点组成的，∴P∩Q＝?.
9.已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，x0∈M，则x0与N的关系是( )
A.x0∈N B.x0?N
C.x0∈N或x0?N D.不能确定
答案 A
解析 M＝{x|x＝，k∈Z}，
N＝{x|x＝，k∈Z}，
对k取值列举得：M＝{…，－，－，，，…}
N＝{…，－，－，－，0，，，，…}
∴M?N，∴x0∈M，则x0∈N.
10.已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3＜x＜5}，则使A?B成立的实数a的范围是( )
A.{a|3＜a≤4} B.{a|3≤a≤4}
C.{a|3＜a＜4} D.?
答案 B
解析 由于a－1≤a＋2，
∴A≠?，由数轴知
∴3≤a≤4.
二、填空题
11.满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是________.
答案 4
解析 根据题意可知：B中必有元素c.
∴B可以为{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.
12.已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则A∪B＝________.
答案 {x|2＜x＜10}
解析 结合数轴可知A∪B＝B＝{x|2＜x＜10}
13.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________.
答案 1
解析 由题意知，a2＋4＞3，
故a＋2＝3，即a＝1，经验证，a＝1符合题意，
∴a＝1.
14.已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________.
答案 {－3,2}
解析 ∵2∈M，
∴3x2＋3x－4＝2或x2＋x－4＝2，
解得x＝－2,1，－3,2经检验知，
只有x＝－3,2时符合元素的互异性，
故集合为{－3,2}.
三、解答题
15.已知全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，
若A＝{b,2}，?IA＝{5}，求实数a，b.
解 ∵?IA＝{5}，∴5∈I但5D∈/A，
∴a2＋2a－3＝5.解得a＝－4或a＝2.
又A?I，∴b＝3.
∴a＝－4或2，b＝3.
16.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
解 由x2－3x＋2＝0得x＝1或2，
∴A＝{1,2}.∵A∪B＝A，∴B?A.
(1)当B＝?时，a＝0，满足B?A.
(2)当B≠?时，B＝{x|ax－2＝0}＝?{1,2}，
∴＝1或＝2，
∴a＝2或1.综上，实数a＝0,1,2.
∴集合C＝{0,1,2}.
17.设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}.
(1)分别求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C?B，求实数a的取值构成的集合.
解 (1)A∩B＝{x|3≤x＜6}，
∵?RB＝{x|x≤2，或x≥9}，
∴(?RB)∪A＝{x|x≤2，或3≤x＜6，或x≥9}.
(2)∵C?B，如图所示：
∴解得2≤a≤8，
∴所求集合为{a|2≤a≤8}.
18.已知集合A＝{x|0＜x－a≤5}，B＝{x|－＜x≤6}.
(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝A，求a的取值范围.
解 A＝{x|a＜x≤a＋5}，B＝{x|－＜x≤6}.
(1)由A∩B＝A知A?B，
故??0≤a≤1，
即实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.
(2)由A∪B＝A知B?A，
故－≥6或
解得a≤－12，或故a≤－12.
所以实数a的取值范围是{a|a≤－12}.
