§1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
学习目标 1.通过实例理解集合的有关概念(重点)；2.初步理解集合中元素的三个特性(重点)；3.体会元素与集合的属于关系(重点)；4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象(重、难点)．
知识点一 集合的概念
1．集合与元素的概念
(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某中学高一(1)班“所有聪明的同学”组成一个集合．( )
(2)由元素1,1,2组成一个集合．( )
提示 (1)不能组成一个集合，因为“聪明”这个标准不明确，而集合中的元素必须是确定的，即给定一个集合，任何元素是不是这个集合中的元素是确定的．(2)不能．因为集合中的元素是不能重复的，即集合中的元素具有互异性．
答案 (1)× (2)×
知识点二 元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a?A
a不属于集合A
【预习评价】
1．方程x2＝1的解组成的集合为A，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．1?A
C．－1∈A D．±1＝A
解析 由x2＝1，得x＝±1，所以集合A中含有元素－1,1.由元素与集合的关系可知－1∈A.∴选C．
答案 C
2．用符号“∈”或“?”填空．
(1)设集合A是小于的所有实数组成的集合，则2________A,1＋________A；
(2)设集合C是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________C，
(－1,1)________C．
解析 (1)因为2＝>，所以2?A.因为(1＋)2＝3＋2<11，所以1＋<，所以1＋∈A．
(2)因为C中的元素是有序实数对，而－1不是数对，所以－1?C，(－1,1)为有序实数对，且(－1)2＝1，所以(－1,1)∈C．
答案 (1)? ∈ (2)? ∈
知识点三 常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
【预习评价】
1．若a∈N，但a?N*，则a等于多少？
提示 N是自然集，N*是正整数，故a＝0．
2．如何判断一个元素是否是一个集合的元素？
提示 要判断一个元素是否是一个集合的元素，只需看这个元素是否具有这个集合中元素的特性．
题型一 对集合概念的理解
【例1】 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．
(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；
(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
【训练1】 有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面直角坐标系上到点O的距离等于1的点的全体；
④直角三角形的全体．
其中能构成集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．
答案 A
题型二 元素与集合的关系
【例2】 (1)设不等式2x－3>0的解集为M，下列表示正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈M
C．0∈M,2?M D．0?M,2?M
(2)若集合A是由所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，判断－6＋2是不是集合A中的元素？
(1)解析 由2x－3>0，得x>，又0<，2>，故0?M,2∈M，故选B．
答案 B
(2)解 是，因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝－2，b＝2，可得－6＋2，所以－6＋2是集合A中的元素．
规律方法 判断元素与集合关系的两个步骤
(1)确定集合中元素的特征及范围．
(2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在限定的范围内．
【训练2】 集合A是由形如m＋n(其中m，n∈Z)的数组成的，判断是不是集合A中的元素．
解 是.＝＝＝2＋．
2＋＝2＋×1，因为2,1∈Z，所以2＋∈A，
即∈A，所以是集合A中的元素.
典例
迁移
题型三 集合中元素特性的应用
【例3】 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
解 因为1∈A，所以a＝1或a2＝1，即a＝±1，当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性，所以a＝
－1．
【迁移1】 (变换条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
解 由题意a和a2组成两个元素的集合，则a≠a2，解得a≠0且a≠1．
【迁移2】 (变换条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
解 因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝±．
当a＝2时，a2＝4，满足条件；当a＝－时，a2＝2满足条件；当a＝时，a2＝2满足条件，所以a＝2或a＝±．
【迁移3】 (变换条件)已知集合A中含有三个元素a＋1,3a，a2＋1，若1∈A，求实数a的值．
解 当a＋1＝1时，a＝0,3a＝0，a2＋1＝1，不满足集合中元素的互异性．
当3a＝1时，a＝，a＋1＝，a2＋1＝，符合题意．
当a2＋1＝1时，a＝0，a＋1＝1,3a＝0，不满足集合中元素的互异性．
综上可知，实数a的值为．
规律方法 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的三个步骤
课堂达标
1．下面各组对象中不能形成集合的是( )
A．所有的直角三角形
B．指定的圆上的所有点
C．高一年级中家离学校很远的学生
D．某学校高一年级的班主任
解析 对于A，B，D满足集合的含义，对于C不满足集合中元素的确定性，不能形成集合．
答案 C
2．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 方程x2－5x＋6＝0有两个不同的解2,3，方程x2－x－2＝0也有两个不同的解－1,2，其中2是相同的，在集合M中作为一个元素，故共有3个元素．
答案 C
3．由实数x，－x，|x|，及－所组成的集合，最多含有________个元素．
解析 因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x，－x，故集合中最多含有2个元素．
答案 2
4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________．
解析 当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0?A.所以a＝2或4．
答案 2或4
5．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
解 因为集合A与集合B相等，
所以或当时，x＝y＝0不符合元素的互异性，当时，得或当x＝0时，y＝0不符合元素的互异性，故x＝1，y＝0．
课堂小结
1．研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．这是判断能否构成集合的依据．
2．集合中元素的三个特征
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．
(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
基础过关
1．下列各选项中的对象不能构成集合的是( )
A．小于5的自然数 B．著名的艺术家
C．曲线y＝x2上的点 D．不等式2x＋1>7的整数解
解析 选项B中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能构成一个集合．
答案 B
2．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( )
A．0∈A B．a?A
C．a∈A D．a＝A
解析 由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，a是否等于0不确定，所以0是否属于A不确定，故选C．
答案 C
3．集合A＝{x|x<5，x∈N*}，用列举法表示集合A正确的是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案 B
4．已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3?Z.正确的个数为________．
解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的．
答案 3
5．已知集合A中只含有一个元素1，若|b|∈A，则b＝________．
解析 由题意|b|＝1，所以b＝±1．
答案 ±1
6．若集合A中含有3个元素x,0，x2－x，求x满足的条件．
解 由题意得得
∴x满足的条件是x≠0，且x≠1，且x≠2．
7．若集合A中的元素为0，1，2，3，集合B中的元素x满足－x∈A，且1－x?A，则集合B中元素的个数是多少？
解 若－x＝0，则1－x＝1∈A，∴此时x＝0不成立；
若－x＝1∈A，则1－x＝2∈A，∴此时x＝－1不成立；
若－x＝2∈A，则1－x＝3∈A，∴此时x＝－2不成立；
若－x＝3∈A，则1－x＝4?A，∴此时x＝－3满足条件．
综上可知集合B中元素的个数为1．
能力提升
8．设集合A中含有3个元素2,3,4；集合B中也含有3个元素2,4,6，若x∈A且x?B，则x＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析 2∈A且2∈B,4∈A且4∈B,3∈A且3?B，故x＝3．
答案 B
9．已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是( )
A．3∈A，－1?A B．3∈A，－1∈A
C．3?A，－1∈A D．3?A，－1?A
解析 当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；当x<0，y<0时，
z＝－1－1＋1＝－1.所以3∈A，－1∈A．
答案 B
10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．
解析 由x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，故集合A中的元素为－1和3，所以a＋b＝2．
答案 2
11．若集合M含有元素1，，a，集合N含有元素0，a＋b，a2，且集合M与集合N相等，则a2 015＋b2 016＝________．
解析 因为集合M与集合N相等，且集合N中含有元素0，所以集合M中也含有元素0，若a＝0，则无意义，故只能b＝0，所以a2＝1，即a＝±1，
当a＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以a≠1，当a＝－1时，经检验符合题意．所以a2 015＋b2 016＝(－1)2 015＋02 016＝－1．
答案 －1
12．由a2,2－a,4所组成的集合记为A．
(1)是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．
(2)若A中只含有两个元素，求a的值．
解 (1)由题意知若A中只有一个元素，则这三个数相等，即a2＝2－a＝4，
由2－a＝4解得a＝－2．
此时a2＝4，所以符合条件．
故当a＝－2时，A中只有一个元素．
(2)由题意可知，这三个数中必有两个数相等．
当2－a＝4时，a＝－2，由(1)知此时集合A中只含一个元素，不合题意；
当a2＝4，即a＝2或a＝－2(舍去)时，2－a＝0，
故此时集合A中含有两个元素：0,4．
当a2＝2－a，即a2＋a－2＝0，
由(a－1)(a＋2)＝0解得a＝1或a＝－2(舍去)，
此时a2＝2－a＝1，
显然集合A中含有两个元素：1,4．
综上，当a＝2或a＝1时，集合A中有两个元素．
13．(选做题)设P，Q是两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
解 当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11，由集合的互异性可知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
第2课时 集合的表示
学习目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)(重点)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
知识点一 列举法表示集合
(1)列举法的定义：把集合中的元素一一列举出来，并且花括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法．
(2)列举法三步骤：
第一步：求出集合的元素；
第二步：把元素一一列举出来，注意不重复；
第三步：用花括号括起来．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．( )
(2)集合{x2＋1,1}中的x的取值为任意实数．( )
提示 (1)不正确；集合{(1,2)}与集合{(2,1)}的元素不同，故两集合不是同一集合，故此说法不正确．
(2)不正确．集合中的x不能为0．
答案 (1)× (2)×
知识点二 描述法表示集合
(1)描述法的定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
(2)描述法三步骤：
第一步：用符号表示一般元素及取值范围；
第二步：写出元素所具有的共同特征；
第三步：用竖线隔开写在花括号内．
(3)描述法的格式：
【预习评价】
1．下列集合是用描述法表示的为( )
A．{x＝1} B．{1}
C．{x|x＝1} D．1
解析 根据描述法的表示形式知选项C正确．
答案 C
2．不等式4x－5<7的解集为________．
解析 由4x－5<7，得x<3，所以不等式4x－5<7的解集为{x|4x－5<7}，即{x|x<3}．
答案 {x|x<3}
知识点三 集合的分类
集合
【预习评价】
1．集合{x∈R|x2<0}中有几个元素？
提示 0个．
2．所有整数组成的集合，能否写成{整数集}?
提示 不能，因为“{ }”表示“所有”“一切”“整体”的含义，所以所有整数组成的集合，不能写成{整数集}，而应写成{x|x是整数}或Z．
3．一个集合是否既可用列举法表示也可用描述法表示？
提示 可以．如小于5的自然数既可以用列举法表示为{0,1,2,3,4}，也可用描述法表示为{x∈N|x<5}．
题型一 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(3)方程组的解．
解 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}．
(2)由得故交点组成的集合为{(0,1)}．
(3)由得故方程组的解集为{(－1,2)}．
规律方法 用列举法表示集合的适用条件
(1)集合中的元素较少，能够一一列举出来时，适合用列举法；
(2)集合中的元素较多或无限多，但呈现一定的规律性时，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．
【训练1】 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合．
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
(3)单词look中的字母组成的集合．
(4)不等式组的整数解组成的集合．
解 (1)小于10的所有自然数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，故用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)方程x2＝x的实数根为1,0，用列举法表示为{1,0}．
(3)因为集合中的元素具有互异性，所以look中的字母组成的集合为{l，o，k}．
(4)由得3
题型二 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
规律方法 用描述法表示集合时应注意：(1)“竖线”前面的x∈R可简记为x；(2)“竖线”不可省略；(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；(4)同一个集合，描述法表示可以不唯一．
【训练2】 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．
解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}.
互动
探究
题型三 列举法与描述法的综合运用
【探究1】 (1)设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－5x－a＝0}中所有元素之和为________．
(2)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，则a＝________，b＝________．
解析 (1)因为－5∈{x|x2－ax－5＝0}，
所以25＋5a－5＝0，所以a＝－4，
代入方程x2－5x－a＝0得x2－5x＋4＝0，
解得x＝1或4，所以集合{x|x2－5x－a＝0}＝{1,4}．
集合{x|x2－5x－a＝0}中所有元素之和为5．
(2) 由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a＝5，b＝6．
答案 (1)5 (2)5 6
【探究2】 已知f(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)，A＝{x∈R|f(x)－x＝0}，B＝{x∈R|f(x)－ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B．
解 因为f(x)－x＝0，即x2－(a＋1)x＋b＝0．
又因为A＝{1，－3}，
所以由根与系数的关系，得
所以所以f(x)＝x2＋3x－3．
f(x)－ax＝0，亦即x2＋6x－3＝0．
所以B＝{x∈R|x2＋6x－3＝0}＝{－3－2，－3＋2}．
【探究3】 设集合B＝．
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B．
解 (1)当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时，＝?N，所以1∈B,2?B．
(2)因为∈N，所以0<2＋x≤6，且2＋x∈N*，
当x＝0时，＝3∈N；当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时，＝?N；当x＝3时，＝?N；
当x＝4时，＝1∈N.所以集合B＝{0,1,4}．
【探究4】 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即当a＝1时，原方程的解为x1＝x2＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，A中只有一个元素．
(2)A中最多有一个元素，即A中有一个元素或A中没有元素．当Δ＝4－4a<0，即a>1时，原方程无实数解．结合(1)知当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由Δ>0，得a<1，结合(1)可知a≤1.即a≤1时，A中至少有一个元素．
规律方法 (1)识别集合含义的两个步骤
一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
(2)集合中元素的互异性的应用
互异性是指在给定的一个集合中，任何两个元素都是不同的．在解题中经常用到集合中元素的互异性，如求集合中字母的值时，由元素对应相等列出方程求出字母的值后必须回代检验，防止集合中出现重复元素．
课堂达标
1．集合{x|－3≤x≤3，x∈N}用列举法表示应是( )
A．{1,2,3} B．{0,1,2,3}
C．{－2，－1,0,1,2} D．{－3，－2，－1,0,1,2,3}
解析 因为x∈N，故表示－3到3的自然数组成的集合，所以用列举法可表示为{0,1,2,3}．
答案 B
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
解析 集合中的元素为点，满足的条件是y＝2x－1，故选D．
答案 D
3．方程的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．
解析 方程组的解为x＝，y＝－，因此用列举法表示该集合为，
描述法表示为．
答案
4．已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,10}，且－3∈A，则集合A＝________．
解析 由－3∈A知，a－2＝－3或2a2＋5a=－3，解得a＝－1或a＝－.下面检验：
当a＝－1时，2a2＋5a＝a－2＝－3，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝－时，集合中的元素互不相同，满足题意．
综上，a＝－，集合A＝．
答案 A＝
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．
解 (1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，x∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．
课堂小结
1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性，当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
基础过关
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
解析 集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根为1，故可表示为{1}．故选B．
答案 B
2．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t<5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s<6}
答案 D
3．给出下列说法：
①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；
②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；
③集合{x|x∈N*，x<5}＝{0,1,2,3,4}；
④第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．
其中正确说法的序号是( )
A．①② B．③④
C．② D．①③④
解析 对于某些集合(如小于10的自然数组成的集合)可以用列举法表示，也可以用描述法表示，表示方法不唯一，故说法①不正确；集合P＝{x|0≤x≤1}的元素有无限个，是无限集，故说法②正确；由于{x|x∈N*，x<5}＝{1,2,3,4}，故说法③不正确；第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}，故说法④不正确．综上可知，正确的说法是②．
答案 C
4．集合{y|y＝x，－1≤x≤1，x∈Z}用列举法表示是______________ ．
解析 集合中的元素是y，而y又是通过x来表示的，满足条件的x有－1,0,1，将所有相应的y值一一写到大括号中，便得到用列举法表示的集合．
答案 {－1,0,1}
5．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为________．
解析 由题意知－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根．
则解得
所以a＋b＝－3．
答案 －3
6．用适当的方法表示下列集合：
(1)16与24的公约数；
(2)不等式3x－5>0的解构成的集合．
解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1,2,4,8}．
(2)不等式3x－5>0的解集为{x|3x－5>0}或{x|x>}．
7．若集合A＝{0,1，－1,2，－2,3}，集合B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，求集合B．
解 当x＝0时，y＝－1；
当x＝±1时，y＝0；
当x＝±2时，y＝3；
当x＝3时，y＝8．
所以集合B＝{－1,0,3,8}．
能力提升
8．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
解析 因为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，故满足条件的元素(x，y)有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共10个．
答案 D
9．定义A?B＝{z|z＝x·y＋，x∈A，y∈B}，若A＝{0,2}，B＝{1,2}，则A?B中所有元素和为( )
A．1 B．2
C．9 D．18
解析 由A?B的定义知当x＝0，y＝1时，z＝0，
当x＝0，y＝2时，z＝0，当x＝2，y＝1时，z＝4，
当x＝2，y＝2时，z＝5，所以A?B中共有3个元素，其和为9．
答案 C
10．集合{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}用列举法可表示为________．
解析 由x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z，
所以有
故有元素(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)共4个．
则用列举法可表示为{(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)}．
答案 {(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)}
11．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．
解析 由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案 {1,3}
12．用适当的方法表示下列集合：
(1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；
(2)方程＋|y－2|＝0的解集．
解 (1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有：12,21,13,31,23,32，用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}．
(2)由＋|y－2|＝0，
得所以所以方程＋|y－2|＝0的解集用描述法可表示为
13．(选做题)若集合M具有下列性质：①0∈M,1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M，且x≠0时，∈M，则称集合M为“好集”．
(1)分别判断集合P＝{－1,0,1}，有理数集Q是否是“好集”？并说明理由．
(2)设集合A是“好集”，求证：若x，y都在A中，则x＋y∈A．
(1)解 集合P不是“好集”．理由是：假设P是“好集”，因为－1∈P,1∈P，所以
－1－1＝－2∈P，这与－2?P矛盾．
有理数集Q是“好集”．因为0∈Q,1∈Q，对任意的x，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q(所有有理数都能化为分数，分数与整数统称为有理数)，
所以有理数集Q是“好集”．
(2)证明 因为集合A是“好集”，所以0∈A．
若x，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A．
所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A．
§2 集合的基本关系
学习目标 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断(重、难点)；2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系(重点)；3.了解空集的含义及其性质(重点)．
知识点一Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫作图示法．
(2)适用范围：元素个数较少的集合．
(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
知识点二子集
1．子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集
A?B(或B?A)
2.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A．
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C．
(3)若A?B，B?A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合都有两个子集．( )
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )
提示 (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．集合A是函数y＝x2的x的范围，即A＝R；集合B是函数y＝x2的y的范围，即B＝{y|y≥0}；集合C是函数y＝x2图像上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．
答案 (1)× (2)×
知识点三 真子集
定义
符号表示
图形表示
真子集
对于两个集合A与B，如果集合A?B，并且A≠B，称集合A是集合B的真子集
A?B(或B?A)
【预习评价】
1．已知集合A＝{x|－1A．B?A B．A?B
C．B?A D．A?B
解析 由集合A，B可看出x∈B?x∈A，但x∈A? x∈B．
答案 C
2．已知{0,1}?A?{－1,0,1}，则集合A＝________．
解析 由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A?
{－1,0,1}，所以A＝{－1，0,1}．
答案 {－1,0,1}
知识点四 空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫作空集．
(2)用符号表示为：?．
(3)规定：空集是任何集合的子集．
【预习评价】
1．{0}，?与{?}之间有什么区别与联系？
提示 {0}是含有一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此有??{0}，而{?}是含有一个元素?的集合，因此有?∈{?}．
2．集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？
提示 区别在于集合A是集合B的子集存在着A＝B的可能，但集合A是集合B的真子集就不存在A＝B的可能．
题型一 有限集合的子集确定问题
【例1】 (1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；
(2)已知集合A满足{a，b}?A?{a，b，c，d}，求满足条件的集合A．
解 (1)子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}．
真子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．
(2)由题意可知，A中一定有a，b，对于c，d可能没有，也可能有1个，故满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．
规律方法 求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
【训练1】 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．
解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8．
题型二 集合间关系的判定
【例2】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解 (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B．
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B．
(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N?M．
【例 3】 已知集合A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为( )
A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A≠B
解析 设x1∈A，则x1＝(2k1＋1)，k1∈Z．
当k1＝2n，n∈Z时，x1＝(4n＋1)＝n＋，∴x1∈B；当k1＝2n－1，n∈Z时，x1＝(4n－1)＝n－，
∴x1∈B.∴A?B.设x2∈B，则x2＝k2±＝(4k2±1)，k2∈Z.由于4k2＋1＝2×2k2＋1,4k2－1＝2(2k2－1)＋1，且2k2表示所有的偶数，2k2－1表示所有的奇数，
∴4k2±1与2k＋1(k∈Z)一样，都表示所有奇数．
∴x2＝(4k2±1)＝(2k＋1)，k∈Z．
∴x2∈A.∴B?A．
故A＝B.故选C．
答案 C
规律方法 判断集合与集合关系的常用方法：(1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定“集合的元素是什么”，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图判断．若A?B和A?B同时成立，则A?B更能准确表达集合A，B之间的关系．
【训练2】 集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，则M，P，S之间的关系为( )
A．S?P?M B．S＝P?M
C．S?P＝M D．S?P＝M
解析 对于M：x＝3k－2＝3(k－1)＋1，k∈Z，
对于P：y＝3n＋1，n∈Z，
∴M＝P．
而z＝6m＋1＝3·(2m)＋1，m∈Z，
∴S?P＝M，故选C．
答案 C
题型三 集合相等
【例 4】 设集合A＝{1，a，b}，集合B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2 016＋b2 016．
解 ∵A＝B，∴或
解方程组得或或由集合元素的互异性得a≠1，
∴a＝－1，b＝0，故a2 016＋b2 016＝1.
规律方法 由A＝B(或A?B)求字母的值时，要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性．
【训练3】 设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 因为a≠0，所以a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1.故b－a＝2．
答案 C
典例
迁移
题型四 由集合间的关系求参数范围问题
【例 5】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A?B，求实数m的取值范围．
解 因为A?B，
所以解得故3≤m≤4．
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
【迁移1】 (变换条件)本例中若将“A?B”改为“B?A”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 (1)当B＝?时，m－6>2m－1，
即m<－5．
(2)当B≠?时，由即得m∈?，
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
【迁移2】 (变换条件)本例中若将“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|x<－2或x>5}”，若B?A，求实数m的取值范围．
解 (1)当B＝?时，m－6>2m－1，即m<－5．
(2)当B≠?时，由或
所以或即m>11或－5≤m<－．
综上，实数m的取值范围是．
【迁移3】 (变条件改变问法)已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B?A，求实数a的值．
解 A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．
当B≠?时，由于B?A，因此B＝{－1}或B＝{3}．
①当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；
②当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝．
当B＝?时，ax－2＝0无解，可得a＝0．
综上所述，实数a的值为－2或或0．
规律方法 (1)求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；
(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；
(3)注意空集的特殊性，遇到“B?A”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B＝?”和“B≠?”两种情形讨论．
课堂达标
1．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数为( )
A．4 B．7
C．8 D．16
解析 可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个)．
答案 B
2．设集合M＝{x|x>－2}，则下列选项正确的是( )
A．{0}?M B．{0}∈M
C．?∈M D．0?M
解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误．
答案 A
3．集合{－1,0,1}共有________个子集．
解析 由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8个子集．
答案 8
4．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x＝________，y＝________．
解析 因为A＝B，所以x＝0或y＝0.若x＝0，则x2＝0，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去；若y＝0，则x＝x2，得x＝0(舍去)或x＝1，此时A＝B＝{0,1}．所以x＝1，y＝0．
答案 1 0
5．已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，判断集合A，B的关系．
解 A＝{x|x－7≥2}＝{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，所以A?B．
课堂小结
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A．
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
基础过关
1．已知集合A＝{－1,1}，则下列式子表示正确的有( )
①1∈A；②{－1}∈A；③??A；④{1，－1}?A．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 正确的是①③④，故选C．
答案 C
2．已知集合P和Q的关系如图所示，则( )
A．P>Q B．Q?P
C．P＝Q D．P?Q
解析 由图可知Q中的元素都是P中的元素，所以Q是P的子集，故选B．
答案 B
3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
解析 选项A错，应当是B?A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应是D?A．
答案 B
4．已知A＝{x|－2解析
本题给出了两个待定的集合，且已知A∪B＝R，结合数轴表示可求出参数a的取值范围．如图所示，因为A∪B＝R，所以应满足解得所以≤a≤2．
故填．
答案
5．设A＝{x|1解析
因为A?B，所以a≥2，
即实数a的取值范围是{a|a≥2}．
答案 {a|a≥2}
6．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，若M＝N，求a与b的值．
解 由题意得或
解得或或
又a＝0，b＝0时，此时集合M中的元素不满足互异性，故舍去．
∴a＝0，b＝1或a＝，b＝．
7．已知集合A＝{x|x<－3或x>4}，B＝{x|2m－1解 当B＝?时，只需2m－1≥m＋1即m≥2．
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，可得
或
解得m≤－4或?.∴m≤－4．
综上，实数m的取值范围为{m|m≤－4或m≥2}．
能力提升
8．设集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．以上都不对
解析 对于集合M中元素x＝＋＝，k∈Z，集合N中元素x＝＋＝，k∈Z，所以M?N．
答案 B
9．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为( )
A．{－1} B．{1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
解析 当a＝0时，B＝?，满足题意，
当a≠0时，B＝，由B?A，
所以－＝1或－＝－1，故a＝－1或a＝1．
故实数a的取值集合为{－1,0,1}．
答案 D
10．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B?A，则实数k的取值范围是________．
解析 因为B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，故B≠?，又B?A，所以有即－1≤k≤．
答案
11．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，则A的子集个数为________．
解析 集合A中元素为方程x2－3x＋4＝0的根，由于Δ＝(－3)2－4×4＝－7<0，所以方程x2－3x＋4＝0无解，
故A＝?，所以A的子集个数为1．
答案 1
12．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求实数a的取值范围；
(2)若B?A，求实数a的取值范围．
解 (1)若A?B，由图可知，a>2．
(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2．
13．(选做题)已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C，使C中每个元素都加上2就变成了A的一个子集；且C中的每个元素都减去2就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，说明理由．
解 假设存在集合C满足条件，则C≠?，将A中元素都减2，B中元素都加2，于是C?{0,2,4,6,7}且C?{3,4,5,7,10}．注意到两个集合有共同元素，故存在满足条件的C，即C＝{4,7}或C＝{4}或C＝{7}．
§3 集合的基本运算
3．1 交集与并集
学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(重点)；2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用(重点)；3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题(重、难点)．
知识点一 交集的概念
交集的三种语言表示
(1)文字语言：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示：
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当两个集合没有公共元素时，这两个集合没有交集．( )
(2)若A∩B＝?，则A＝B＝?.( )
提示 (1)不正确．当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空集．
(2)不正确．A∩B＝?存在三种情况：
①集合A，B均为空集；
②集合A，B中有一个是空集；
③集合A，B均为非空集，但无相同元素．
答案 (1)× (2)×
知识点二 并集的概念
并集的三种语言表示
(1)文字语言：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示：
【预习评价】
1．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B等于( )
A．{x|x>1} B．{x|x>0}
C．{x|0解析 A∪B＝{x|x>1}∪{x|x>0}＝{x|x>0}．
答案 B
2．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是________．
解析 由{1}∪B＝{1,2}，故B＝{2}，{1,2}，共2个．
答案 2
知识点三 并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪?＝A
A∩?＝?
A?B?A∪B＝B
A?B?A∩B＝A
【预习评价】
1．集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”包含哪几种情况？
提示 集合中的“或”包含三种情况：①x∈A但x?B；②x∈B但x?A；③x∈A且x∈B．
2．集合A∪B，A∩B与集合A、集合B有何关系？
提示 因为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，故A?(A∪B)，B?(A∪B)，(A∩B)?A，(A∩B)?B．
3．A∪A，A∩A，A∪?，A∩?分别等于什么？
提示 A∪A＝A，A∩A＝A，A∪?＝A，A∩?＝?．
题型一 并集及其运算
【例1】 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )
A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}
C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}
(2)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|－1＜x＜0} D．{x|1＜x＜2}
解析 (1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)结合数轴可得P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．故选A.
答案 (1)A (2)A
规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合．若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
【训练1】 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}
解析 ∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．
答案 C
题型二 交集及其运算
【例2】 (1)设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
解析 (1)由已知得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{－1,0,1}．故选B．
(2)1是方程x2－4x＋m＝0的解，x＝1代入方程得m＝3，∴x2－4x＋3＝0的解为x＝1或x＝3，∴B＝{1，3}．
答案 (1)B (2)C
规律方法 求集合交集的思路
(1)识别集合：点集或数集．
(2)化简集合：明确集合中的元素．
(3)求交集：元素个数有限，利用定义或Venn图求解；当解集为连续数集时，借助数轴求解．
【训练2】 (1)设集合A＝{x|x∈N，x≤4}，B＝{x|x∈N，x>1}，则A∩B＝________．
(2)集合A＝{x|x≥2或－2解析 (1)因为A＝{x|x∈N，x≤4}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x∈N，x>1}，所以A∩B＝{2,3,4}．
(2)A∩B＝{x|x≥5或x＝2}．
答案 (1){2,3,4} (2){x|x≥5或x＝2}
互动
探究
题型三 集合交、并运算的性质及综合应用
【探究1】 已知集合A＝{x|－2解 因为A∪B＝B，所以A?B，所以
即－4≤m≤－．
故实数m的取值范围是．
【探究2】 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解 ①当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3；②当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．
规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：当题目中含有条件A∩B＝A，A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等．
(2)关注点：当题目条件中出现B?A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝?和B≠?的情况．
课堂达标
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3}，则A∩B＝( )
A．{2} B．{1,2}
C．{1,3} D．{1,2,3}
解析 因为A＝{1,2,3}，B＝{1,3}，所以A∩B＝{1,3}．
答案 C
2．已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝?
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
解析 由3－2x>0得x<，所以A∩B＝{x|x<2}∩＝，故选A.
答案 A
3．已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}，则P∪Q＝________．
解析 因为P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}＝{y|y≤5}，所以P∪Q＝R．
答案 R
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________．
解析 因为A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，
所以A∩B＝＝{(2,5)}．
答案 {(2,5)}
5．设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解 A＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，B是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解集．
∵A∪B＝A，∴B?A．
∵A＝{－1,2}≠?，∴B＝?，或B≠?．
当B＝?时，关于x的方程x2＋x＋a＝0无实数解，则有Δ＝1－4a<0，即a>．
当B≠?时，关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数解．
若B中仅有一个元素，则Δ＝0，即a＝．
此时B＝{x|x2＋x＋＝0}＝{－}．
∵－?A，
∴B不是A的子集，即a＝不合题意．
若B中含有两个元素，则必有B＝{－1,2}，则－1和2是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解，
∴即
∵1≠－1，∴此种情况不合题意．
综上可得，实数a的取值范围是{a|a>}．
课堂小结
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?．
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
基础过关
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
解析 由定义知A∪B＝{1，2，3，4}．
答案 A
2．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析 (A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩{x∈R|－1≤x≤5}＝{1，2，4}，选B.
答案 B
3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
解析 在数轴上表示出集合A与B，如图．
则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．
答案 A
4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝________．
解析 M∩N＝{－1,0,1}∩{0,1,2}＝{0,1}．
答案 {0,1}
5．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5由A∩B＝(－1，n)可知m<1，
则B＝{x|m答案 －1 1
6．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解 ∵A∪B＝A，∴B?A．
若B＝?时，2a>a＋3，即a>3；
若B≠?时，解得－1≤a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是{a|－1≤a≤2，或a>3}．
7．已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，若M∩N＝{2,3}，求实数a的值．
解 因为M∩N＝{2,3}，所以a2－3a＋5＝3，所以a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,3,5}，M＝{2,3,5}，不合题意．当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．所以实数a的值为2．
能力提升
8．若集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B等于( )
A．{x＝1或x＝2} B．{1,2}
C．{(1,2)} D．(1,2)
解析 由题意可知两个集合都是点集，因此只有C选项正确．
答案 C
9．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x?P}，则P－(M－P)等于( )
A．P B．M∩P
C．M∪P D．M
解析 法一 当M∩P≠?时，如图所示，由Venn图知M－P为图形中的阴影部分，则P－(M－P)显然为P．
当M∩P＝?时，M－P＝M，则P－(M－P)＝P－M＝{x|x∈P且x?M}＝P.综上所述，应选A．
法二 令M＝{0,1,2,3}，P＝{－1,1,2}，依题意得M－P＝{0,3}，P－(M－P)＝{－1,1,2}，∴P－(M－P)＝P.故选A．
答案 A
10．已知集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．
解析 因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1,2,3}．
答案 {1,2,3}
11．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A的个数是________．
解析 由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，集合A中至少含有元素5，故A可为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共4个．
答案 4
12．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值．
解 因为A∩B＝{3}，所以3∈A．
从而可得p＝8，所以A＝{3,5}．
又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，所以B＝{2,3}．
所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3．
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6．
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6．
13．(选做题)(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求实数a的值；
(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求实数m的值．
解 (1)∵A∩B＝{9}，∴9∈A，
∴2a－1＝9，或a2＝9，
∴a＝5，或a＝±3．
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}不合题意，舍去；
当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意，
∴a的值为－3．
(2)由P∩Q＝Q，可知Q?P，
∴m2＝1，或m2＝2，或m2＝m．
解得m＝±1，或m＝±，或m＝0．
经检验m＝1时不满足集合中元素的互异性，舍去．
∴m＝－1，或m＝±，或m＝0．
3．2 全集与补集
学习目标 1.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集(重、难点)；2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题(重、难点)．
知识点一 全集
(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．
(2)记法：全集通常记作U．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定是实数集R.( )
(2)全集一定包含所有元素．( )
提示 (1)全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.(2)全集并不是一个包罗万象的集合，而仅仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，问题不同，全集也不尽相同．
答案 (1)× (2)×
知识点二 补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
【预习评价】
1．若B＝?UA，则( )
A．A?B B．B?A
C．A?U D．A＝B
解析 由补集的定义知A?U．
答案 C
2．已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则?UA＝( )
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2或x≥2}
解析 A＝{x|x<－2或x>2}，则?UA＝{x|－2≤x≤2}，故选C.
答案 C
知识点三 补集的性质
(1)A∪(?UA)＝U；
(2)A∩(?UA)＝?；
(3)?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A；
(4)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；
(5)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．
【预习评价】
1．设集合A＝{1,2}，那么相对于集合M＝{0,1,2,3}和N＝{1,2,3}，?MA和?NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识．
提示 ?MA＝{0,3}，?NA＝{3}，?MA≠?NA．
由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同．
2．根据补集的性质?U(?UA)＝A如何求集合A?
提示 可以先求?UA，然后再求?UA的补集即集合A．
题型一 简单的补集运算
【例1】 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA等于( )
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．?
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________．
解析 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴?UA＝{3,4,5}．
(2)由补集的定义，结合数轴可得?UA＝{x|x<1}．
答案 (1)B (2){x|x<1}
规律方法 (1)根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪(?UA)＝U．
【训练1】 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3解析 借助数轴得?UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
答案 {x|x＝－3，或x>4}
题型二 集合交、并、补的综合运算
【例2】 (1)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，则N＝( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
(2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2(1)解析 画出Venn图，阴影部分为M∩(?UN)＝{2,4}，所以N＝{1,3,5}．
答案 B
(2)解 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，再求解．
则?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3，或2所以A∩B＝{x|－2(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
A∩(?UB)＝{x|2规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．
2．求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分，如本例2求(?UA)∪B时，可先求出?UA，再求并集．
【训练2】 (1)设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求?UA，?UB，(?UA)∩
(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解 (1)?UA＝{1,2,6,7,8}，
?UB＝{1,2,3,5,6}，
(?UA)∩(?UB)＝{1,2,6}，
(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,5,6,7,8}．
(2)全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图知A∪B＝{x|2所以?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
所以?RA＝{x|x<3或x≥7}，
所以(?RA)∩B＝{x|2互动
探究
题型三 与补集相关的参数值的求解
【探究1】 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A．
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4．
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A?U，故a＝－4舍去．
综上知a＝2．
【探究2】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2解 由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以实数m的取值范围是{x|m≥2}．
【探究3】 设全集U＝R，M＝{x|3a解 ?UP＝{x|x<－2或x>1}，
因为M?(?UP)，所以分M＝?，M≠?两种情况讨论．
(1)M＝?时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5．
(2)M≠?时，如图可得：
或
所以a≤－或≤a<5，
综上可知，实数a的取值范围为．
【探究4】 设全集U＝R，集合A＝{x|－51}，集合C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其满足下列两个条件：①C?(A∩B)，②C?(?UA)∩
(?UB)．
解 因为A＝{x|－5B＝{x|x<－6或x>1}，
所以A∩B＝{x|1又?UA＝{x|x≤－5或x≥4}，
?UB＝{x|－6≤x≤1}，
所以(?UA)∩(?UB)＝{x|－6≤x≤－5}．
而C＝{x|x当C?(?UA)∩(?UB)时，m>－5，
综上，实数m的取值范围是{m|m≥4}．
规律方法 由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
课堂达标
1．全集U＝{0,1,3,5,6,8}，集合A＝{1,5,8}，B＝{2}，则集合(?UA)∪B＝( )
A．{0,2,3,6} B．{0,3,6}
C．{2,1,5,8} D．?
解析 ?UA＝{0,3,6}，所以(?UA)∪B＝{0,2,3,6}．
答案 A
2．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则?UP等于( )
A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}
C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}
解析 因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以?UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．
答案 A
3．已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则?UA＝________．
解析 如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，
?UA＝{x|0答案 {x|04．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1解析 因为?UB＝{x|x≤0或x≥5}，故A∩(?UB)＝{x|－1答案 {x|－15．已知全集U＝{2,3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}，?UA＝{5}，求实数a的值．
解 法一 由|a－7|＝3，得a＝4或a＝10，当a＝4时，a2－2a－3＝5，当a＝10时，a2－2a－3＝77?U，所以a＝4．
法二 由A∪(?UA)＝U知所以a＝4．
课堂小结
1．补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A和x∈?UA二者必居其一．
求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
2．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
3．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
基础过关
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则?UA等于( )
A．{x|x<0或x>4} B．{x|x≤0或x>4}
C．{x|x≤0或x≥4} D．{x|x<0或x≥4}
解析 因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，所以?UA＝{x|x<0或x≥4}．
答案 D
已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩
(?UB)等于( )
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
解析 由题意知?UB＝{2,5,8}，则A∩(?UB)＝{2,5}，选A．
答案 A
3．已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1,2} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{1,2}
解析 图中阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以
(?UA)∩B＝{－1,2}．
答案 A
4．已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合M＝{x|x为不大于3的自然数}，则?UM＝________．
解析 ∵M＝{0,1,2,3}，∴?UM＝{－1}．
答案 {－1}
5．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(?RB)＝________．
解析 因为B＝{x|x<－1}，则?RB＝{x|x≥－1}，所以A∩(?RB)＝{x|－2≤x<3}∩{x|x≥－1}＝{x|－1≤x<3}．
答案 {x|－1≤x<3}
6．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，求实数a的值．
解 ∵?UP＝{－1}，∴－1∈U，且－1?P,0∈P．
∴解得a＝2．
经检验，a＝2符合题意，故实数a的值为2．
7．已知全集U＝R，A＝{x||3x－1|≤3}，
B＝，求?U(A∩B)．
解 由|3x－1|≤3，则－3≤3x－1≤3，得－≤x≤．
所以A＝{x|－≤x≤}．由得－所以B＝，A∩B＝，
所以?U(A∩B)＝．
能力提升
8．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(?RM)∩N等于( )
A．{x|x<－2} B．{x|－2C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}
解析 由题意可知?RM＝{x|x<－2或x>2}，故(?RM)∩N＝{x|x<－2}．
答案 A
9．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x≤2，或x>3} D．{x|－2≤x≤2}
解析 阴影部分所表示的集合为?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．故选A．
答案 A
10．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(?UA)∩B＝{3,7}，(?UB)∩A＝{2,8}，(?UA)∩(?UB)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________．
解析 (?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{1,5,6}，
所以A∪B＝{2,3,4,7,8,9}，
又(?UA)∩B＝{3,7}，(?UB)∩A＝{2,8}，所以A∩B＝{4,9}，所以A＝{2,4,8,9}，B＝{3,4,7,9}．
答案 {2,4,8,9} {3,4,7,9}
11．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A?(?UB)，则实数a的取值范围为________．
解析 ?UB＝{x|x因为A?(?UB)，所以a>－2．
答案 {a|a>－2}
12．设全集U＝{x|－3≤x≤3}，M＝{x|－1＜x＜1}．?UN＝{x|0＜x＜2}，求N，M∩(?UN)，(?UM)∩N.
解 将全集U，集合?UN，M分别表示到数轴上，
∴N＝{x|－3≤x≤0或2≤x≤3}，
M∩(?UN)＝{x|0＜x＜1}，
?UM＝{x|－3≤x≤－1或1≤x≤3}．
(?UM)∩N＝{x|－3≤x≤－1或2≤x≤3}．
13. (选做题)已知A={x|－1(1)当m=1时，求A∪B；
(2)若B?(?RA)，求实数m的取值范围.
解 (1)m=1,B={x|1≤x<4}，
A∪B={x|-1(2)?RA ={x|x≤-1，或x>3}.
当B=?时，即m≥1+3m,得m≤-，满足B?(?RA)，
当B≠?时，要使B?(?RA)成立，
则或解得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是{m|m>3，或m≤-}.
章末检测(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1．下列说法正确的是( )
A．很小的实数可以构成集合
B．集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合
C．自然数集N中最小的数是1
D．空集是任何集合的子集
答案 D
2．集合A＝{x∈N|0A．3 B．4
C．7 D．8
解析 A＝{1,2,3}．子集个数为23＝8．
答案 D
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(?UM)等于( )
A．{1,3} B．{1,5}
C．{3,5} D．{4,5}
解析 ?UM＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，
则N∩(?UM)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．
答案 C
4．若集合A＝{x|x<0或x>1，x∈R}，B＝{x|x>2，x∈R}，则( )
A．A?B B．A＝B
C．A?B D．A∩B＝?
解析 任意x∈B，有x>2，所以x>1，从而x∈A，所以A?B．
答案 A
5．已知全集U＝N*，集合M＝{x|x＝2n，n∈N*}，N＝{x|x＝4n，n∈N*}，则( )
A．U＝M∪N B．U＝(?UM)∪N
C．U＝M∪(?UN) D．U＝?U(M∩N)
解析 由于N?M，由Venn图可知选C．
答案 C
6．已知全集I＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合M＝{3,4,5}，集合N＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( )
A．M∪N B．M∩N
C．(?IM)∪(?IN) D．(?IM)∩(?IN)
解析 ∵(?IM)∩(?IN)＝?I(M∪N)，
而{2,7,8}＝?I(M∪N)，故选D．
答案 D
7．已知U为全集，A，B，C是U的子集，(A∪C)?(A∪B)，则下列正确命题的个数是( )
①?U(A∩C)??U(A∩B)；②(?UA∩?UC)?(?UA∩?UB)；③C?B．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①中，设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1}，B＝{1，2，3}，C＝{2}，A∩C＝?，?U(A∩C)＝U，A∩B＝{1}，?U(A∩B)＝{2，3，4，5}，∴?U(A∩C)??U(A∩B)，①错误；②∵(A∪C)?(A∪B)，∴?U(A∪C)??U(A∪B)，即(?UA∩?UC)?(?UA∩?UB)，∴②为真命题．由Venn图可知，③为真命题．故选C.
答案 C
8．设集合A＝，B＝{x|y＝}，则(?RA)∩B等于( )
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－1C．{－1,1} D．{1}
解析 集合A＝＝{x|－1答案 C
9．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 ∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，
又∵x∈Z，∴x的值分别为5,3,1，－1，
故集合A中的元素个数为4，故选C．
答案 C
10．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析 A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A∩B元素的个数为2.
答案 B
11．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1解析 题图中阴影部分可表示为(?UM)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1答案 C
12．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．无穷多个
解析 M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，共2个．
答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析 由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.
答案 1
14．用集合的交和并表示图中阴影部分为________．
答案 A∩B∪C
15．设集合A＝{3,3m2}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________．
解析 依题意，3m＝3m2，所以m＝0或m＝1.当m＝1时，不符合元素互异性(舍去)．
答案 0
16．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________．
解 法一 A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
法二 借助Venn图，如下图所示，
由图可知B＝{2,3,5,7}．
答案 {2,3,5,7}
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)
17．(10分)已知全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，?IA＝{5}，求实数a，b．
解 ∵?IA＝{5}，∴5∈I但5?A，
∴a2＋2a－3＝5.解得a＝－4或a＝2．
又A?I，∴b＝3.∴a＝－4或2，b＝3．
18．(12分)设U＝R，集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2，或x>4}，求A∩B，(?UA)∪(?UB)．
解 A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x<－2，或x>4}＝{x|－5≤x<－2}．
?UA＝{x|x<－5，或x>3}，?UB＝{x|－2≤x≤4}，
∴(?UA)∪(?UB)＝{x|x<－5，或x≥－2}．
19．(12分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1，或x≥4}．
(1)当a＝3时，求A∩B；
(2)若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，
∴A∩B＝{x|－1≤x≤1，或4≤x≤5}．
(2)①若A＝?，此时2－a>2＋a，
∴a<0，满足A∩B＝?．
②当a≥0时，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}≠?，
∵A∩B＝?，∴∴0≤a<1．
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1)．
20．(12分)设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2(1)分别求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a解 (1)A∩B＝{x|3≤x<6}，
∵?RB＝{x|x≤2，或x≥9}．
∴(?RB)∪A＝{x|x≤2，或3≤x<6，或x≥9}．
(2)∵C?B，如图所示：
∴，解得2≤a≤8，
∴所求集合为{a|2≤a≤8}．
21．(12分)已知集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝．
(1)当a＝1时，求(?RB)∪A．
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，A＝，
又因为B＝，
则?RB＝，
所以(?RB)∪A＝．
(2)因为A＝，若A?B，
则当A＝?时，－≥，
所以0≥3不成立，所以A≠?，
所以解得－1所以实数a的取值范围是{a|－122．(12分)设A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；
(2)若??(A∩B)，且A∩C＝?，求a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠?，求a的值．
解 B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}．
(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B，∴A＝{2,3}，
∴解得a＝5．
(2)∵??(A∩B)，且A∩C＝?，
∴－4?A,2?A,3∈A，∴32－3a＋a2－19＝0．
即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2．
当a＝－2时，A＝{－5,3}，满足题意；
当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去．
综上可知，a＝－2．
(3)∵A∩B＝A∩C≠?，
∴2∈A，∴22－2a＋a2－19＝0．
即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3．
当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去；
当a＝－3时，A＝{－5,2}，满足题意．
综上可知，a＝－3．
习题课 集合的概念与运算
学习目标 1.巩固和深化对集合基础知识的理解与掌握(重点)；2.掌握集合间的关系与集合的基本运算(重、难点)．
1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
解析 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的子集共有4个．
答案 B
2．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)等于( )
A．? B．{d}
C．{b，e} D．{a，c}
解析 ∵?IM＝{d，e}，?IN＝{a，c}，
∴(?IM)∩(?IN)＝{d，e}∩{a，c}＝?．
答案 A
3．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，如图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{1} B．{1,2}
C．{1,2,3} D．{0,1,2}
解析 由题意得，A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．
答案 B
4．已知P＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，Q＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，则P与Q的关系为________．
解析 ∵x＝a2＋1≥1，x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1，∴P＝Q＝{x|x≥1}．
答案 P＝Q
类型一 集合的概念
【例1】 已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．
解 当a＋2＝1时，a＝－1，而此时有a2＋3a＋3＝1，不符合元素互异性，故a＝－1舍去．
当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2，而当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3，不符合元素互异性，故此时，a＝0．
当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或a＝－2，均应舍去．
综上所述，a＝0．
规律方法 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．
【训练1】 设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________．
解析 由得∴A∩B＝{(4,4)}．
答案 {(4,4)}
类型二 集合间的基本关系
【例2】 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
解 由x2－3x＋2＝0得x＝1或2，
∴A＝{1，2}．
∵A∪B＝A，∴B?A.
(1)当B＝?时，a＝0，此时方程ax－2＝0无解，∴a＝0时，满足B?A.
(2)当B≠?时，B＝{x|ax－2＝0}＝?{1，2}＝A，∴＝1或＝2，
∴a＝2或1.
综上，实数a＝0，1，2.
∴集合C＝{0，1，2}．
规律方法 (1)在解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解可避免出错．在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A，B，当A?B时，不要忽略A＝?的情况．
【训练2】 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若B?A，求实数a的取值范围．
解 由已知得A＝{1,2}．若B?A，则集合B有两种情况，B＝?或B≠?．
当B＝?时，方程x2－4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝16－4a<0，∴a>4．
当B≠?时，若Δ＝0，则有a＝4，B＝{2}?A满足条件；若Δ>0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，但由根与系数的关系知矛盾，故Δ>0不成立．∴当B≠?时，a＝4，综上所述，满足B?A时，实数a的取值范围是{a|a≥4}．
∴满足B?A的实数a的取值范围是{a|a<4}.
考查
方向
类型三 集合的交、并、补运算
方向1 用图示法解决集合的运算问题
【例3－1】 全集U＝{x|x是不大于9的正整数}，A，B都是U的子集，(?UA)∩B＝{1,3}，(?UB)∩A＝{2,4,8}，(?UA)∩(?UB)＝{6,9}，求集合A，B．
解 法一 U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∵(?UA)∩B＝{1,3}，(?UB)∩A＝{2,4,8}，
∴{1,3}?B，{2,4,8}?A．
∵(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{6,9}，
∴A∪B＝{1,2,3,4,5,7,8}．
∵1,3?A,2,4,8?B，∴A∩B＝{5,7}．
∴A＝{2,4,5,7,8}，B＝{1,3,5,7}．
法二 U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且(?UA)∩B＝{1,3}，(?UB)∩A＝{2,4,8}，(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{6,9}，作出Venn图，如图所示．
∴A＝{2,4,5,7,8}，B＝{1,3,5,7}．
方向2 集合运算与一元二次方程
【例3－2】 已知集合T是由关于x的方程x2＋px＋q＝0(p2－4q>0)的解组成的集合，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,4,7,10}，且T∩A＝?，T∩B＝T，试求实数p和q的值．
解 ∵Δ＝p2－4q>0，
∴方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根，即集合T中含有两个元素．
∵A∩T＝?，∴1,3,5,7,9?T．
又∵T∩B＝T，∴T?B．
∴T＝{4,10}，即4和10是方程x2＋px＋q＝0的两个实根．
由一元二次方程的根与系数的关系，得
解得
∴p和q的值分别是－14,40．
方向3 补集思想的应用
【例3－3】 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x<0，x∈R}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
解 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}
＝．
若A∩B＝?，则方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有解得m≥．
因为关于U的补集为{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
规律方法 (1)对于集合的运算，可记忆以下口诀：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复，仅取一；全集U是大范围，去掉U中A的元素，剩余元素成补集．
(2)在求各类集合的并集、交集、补集时，当已知集合是用描述法表示时，首先要弄清各集合的含义，再根据并集、交集和补集的定义及性质进行运算．
在解决一些较复杂的问题时，如果从正面直接解决比较困难，那么可以用“补集”的思想．解题步骤为：①考虑问题的反面；②求解反面问题所对应的参数的取值集合；③将所得的集合取补集．这就是“正难则反”策略．
类型四 集合的实际应用
【例 4】 向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解 赞成A的人数为50×＝30，
赞成B的人数为30＋3＝33，
记50名学生组成的集合为U，
赞成事件A的学生全体为集合M；
赞成事件B的学生全体为集合N．
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x．
则Venn图如图所示：
依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋＝50，解得x＝21．
所以对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的学生有8人．
规律方法 解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，注意两个集合并集的元素个数不一定等于两个集合的元素个数和．
【训练3】 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
解 设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，
可知没有参加过比赛的同学有：
45－(12＋20－6)＝19(名)．
答 这个班共有19名同学没有参加过比赛．
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．
2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．
基础过关
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由题意可得：A∩B＝{2，4}，共有2个元素．
答案 B
2．符合条件{a}?P?{a，b，c}的集合P的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．
答案 B
3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(?UA)∩B＝{5}，则集合B等于( )
A．{1,3} B．{3,5}
C．{1,5} D．{1,3,5}
解析 画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．
答案 D
4．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．
解析 如图中数轴所示，要使A∪B＝R，需满足a≤2．
答案 {a|a≤2}
5．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(?UB)＝________．
解析 ∵?UB＝{x|x≤1}，借助数轴可以求出?UB与A的交集为图中阴影部分，即{x|0答案 {x|06．已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A??RB，求a的取值范围．
解 ?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，
∵A??RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
(1)若A＝?，此时有2a－2≥a，
∴a≥2.
(2)若A≠?，则有或
∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
7．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．
解 (1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C?B?C，
∴－<2，∴a>－4．
∴a的取值范围是{a|a>－4}．
能力提升
8．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|xA．{a|a>3} B．{a|a≥3}
C．{a|a≥7} D．{a|a>7}
解析 因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x<7}，又(?UA)∩B≠?，则a>3．
答案 A
9．若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝( )
A．{x|－2C．{x|－1解析 A＝{x|－23}，
∴A∩B＝{x|－2答案 A
10．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1?A，x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．
解析 当x＝1时，x－1＝0?A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4?A；
当x＝5时，x－1＝4?A，x＋1＝6?A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5．
答案 1
11．已知集合A?{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．
解析 (1)若A中有且只有1个奇数，则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；
(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或?．
答案 6
12．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
解 由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18(人)．
13．(选做题)已知集合A＝{x|1(1)试定义一种新的集合运算Δ，使AΔB＝{x|1(2)按(1)的运算，求BΔA．
解 A＝{x|1(1)∵AΔB＝{x|1由上图可知AΔB中的元素都在A中但不在B中，
∴定义AΔB＝{x|x∈A，且x?B}．
(2)由(1)可知BΔA＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}．
