第八章 平行线的有关证明综合测评（含答案）

第八章 平行线的有关证明综合测评（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．有下列命题：①两点之间线段最短；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
其中真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.如图1，点E在AC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A. ∠D=∠DCE B. ∠3=∠4 C. ∠1=∠2 D. ∠D+∠ACD=180°







3．下面各数中，可以用来证明“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．9 B．8 C．4 D．16
4．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
5．如图2，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（　　）
A．54° B．62° C．64° D．74°
6．如图3，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C等于（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
7．含30°角的直角三角尺与直线l1，l2的位置关系如图4所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1等于（ ）
A.70° B.60° C.40° D.30°








8．如图5，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）
A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=∠2﹣∠1
C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2（∠1+∠2）
9．如图6，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A.40° B.35° C.30° D.25°
10．某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去.”根据导游的说法，下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（　　）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是 ．
12．若等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
13．在锐角三角形ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于点O，则∠BOC= °．
14．在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，若∠A=40°，则∠BOC=___°．
15．如图7，AB∥EF，∠C=60°，∠A=α，∠E=β，∠D=γ，则α，β，γ的关系是______．

16．如图8，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……∠A2016BC和∠A20l6CD的平分线交于点A2017，则∠A2017= °.

三、解答题（共52分）
17． (6分) 如图9，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．



20.（8分）如图10，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．






19. (8分)请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论，这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例.


20. (8分)如图11，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG．
（1）求证：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．


21.（10分）如图8，在△ABC中，∠ADB=100°，∠C=80°，∠BAD=∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．




22.（12分）已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图9—①，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．
（2）如图9—②，若AB⊥OM，是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．




附加题（20分，不计入总分）
23.探究与发现：如图14-甲所示的图形像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由.
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图14-乙，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= °；
②如图14-丙，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图14-丁，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1，G2，…，G9 ，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度数．








第八章 平行线的有关证明综合测评（二）参考答案
一、1.D 2. C 3. C 4. D 5.C 6. C 7. B 8.C 9. A 10.D
二、11.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
12.40°或70° 13.130 14. 110 15.β+γ﹣α=60° 16.
三、17．解：因为AB∥CD，所以∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°.
因为BC平分∠ABD，所以∠ABD=2∠ABC=130°.
所以∠BDC=180°﹣∠ABD=50°.所以∠2=∠BDC=50°.
18．解：因为AD是BC边上的高，∠EAD=5°，所以∠AED=85°.
因为∠B=50°，所以∠BAE=∠AED－∠B=35°.
因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAC=2∠BAE=70°.
所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°．
19．解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；结论：这两个角相等.
命题是真命题.
已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角.
求证：∠3=∠4.
证明：因为∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角，所以∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.
又∠1=∠2，所以∠3=∠4.
20.（1）证明：因为DC∥FP，所以∠3=∠2.
又因为∠1=∠2，所以∠3=∠1，所以DC∥AB.
（2）解：因为DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=28°，所以∠EFP=∠DEF=28°，AB∥FP.
因为∠AGF=80°，所以∠GFP=∠AGF=80°.
所以∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+28°=108°.
因为FH平分∠EFG，所以∠GFH=∠GFE=54°.
所以∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣54°=26°．
21．解：因为∠ADB=100°，∠C=80°，所以∠DAC=∠ADB﹣∠C=100°﹣80°=20°.
因为∠BAD=∠DAC，所以∠BAD=×20°=10°.
在△ABD中，∠ABC=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣100°﹣10°=70°.
因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠ABC=×70°=35°.
所以∠BED=∠BAD+∠ABE=10°+35°=45°．
22．解：（1）①20° ②120 60
提示：①因为∠MON=40°，OE平分∠MON，所以∠AOB=∠BON=20°.
因为AB∥ON，所以∠ABO=20°.
②因为∠BAD=∠ABD，所以∠BAD=20°.因为∠AOB+∠ABO+∠OAC+∠BAD=180°，所以∠OAC=120°.
因为∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°，所以∠BAD=80°，因为∠AOB+∠ABO+∠OAC+∠BAD =180°，所以∠OAC=60°.
（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20；
若∠BAD=∠BDA，则x=35；
若∠ADB=∠ABD，则x=50.
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上，存在这样的x的值， x可取20或35或50或125，使得△ADB中有两个相等的角．
23．解：(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C
理由如下：（1）连接AD并延长至点F，由三角形内角和定理的推论得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD.而∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，所以∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.

(2)①40°
提示：由（1）的结论易得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC.
又因为∠A=50°，∠BXC=90°，所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°.
②由（1）的结论可得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB.
因为∠A=50°，∠DBE=130°，所以∠ADB+∠AEB=80°.
因为∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，所以∠DCE=90°.
③由（1）的结论易得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A.
设∠A的度数为x°，则∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A= 140°-x°.
因为∠BG1C=77°，所以（140-x）+x=77，解得x=70.
所以∠A的度数为70°．


图10

图8

图9

① ②



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