20.1.1 平均数
最近我们进行了月考测试，下面是两位同学的各科成绩，请计算一下各自的平均分。
人生就像一张磁盘，烦恼可以删除，快乐可以拷贝。
语文 数学 英语 物理
85 95 80 90
70 100 75 88
以下是两位同学的六科月考成绩，我们知道生物、地理成绩中考按20%计入，还是按刚才的方法计算平均分合理吗？谁的成绩更占优势？
语文 数学 物理 英语 生物 地理
王强 80 90 95 80 70 75
李刚 70 90 75 70 90 95
自信心是一个最宝贵的品质之一，从本质上讲，自信是一种最大的勇气。
学习目标：
1、理解并掌握算术平均数和加权平均数的概念；
2、会求一组数据的算术平均数和加权平均数；
3、能用平均数解决一些实际问题
问题1 如果公司想招一名综合能力较强的翻译，请
计算两名应试者的平均成绩，应该录用谁？
身边的数学
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
身边的数学
乙的平均成绩为 ．
显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲．
我们常用平均数
表示一组数据的“平
均水平”．
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
解: 甲的平均成绩为 ，
提出问题
问题2 如果公司想招一名笔译能力较强的翻译，用
算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
听、说、读、写的成绩按照2:1:3:4的比确定．
重要程度
不一样!
探究新知
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
2 : 1 : 3 : 4
因为乙的成绩比甲高，所以应该录取乙．
解： ，
4
3
1
2
权
（2）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
若n个数 、 、 、… 、 的权分别为 、 、 、… 、 则这n个数的加权平均数为：
ω
n
x
n
ω
3
ω
1
ω
2
x
2
x
1
x
3
例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占50％、演讲能力占40％、演讲效果占10％的比例，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
A 85 95 95
B 95 85 95
请决出两人的名次．
解：选手A的最后得分是
85×50％＋95×40％＋95×10％
50％＋40％＋10％
＝42.5＋38＋9.5
＝90．
选手B的最后得分是
95×50％＋85×40％＋95×10％
50％＋40％＋10％
＝47.5＋34＋9.5
＝91．
由上可知选手B获得第一名，选手A获得第二名．
选手 演讲内容
（50％） 演讲能力
（40％） 演讲效果
（10％）
A 85 95 95
B 95 85 95
思考两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什么他们的最后得分不同？从中你能体会到权的作用吗？
选手A的95分是演讲能力，B的95分是演讲内容，而根据题意可知，演讲内容所占的权重比演讲能力所占的权重大，所以A的95分就不如B的95分在综合成绩中占的分值大．在此更能显示出“权”的重要性．
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
A 85 95 95
B 95 85 95
你真正理解了吗？
说一说
权
当堂练习
1、某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：
候选人 测试成绩（百分制）
面试 笔试
甲 86 90
乙 92 83
（1）如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
（2）如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？
2、晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20％，期中考试成绩占30％，期末考试成绩占50％．小桐的三项成绩（百分制）依次为95分、90分、85分，小桐这学期的体育成绩是多少？
解：小桐这学期的体育成绩是
95×20％＋90×30％＋85×50％
20％＋30％＋50％
＝19＋27＋42.5
＝88.5．
再比试一次，怎么样？
当堂小结
（1）这节课我们学习的主要内容，你都理解了吗？
温故而知新哟
加权平均数公式
ω
n
＋
＋
…
ω
3
ω
2
ω
1
＋
＋
ω
1
x
1
ω
2
x
2
＋
ω
3
x
3
＋
…
＋
ω
n
x
n
＋
权的三种表现形式
1、直接以整数形式给出；
2、比例形式给出；
3、百分数形式给出．
布置作业：
1、必做题：教科书P121页第1题
2、选做题：教科书P116页练习
3、做一个自己的课余时间规划
课后任务
第二十章 数据的分析
20.1.1 平均数(1)
20.1 数据的集中趋势
同学 同学1 同学2 同学3 平均分
得分 60 80 100
一次数学测验，3名同学的数学成绩如下表，他们的平均成绩是多少？
活动一：练习回顾，习旧孕新
日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”.
一般地，对于n 个数x1, x2, …, xn ，则
叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数.
1.为了支援地震灾区学生，学校开展捐书活动，某学习小组5名学生捐书的册数分别是3，9，3，7，8，则这组学生平均捐书的册数是（ ）.
A.6 B.7 C.8 9.D
A
2.在一次歌唱比赛中，七位评委给某选手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0. 评分规则是去掉一个最高分和一个最低分后，取剩下数据的平均数，那么这名选手的最后得分是（ ）
A.9.2 B.9.3 C.9.4 D.9.5
D
活动二：创设情境，引入新知
思考：在得分确定的时候，影响平均数的因素是什么？
一次数学测验，有一个小组得分如下表，此时这个小组的数学测验平均分还是80分吗？该如何计算呢？
得分 60 80 100 平均分
人数 3 5 1
问题1 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙 两位应试者进行了听、说、读、写、的英语水平测试，他们的各项成绩如表所示：
（1）如果公司想招一名综合能力较强的翻译，请计算两名应试者的平均成绩，应该录用谁？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
活动三：解释运用，形成概念
（2）如果公司想招一名笔译能力较强的翻译，用
算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
听、说、读、写的成绩按照2:1:3:4的比确定．
各项成绩的重要程度
不一样!
思考 能把这种加权平均数的计算方法推广到一般吗？
一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别
是w1，w2，…，wn，则
叫做这n个数的加权平均数．
问题4 把问题（1）、（2）、（3）比较，你能体会到权的作用吗？
问题（3）如果公司想招一名口语能力较强的翻译，
则应该录取谁？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
听、说、读、写的成绩按照3:3:2:2的比确定．
问题（2）如果公司想招一名笔译能力较强的翻译，
用算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？
问题（1） 如果公司想招一名综合能力较强的翻
译，应该录用谁？
（算术平均数）
（加权平均数）
议一议、你能说说算术平均数与加权平均数的区别和联系吗？
2、在实际问题中，每个数据的权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当每个数据的权相等时，计算平均数时就要采用
算术平均数。
1、算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在每个数据的权相等）
活动四：指导应用，强化新知
例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分.各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占50％、演讲能力占40％、演讲效果占10％的比例，计算选手的综合成绩（百分制）.进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手 演讲内容(50％) 演讲能力（40%） 演讲效果(10％)
A 85 95 95
B 95 85 95
请确定两人的名次.
活动四：指导应用，强化新知
选手 演讲内容(50％) 演讲能力（40%） 演讲效果(10％)
A 85 95 95
B 95 85 95
思考：此问题中，两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？
谈谈你对权的作用的体会.
做一做P113、 1.某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示：
候选人 面试 笔试
甲 86 90
乙 92 83
（1）如果公司认为，面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
（2）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋于它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？
2.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩（百分制）依次是95，90，85.小桐这学期的体育成绩是多少？
（1）加权平均数在数据分析中的作用是什么？
当一组数据中各个数据重要程度不同时，加权平
均数能更好地反映这组数据的平均水平．
（2）权的作用是什么？
权反映数据的重要程度，数据权的改变一般会影
响这组数据的平均水平．
课堂小结
应试者
测试成绩
创新能力
计算机能力
公关能力
A
72
50
88
B
85
74
45
C
67
72
67
拓展应用
某广告公司欲招聘职员一名，A，B，C 三名候选人
的测试成绩（百分制）如下表所示：
（1）如果公司招聘的职员分别是网络维护员、客户
经理或创作总监，给三项成绩赋予相同的权合理吗？
拓展应用
某广告公司欲招聘职员一名，A，B，C 三名候选人
的测试成绩（百分制）如下表所示：
（2）请你设计合理的权重，为公司招聘一名职员：
① 网络维护员；② 客户经理；③ 创作总监．
应试者
测试成绩
创新能力
计算机能力
公关能力
A
72
50
88
B
85
74
45
C
67
72
67
20.1.2中位数
人教版八年级数学下册
1、回顾等腰三角形的性质.
你们公司的月收入怎么样呢？
我这里报酬不错，月平均工资有6000多，好好干哦！
招聘
本公司现须招聘职员一名，有意者请来公司面试。
小丽在公司工作一周后：
你骗我，我已经问过其他员工了，没有6000元工资的。
平均工资确实是6000多，你看看工资报表。
给你个表情自己体会！
请问你们的工资有6000吗？
我一个月工资就3000多一点，在公司处于中等水平。
下表是该公司员工收入的资料：
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
问题三：再仔细观察表格中的数据，你认为哪个数据反映一般员工的实际收入合适？
问题一：观察表格数据，讨论该公司的月平均工资是多少？经理是否欺骗了小云？
问题二：平均月工资能客观的反映员工的实际收入吗？
1、什么叫做中位数？
将一组数据按照
的顺序排列，则称处于
为这组数据的中位数。
从小到大或（从大到小）
中间位置的数
2、什么情况下使用中位数而不使用平均数呢？
中位数的大小仅与数据的大小排列位置有关，因此它不受数据中偏大数和偏小数的影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。
在一次数学竞赛中，5名学生的成绩从低分到高分的排列顺序是：55,57,61,62,98，处在最中间的数是 。如果是6名学生的成绩从低分到高分的排列顺序是：55,57,61,62,75，98，处在最中间的数有 和 ，这两个数的平均数是 。
61
61
62
61.5
若这组数据是奇数个时，则位于中间的数据是中位数；
若这组数据是偶数个时，则位于中间的两个数据的平均数是中位数。
求中位数的一般步骤：
1、将这组数从小到大排列（或从大到小）排列；
2、若这组数据是奇数个时，则称处于中间位置的数是中位数；若这组数据是偶数个时，则称处于中间位置的两个数的平均数是中位数。
你知道如何确定中间位置吗？
n个奇数时，中间位置是第 个
n个偶数时，中间位置是第 ， +1个
1、下列这组数据的中位数分别是多少？
7 5 4 8 5
8 2 6 8 9 6
7 6 8 3 6 4
7
5
6
2 6 6 8 8 9
3 4 6 6 7 8
4 5 5 7 8
1、一组数据中的平均数一定只有一个。
2、一组数据中的中位数一定只有一个。
3、一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数。
4、一组奇数个数据中的中位数一定是这组数据中的某个数。
5、一组数据中的平均数，中位数可以是同一个数。
法官断案：
√
√
×
√
√
中位数的运用：
在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间（单位：min）如下：
136 140 129 180 124 154
146 145 158 175 165 148
（1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？
（2）一名选手的成绩是142min，他的成绩如何？
解：（1）先将样本数据按照由小到大的顺序排列：__________________________________
__________________________________
这组数据的中位数为____________________
的平均数，即=______________.
答：样本数据的中位数是_______.
124 129 136 140 145 146
148 154 158 165 175 180
处于中间的两个数146, 148
147
（2）由（1）知样本数据的中位数为_______，它的意义是：这次马拉松比赛中，大约有______
选手的成绩快于147min，有______选手的成绩慢于147min. 这名选手的成绩是142min，快于中位数______，因此可以推测他的成绩比_____________选手的成绩好.
147
一半
一半
147
一半以上
某品牌专卖店对上个月销售的男运动鞋尺码统计如下：
这组统计数据中的中位数是 码。
41
员工工资情况：
平均数受极端值影响很大，而中位数不受极端值影响，只与数据大小排列顺序有关。
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
偏大
偏小
月收入/元 50000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
月收入/元 30000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1500
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
平均数与中位数的联系与区别
它们从不同角度描述了一组数据的集中趋势。
联系：
区别：
计算平均数时，所有的数据都参与运算，它能充分利用数据所提供的信息，但容易受极端值的影响。平均数的应用最为广泛。
中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关，但不能充分利用所有的数据信息。
通过本节课的学习，你明白了什么？
中位数及其求法
中位数的意义
如果我们知道一组数据的中位数，那么我们可以知道小于或大于这个数的数据各占一半。
中位数与平均数的联系与区别
再见！
人教版《数学》八年级下册
20.2数据的波动程度
温故知新
描述一组数据的集中趋势的特征数有哪些？
平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它受极端值的影响较大；
平均数
中位数
中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势，中位数不受极端值的影响，只需很少的计算，这是它的优点。
众数
众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关。当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优点；
在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据波动（离散）程度的量, 其中最重要的就是方差。
讨论与探究
问题：农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子，选择种子时，甜玉米的产量的产量的稳定性是农科院所关心的问题。为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t)如下表：
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
甲 7.65 7.5 7.62 7.59 7.65 7.64 7.5 7.4 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
先来比较甲乙两种玉米种子的平均产量谁高
比较两图，请思考：甲种甜玉米的产量与乙种甜玉米的产量偏离平均产量的情况怎么样？
比较两幅图可以看出：
甲种甜玉米在各试验田的产量与其平均平均产量的偏差较大，即各试验田的产量波动较大。
乙种甜玉米在各试验田的产量与其平均平均产量的偏差较小，即各试验田的产量波动较小。
思考与探究
如何用数据刻画一组数据的波动大小？
由图可以看出：
一组数据的波动程度，和每一个数据与其平均值的“差距”有关，也就是与 有关，显然这个平均“差距”越大，波动越大，而
所以它不能反映数据的波动情况。为了避免这个平均“差距”为零的情况，我们可以用 来代替
设有n个数据
各数据与它们的平均数的差的平方分别是
我们用它们的平均数，即用
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance），记作
从上面计算方差的式子可以看出：当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就越小。反过来也成立。
S甲2= [ (7.65-7.537)2+(7.50-7.537)2+ +(7.41-7.537)2 ]≈0.010
…
S乙2= [ (7.55-7.515)2+(7.56-7.515)2+ +(7.49-7.515)2 ]≈0.002
…
现在你能说说甲乙两种甜玉米产量的波动的情况吗？
下面我们利用方差来分析甲乙两种甜玉米产量的波动情况。
甲种甜玉米产量的波动大。
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定，因此可以推测，在这个地区种植甜玉米的产量比甲种稳定。综合
考虑甲乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米。
（2）研究数据的波动程度可用方差；
（4）方差越大，数据的波动越大；方差越小， 数据的波动越小。
（1）方差:各数据与平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差.
讨论与归纳
（3）方差主要应用在平均数相等或接近时。
你会了吗?
1.用条形图表示下列各数，计算并比较
它们的平均数和方差，体会方差是怎样
刻画数据的波动程度的
(1) 6 6 6 6 6 6 6
(2) 5 5 6 6 6 7 7
(3) 3 3 4 6 8 9 9
(4) 3 3 3 6 9 9 9
１、用条型图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的。
（1）6 6 6 6 6 6 6
（2）5 5 6 6 6 7 7
（3）3 3 4 6 8 9 9
（4）3 3 3 6 9 9 9
2.在样本方差计算公式里，数字20和30分别表示什么？
20表示样本容量
30表示样本平均数
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况较敏感的指标。
小结与反思
例1
在一次芭蕾舞比赛中，甲乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅舞》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是
甲团 163 164 164 165 165 166 166 167
乙团 163 165 165 166 166 167 168 168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲乙两团女演员的身高分别是：
所以，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。
SHIFT
CLR
SCL
1
ON
MODE
SD
2
1
2
163
164
167
SHIFT
S-VAR
2
2
δn
=
x2
MODE
①清除
②调SD状态——
传递数据的各种功能
③输数据
…
④出结果
=
M+
M+
M+
用计算器求方差
如图是甲、乙两射运动员的10次射击训练的成绩的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差 哪个大?
巩固与应用
谈谈自己这节课你学到了什么？
1.方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批数据的方差.
小结：
2.方差用来衡量一批数据的波动大小
(即这批数据偏离平均数的大小).
3 在样本容量相同的情况下：
方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
方差越小,说明数据的波动越小,越稳定.
祝同学们学习快乐！
