第十九章 一次函数
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
学
目
习
标
1.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化
与对应”的思想．
2.会确定简单实际问题中的函数解析式及自变量的取值范围，并
会求函数值．
预
反
习
馈
1.变量：在一个变化过程中，数值发生 变化 的量；
常量：在一个变化过程中，数值始终 不变 的量．
如：笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中， 3 是常量，
a，y 是变量．
2.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定
的值，y都有 唯一确定 的值与其对应，那么就说x是 自变量 ，y是x的 函
数 ．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的 函数值 ．
如：已知函数y＝3x－1，当x＝3时，函数值y为 8 ．
预
反
习
馈
3.用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方
法．这种式子叫做函数的 解析式 ．
4.函数自变量的取值范围既要满足函数关系式 有意义 ，又要满足实际问题 有
意义 ．
名
讲
校
坛
例1 (教材补充例题) 写出下列各问题中的函数解析式，并指出其中的变量和常量：
(1)橘子每千克的售价为1.8元，小王购买x kg，所付金额为y元；
(2)一个盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，记流水时间为t小时，水箱中的剩余水量
为y吨；
(3)圆形水波面积不断扩大，记它的半径为r，圆面积为S，圆周率(圆周长与直径之比)为π；
(4)直角三角形中两锐角的度数之和为90°，记一个锐角的度数为α度，另一个锐角的度数
为β度．
【解答】 (1)y＝1.8x.变量为x，y；常量为1.8.
(2)y＝30－0.5t.变量为t，y；常量为30，0.5.
(3)S＝πr2.变量为r，S；常量为π.
(4)β＝90－α.变量为α，β；常量为90.
名
讲
校
坛
跟踪训练1
(《名校课堂》19.1.1习题)写出下列各问题中的变量和常量：
(1)全班50名同学，有a名男同学，b名女同学；
(2)汽车以60 km/h的速度行驶了t h，所走过的路程为s km.
解：(1)a，b是变量，50是常量．
(2)s，t是变量，60是常量．
名
讲
校
坛
例2 (教材P73～74例1)汽车油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
(2)指出自变量x的取值范围；
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
名
讲
校
坛
【解答】 (1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系
为y＝50－0.1x.
(2)仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意
义行驶路程，因此x不能取负数，行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱
中现有油量50，即0.1x≤50.因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中的汽油是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数
值，将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30.
答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油．
名
讲
校
坛
【方法归纳】
名
讲
校
坛
跟踪训练2
等腰△ABC的周长为10 cm，底边BC长为y cm，腰AB长为x cm.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)求自变量x的取值范围．
解：(1)∵等腰△ABC的两腰相等，周长为10，∴2x＋y＝10.
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋10.
(2)∵两边之和大于第三边，∴2x＞y.∴2x＞－2x＋10，即x＞2.5.
∵y＞0，∴－2x＋10＞0，即x＜5.
∴自变量x的取值范围是2.5＜x＜5.
巩
训
固
练
1.下列解析式中，y不是x的函数的是( B )
A.y＝x B.|y|＝2x
C.y＝2x D.y＝x2＋4
2.要画一个面积为20 cm2的长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，
常量与变量分别为( A )
A.常量为20，变量为x，y B.常量为20，变量为x
C.常量为20，x，变量为y D.常量为x，y，变量为20
巩
训
固
练
3.求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x＋4； (2)y＝2x2； (3)y＝ ；(4)y＝ .
解：(1)x为全体实数．
(2)x为全体实数．
(3)x≠2.
(4)x≥3.
巩
训
固
练
4．(《名校课堂》19.1.1课时习题)据测定，海底扩张的速度是很缓慢的，在
太平洋海底，某海沟的某处宽度为100 m，两侧的地壳向外扩张的速度是每年
6厘米，假设海沟扩张速度恒定，扩张时间为x年，海沟的宽度为y m.
(1)写出海沟的宽度y(m)与海沟扩张时间x(年)之间的函数关系式；
(2)你能计算出当海沟宽度y扩张到400 m时需要多少年吗？
解：(1)根据题意，得y＝0.06x＋100.
(2)当y＝400时，0.06x＋100＝400，解得x＝5 000.
答：当海沟宽度y扩张到400 m时需要5 000年．
课
小
堂
结
1.常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，
因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景．
2.判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一
个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个
值与之对应．
3.确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实
际问题有意义．
THANK YOU！
19.1.2 函数的图象
第1课时 识别函数的图象
学
目
习
标
会观察、分析函数图象信息．
预
反
习
馈
如图是小明从家出发去学校离家的距离s(m)与离家时间t(min)的函数图象．
(1)明确“两轴”的含义
通常横轴表示自变量，纵轴表示函数．因此通过图象可明确自变量、函数以及它们
的取值范围．上面图象中横轴表示 离家时间 ，纵轴表示 离家的距离 ，自
变量的取值范围是 0≤t≤20 ．
预
反
习
馈
(2)明确图象上的点的坐标
图象上的一点所表示的意义是：过这一点分别向横轴和纵轴作垂线，两个垂足分别所表
示的数就是自变量与函数的一对对应值．因此我们根据图象，由函数值可求自变量的值
；或者由自变量的值求函数值；还可以根据图象上某点的对应值求出未知字母的值等．
由上面图象中可知，当t＝10时，s＝ 1000 ；当s＝2 000时，t＝ 20 ．
(3)弄清上升线、下降线和水平线
上升线表示随着自变量增加，函数值也在增加；上升线越陡，表示函数值增加地越快；反
之表示增加地越慢．下降线表示随着自变量增加，函数值在减小；下降线越陡，表示函数
值减小地越快；反之表示减小地越慢；水平线表示随自变量的增加，函数值不变．上面图
象中说明小明前10 min与后5 min相比，速度较快的是 后5min . 10 min到 15 min
小明待在原地没走．
名
讲
校
坛
例(教材P76～77例2)如图1所示，小明家，食堂，图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，图2反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
图1 图2
根据图象，回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
(2)小明吃早餐用了多少时间？
(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
(4)小明读报用了多少时间？
(5)图书馆离小明家有多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
名
讲
校
坛
【思路点拨】小明离家的距离y是时间x的函数，由图象中有两段平行于x轴
的线段可知，小明离家后有段时间先后停留在食堂与图书馆里．
【解答】(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6 km；由横坐标看出，小明从
家到食堂用了8 min.
(2)由横从标看出，25－8＝17，小明吃早餐用了17 min.
(3)由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2 km；由横坐标看出，
28－25＝3，小明从食堂到图书馆用了3 min.
(4)由横坐标看出，58－28＝30，小明读报用了30 min.
(5)由横坐标看出，图书馆离小明家0.8 km；由横坐标看出，68－58＝10，小
明从图书馆回家用了10 min，由此算出平均速度是0.08 km/min.
名
讲
校
坛
跟踪训练
(《名校课堂》19.1.2第1课时习题)某气象站观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速按一定的速度匀速增大，经过荒漠地时，风速增大得比较快．一段时间后，风速保持不变，当沙尘暴经过防风林时，其风速开始逐渐减小，最终停止．如图是风速与时间之间的关系的图象．结合图象回答下列问题：
(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了多长时间？
(2)从图象上看，风速在哪一个时间段增大得比较快，增加的速度是多少？
(3)风速在哪一时间段保持不变，经历了多长时间？
(4)风速从开始减小到最终停止，风速每小时减小多少？
名
讲
校
坛
解：(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了41.2小时．
(2)风速从5～12小时这个时间段增大得比较快，每小时增加 ＝4(千米)．
(3)风速在12～26小时这个时间段保持不变，经历了14小时．
(4)风速每小时减小 ＝2.5(千米)．
巩
训
固
练
1.下列曲线中不能表示y是x的函数的是( C )
2.如图是一台自动测温记录仪的图象，它反映了某市冬季某天气温T随时间t变化而变化的
关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是( C )
A.凌晨4时气温最低为－3℃
B.14时气温最高为8℃
C.从0时至14时，气温随时间增长而上升
D.从14时至24时，气温随时间增长而下
巩
训
固
练
3.小军上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小军离家的路程y(m)和所经过的时间x(min)之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是( D )
A.小军家与超市相距3 000 m
B.小军去超市途中的速度是300 m/min
C.小军在超市逗留了30 min
D.小军从超市返回家比从家里去超市的速度快
巩
训
固
练
4．(《名校课堂》19.1.2第1课时习题)在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近
似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
(1)情境a，b所对应的函数图象分别是 ③① (填写序号)；
(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
解：情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．
① ② ③
课
小
堂
结
通过分析函数图象获取信息，体现了数学中的一个重要思想方法——数形结合思想．
?
THANK YOU！
第2课时 画函数图象
学
目
习
标
会用描点法画函数图象．
预
反
习
馈
描点法画函数图象的一般步骤：(1) 列表 ；(2) 描点 ；(3) 连线 ．
名
讲
校
坛
例1(教材P77～78例3)在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．画出这些函数的图象.
(1)y＝x＋0.5； (2)y＝ (x＞0)．
【解答】 (1)从式子y＝x＋0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是
全体实数．
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表(计算并填写表中空格)．
根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y＝x＋0.5随之增大．
名
讲
校
坛
(2)y= (x＞0)．
列表(计算并填写表中空格)．
根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．
从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变
大时，y＝ (x＞0)随之变小．
名
讲
校
坛
【方法归纳】(1)在列表对自变量取值时，一般以0为中心对称地取值，
使得画出的图象更美观，也能更好地反映函数的变化趋势；(2)在描点
连线时，应用平滑的曲线按自变量由小到大(或由大到小)的顺序把所描
出的各点连接起来，需要注意的是在连线时应根据x的取值范围向能够延
伸的端点处延伸．
名
讲
校
坛
跟踪训练1
(《名校课堂》19.1.2第2课时习题)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝ x2的图象．
解：列表：
描点、连线，如图．
巩
训
固
练
(《名校课堂》19.1.2第2课时习题)画出函数y＝2x－1的图象．
(1)列表：
(2)描点并连线；
(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上？
(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值．
解：(2)如图．
(3)点A，B不在其图象上，点C在其图象上．
(4)m＝5.
巩
训
固
练
(《名校课堂》19.1.2第2课时习题)(1)画出函数y＝ 的图象；
(2)从函数图象观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0呢？
解：(1)列表：
描点、连线，如图．
(2)当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而减小．
课
小
堂
结
学生尝试小结：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
THANK YOU！
第3课时 函数的三种表示方法
学
目
习
标
1.了解函数的三种表示方法(解析式法、列表法和图象法)及其优缺点．
2.会在不同条件下选择适当的方法表示函数．
预
反
习
馈
1.函数的三种表示方法： 解析式法 、 列表法 和 图象法 ．
2.函数的三种表示方法的优缺点：
(1) 解析式 法能简单、准确地反映出整个变化过程中两个变量之间的关系，但不能直观、形象地反映出变量之间的变化趋势；
(2) 列表 法能明显地显示出自变量与其对应的函数值，但具有局限性；
(3) 图象 法形象直观，但画出的图象是近似的、局部的，往往不够准确．
名
讲
校
坛
例 (教材P80例4)一个水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这
5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？
由此你能发现水位变化有什么规律吗？
(2)水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函
数解析式，并画出这个函数的图象，这个函数能表示水位的变化规律吗？
(3)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将为多少米？
名
讲
校
坛
【解答】(1)如图1，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个点在一条直
线上，再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3 m．由此猜想，如果
画出这5 h内其他时刻(如t＝2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能
也在这条直线上，即在这个时间中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．
图1
名
讲
校
坛
(2)由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的
值与其对应，所以y是t的函数，开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m．函
数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h水位上升0.3t m，
即水位y为(0.3t＋3)m，其图象是图2中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB.
如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那么函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)
就精确地表示了这种变化规律，即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时
上升0.3m是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律．
图2
名
讲
校
坛
(3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，即t＝5＋2＝7(h)时，水位高度y＝0.3×7＋3＝5.1(m)．
把图1中的函数图象(线段AB)向右延伸到t＝7所对应的位置，得图2，从它也能看出这时的水位高度约5.1 m.
【方法归纳】 函数的三种表示方法可以根据需要相互转化，在转化过程中
注意实际问题中自变量的取值与对应函数图象的关系．
名
讲
校
坛
跟踪训练
(《名校课堂》19.1.2第3课时习题)一根蜡烛长20 cm，蜡烛的燃烧速度是
5 cm/h.
(1)写出蜡烛的剩余长度h与燃烧时间t之间的函数关系式；
(2)画出这个函数的图象．
解：(1)h＝20－5t(0≤t≤4)．
(2)列表：
描点、连线，如图．
巩
训
固
练
1.一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y关于x的函数解析式为( A )
A.y＝10x＋30 B.y＝40x
C.y＝10＋30x D.y＝20x
2.一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：
下列说法错误的是( C )
A.当h＝50 cm时，t＝1.89 s B.随着h逐渐升高，t逐渐变小
C.h每增加10 cm，t减小1.23 s D.随着h逐渐升高，小车的速度逐渐加快
巩
训
固
练
3.某型号汽油的金额y(单位：元)关于数量x(单位：L)的函数
图象如图所示，那么这种汽油的单价是每升 5.09 元．
4.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，
水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y(米)
关于时间x(小时)(0≤x≤5)的函数解析式为 y＝6＋0.3x ．
5.声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速)与气温x(℃)之间的关系如下表
所示，从表中可知，音速y随气温x的升高而加快，在气温为20℃的一天召开运
动会，某人看到发令枪冒出的烟0.2 s后听到了枪声，则由此可知，这个人距
发令地点 68.6 m.
巩
训
固
练
6.(《名校课堂》19.1.2第3课时习题)某校办工厂年产值是15万元，计划以后每年增加2万元．
(1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数解析式，并画出函数图象；
(2)估计5年后该工厂的产值．
解：(1)y＝15＋2x(x≥0)，图象如下：
(2)当x＝5时，y＝15＋2×5＝25.
答：估计5年后该工厂的产值为25万元．
课
小
堂
结
学生尝试小结：本节课你学到了什么？
THANK YOU！
