19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
学
目
习
标
1.结合具体情境体会和理解正比例函数的意义．
2.能根据已知条件确定正比例函数的解析式，并会画它们的图象．
3.掌握正比例函数图象的性质．
预
反
习
馈
知识点1 正比例函数的定义
1.一般地，形如 y＝kx (k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做 比例系数 ．
如：下列式子中，表示y是x的正比例函数的是 ④ ．
①y＝ ；②y＝x＋2；③y＝x2；④y＝2x.
知识点2 正比例函数的图象
2.正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过 原点 的直线，也称它为直线y＝kx.
3.画正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象时，一般过 原点 和点 (1，k) (k是常数，k≠0)
画直线，简称两点法．
预
反
习
馈
如：下列图象中，是正比例函数y＝2x的图象的是( B )
知识点3 正比例函数图象的性质
4.当k>0时，直线y＝kx依次经过第 一、三 象限，从左向右 上升 ，y随x的增大而 增大 ；
当k<0时，直线y＝kx依次经过第 二、四 象限，从左向右 下降 ，y随x的增大而 减小 ．
如：若函数y＝kx(k≠0)的图象经过P(－2，6)，则k＝ －3 ，图象经过第 二、四 象限．
名
讲
校
坛
例1(教材P87～88例1)画出下列正比例函数的图象：
(1)y＝2x，y＝ x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x.
(2)如图所示．
【解答】(1)如图所示．
【方法归纳】 画正比例函数y＝kx(k
是常数，k≠0)的图象，一般过原点和
点(1，k)过直线，但当k为分数时，取
点(1，k)不如选取横、纵坐标都是整数
的点方便．
名
讲
校
坛
跟踪训练1
(《名校课堂》19.2.1习题)用你认为最简单的方法画出下列正比例函数的图象：
(1)y＝x；(2)y＝－ x.
解：列表：
描点、连线，如图．
名
讲
校
坛
例2(教材补充例题)已知正比例函数y＝(2m＋4)x.问：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？
【解答】 (1)∵函数图象经过第一、三象限，∴2m＋4＞0.解得m＞－2.
(2)∵y随x的增大而减小，∴2m＋4＜0，解得m＜－2.
(3)∵点(1，3)在该函数图象上，∴2m＋4＝3，解得m＝－ .
名
讲
校
坛
跟踪训练2
已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，
有y1＞y2.
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最大整数时，画出该函数图象．
解：(1)∵正比例函数y＝(m－1)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2，∴m－1＜0.∴m＜1.∴m的取值范围是m＜1.
(2)∵m＜1，∴m取最大整数0.∴函数解析式为y＝－x.图象如图所示．
巩
训
固
练
1.下列关系中，是正比例函数关系的是( D )
A.当路程s一定时，速度v与时间t
B.圆的面积S与圆的半径R
C.正方体的体积V与棱长a
D.正方形的周长C与它的一边长a
2.已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)，则m的值为( B )
A. B．3 C.－ D.－3
3.若正比例函数y＝(k＋1)x的图象经过第二、第四象限，那么k的取值范围为( D )
A.k＞0 B.k＜0 C.k＞－1 D.k＜－1
巩
训
固
练
4.关于正比例函数y＝－2x，下列结论中不正确的是( D )
A.图象经过点(1，－2)
B.图象经过第二、第四象限
C.y随x的增大而减小
D.不论x为何值，总有y＜0
5.若函数y＝(a＋1)xa－1是正比例函数，则a的值是 2 ．
6.已知点P1(1，y1)，P2(2，y2)是正比例函数y＝7x的图象上的两点，则y1 ＜ y2
(填“＞”“＜”或“＝”)．
课
小
堂
结
学生尝试小结：这节课你学到了什么？
THANK YOU！
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的定义
学
目
习
标
经历具体情境体会和理解一次函数的意义，了解一次函数与正比例函数之间的关系．
预
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习
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阅读教材P89～90内容，完成预习内容．
一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
如：下列函数中是一次函数的是①④，是正比例函数的是①．
①y＝－8x；②y＝ ；③y＝5x2＋6；④y＝－0.5x－1.
名
讲
校
坛
例 (教材P89～90问题2)某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃，登山队员由大本营向上登高x km，他们所在位置的气温是y ℃.试用函数解析式表示y与x的关系．
【解答】 y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔每增加x km时，气温从5 ℃减少6x ℃，因此y与x的函数解析式为y＝5－6x.
这个函数可以写为y＝－6x＋5.
名
讲
校
坛
【跟踪训练】 汽车油箱中原有油50 L，如果行驶中每小时用油5 L，求油箱中的油量y(单位：L)随行驶时间x(单位：h)变化的函数解析式，并写出自变量x的取值范围，y是x的一次函数吗？
解：y＝－5x＋50(0≤x≤10)，y是x的一次函数．
巩
训
固
练
1．在一次函数y＝ x＋2中，当x＝9时，y的值为( D )
A．－4 B．－2 C．6 D．8
2．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是( B )
A．路程一定时，时间y和速度x的关系
B．长10 m的铁丝折成长为y m，宽为x m的长方形
C．圆的面积y与它的半径x
D．斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
巩
训
固
练
3．已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是一次函数，则m的值是( A )
A．－3 B．3 C．±3 D．±2
4．在运动会的百米赛场上，张媛正以7 m/s的平均速度冲向终点，那么张媛与终点的距离s(m)关于她跑步的时间t(s)的函数解析式为s＝100－7t．
巩
训
固
练
5．(《名校课堂》19.2.2第1课时习题)已知y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4.
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
巩
训
固
练
解：(1)根据一次函数的定义，有
m＋1≠0且2－|m|＝1，解得m＝1.
∴m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数．
(2)根据正比例函数的定义，有
m＋1≠0且2－|m|＝1，n＋4＝0，
解得m＝1，n＝－4.
∴当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数．
课
小
堂
结
1．注意正比例函数与一次函数的关系．
2．某函数是一次函数应满足的条件是：自变量的指数是1，系数不为0.
3．逐步认识利用方程思想建立函数关系式．
THANK YOU！
第2课时 一次函数的图象与性质
学
目
习
标
1．掌握一次函数图象的简单画法．
2．能结合图象描述一次函数的增减性．
预
反
习
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阅读教材P91～93内容，完成预习内容．
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．如：直线y＝
x＋2可以看作直线y＝ x向上平移2个单位长度得到的．
预
反
习
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2．一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的性质：
当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降，y随x的增大而减小．
如：直线y＝2x－3与x轴的交点坐标为( ，0)；与y轴的交点坐标为(0，－3)；图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大．
名
讲
校
坛
例 (《名校课堂》19.2.2第2课时习题)已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
名
讲
校
坛
【解答】 (1)把(0，0)代入y＝(2m＋1)x＋m－3，得m＝3.
(2)由题意，得2m＋1＝3，解得m＝1.
(3)由题意，得2m＋1＜0，解得m＜ .
【方法归纳】 (1)k值决定了函数的增减性，b值决定了函数图象与y轴的交点，k，b决定直线经过的象限．
(2)k值相等的两条直线互相平行．
名
讲
校
坛
【跟踪训练】 已知关于x的一次函数y＝(2m－4)x＋3n.
(1)当m，n取何值时，y随x的增大而增大？
(2)当m，n取何值时，函数图象不经过第一象限？
(3)当m，n取何值时，函数图象与y轴交点在x轴上方？
名
讲
校
坛
解：(1)∵y随x的增大而增大，
∴2m－4＞0.∴m＞2，n为全体实数．
(2)∵函数图象不经过第一象限，
∴2m－4＜0，3n≤0.∴m＜2，n≤0.
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，
∴2m－4≠0，3n＞0，∴n＞0，m≠2.
巩
训
固
练
1．一次函数y＝x－2的大致图象是( C )
巩
训
固
练
2．下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( C )
A．y＝2x＋8 B．y＝3x－2
C．y＝－2－4x D．y＝4x
3．已知直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第三象限，则k，b的范围是( C )
A．k＞0，b≥0 B．k＞0，b≤0
C．k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤0
巩
训
固
练
4．对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论正确的是( C )
A．函数值随自变量的增大而增大
B．函数的图象经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝－2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)
5．若一次函数y＝kx＋3的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则k的值可以为答案不唯一，如：k＝－7(只需写出一个符合条件的k值即可)．
巩
训
固
练
6．画出函数y＝－2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：
(1)这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左向右怎样变化？
(2)函数图象经过哪几个象限？
(3)写出函数图象与y轴的交点坐标．
解：函数y＝－2x＋2的图象如图：
(1)由图象知：随着x的增大，y减小，图象从左向右下降．
(2)函数图象经过第一、二、四象限．
(3)(0，2)．
课
小
堂
结
1．一次函数的图象是过点(0，b)，(－ ，0)的直线，当k>0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而增大；当k<0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小．
2．根据函数图象经过的象限，画出大致图象，结合图象确定其系数的符号，也可以由系数的符号确定图象经过哪些象限．
THANK YOU！
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
学
目
习
标
会用待定系数法确定一次函数的解析式．
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阅读教材P93～94例4，完成预习内容．
一次函数解析式的确定：
(1)方法：待定系数法．
(2)一般步骤：
①设：设出一次函数解析式的一般形式y＝kx＋b；
②列：根据图象所经过的点的坐标或已知的对应关系列方程(组)；
③解：解方程(组)，求出待定系数；
④写：将所求待定系数的值代入所设函数解析式，写出函数解析式．
名
讲
校
坛
例 (教材P93～94例4)已知一次函数的图象经过点(3，5)与(－4，－9)．求这个一次函数的解析式．
【思路点拨】
求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值，从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，并求出k，b.
名
讲
校
坛
名
讲
校
坛
【跟踪训练】 (《名校课堂》19.2.2第3课时习题)已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值，求m的值.
x 0 1 2
y m 1 3
名
讲
校
坛
解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b.
由题意，得 解得
∴一次函数的解析式为y＝2x－1.
巩
训
固
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1．(《名校课堂》19.2.2第3课时习题)若一次函数y＝kx＋17的图象经过点(－3，2)，则k的值为 ( D )
A．－6 B．6 C．－5 D．5
2．(《名校课堂》19.2.2第3课时习题)直线y＝kx＋b在坐标系中的图象如图，则( B )
A．k＝－2，b＝－1 B．k＝ － ，b＝－1
C．k＝－1，b＝－2 D．k＝－1，b＝－
巩
训
固
练
3．(《名校课堂》19.2.2第3课时习题)已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1.那么此函数的解析式为y＝ x－2．
4．(《名校课堂》19.2.2第3课时习题)一条直线经过点(2，－1)，且与直线y＝－3x＋1平行，则这条直线的解析式为y＝－3x＋5．
课
小
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学生尝试小结：这节课你学到了什么？
THANK YOU！
第4课时 一次函数的应用
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目
习
标
1．能根据实际问题中文字信息或图象信息，建立分段函数模型.
2．能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题.
3．在应用一次函数解决问题的过程中，渗透数形结合的数学思想.
名
讲
校
坛
例 (教材P94～95例5)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2 kg以上的种子，超过2 kg部分的种子价格打8折．
(1)填写下表：
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 …
名
讲
校
坛
(2)写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象．
【思路点拨】
付款金额与种子价格相关，问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关．设购买x kg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2 kg种子按5元/kg计价，其余的(x－2)kg(即超出2 kg部分)种子按4元/kg(即8折)计价．因此，写出函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段讨论
名
讲
校
坛
【解答】 (1)填表如图．
(2)设购买量为x kg，付款金额为y元．
当0≤x≤2时，y＝5x；
当x＞2时，y＝4(x－2)＋10＝4x＋2.
函数图象如图：
名
讲
校
坛
【跟踪训练】 (《名校课堂》19.2.2第4课时习题)某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．设某户每月用水量为x吨，应缴水费为y元．
(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数解析式；
(2)若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元，求该户4月份用水多少吨？
名
讲
校
坛
解：(1)当x≤20时，y＝2.5x；
当x>20时，y＝3.3(x－20)＋2.5×20＝3.3x－16.
(2)∵该户4月份水费平均每吨2.8元，
∴该户4月份用水超过20吨．
设该户4月份用水a吨，则
2．8a＝3.3a－16，解得a＝32.
答：该户4月份用水32吨．
巩
训
固
练
1．(《名校课堂》19.2.2第4课时习题)“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是( C )
A．2小时 B．2.2小时
C．2.25小时 D．2.4小时
巩
训
固
练
2．小明在暑期社会实践活动中，从批发市场购进若干荔枝到市场上去销售，在销售了40 kg之后，余下的荔枝降价全部售完，销售金额y(元)与售出荔枝的重量x(kg)之间的关系如图所示．请根据图象提供的信息完成以下问题：
(1)①降价前售出荔枝的单价为16元/kg；
②降价前销售金额y(元)关于售出荔枝的重量x(kg)的函数解析式为y＝16x；
(2)降价后的价格是多少？降价多少元？
(3)小明销售了46 kg，销售金额是多少元？
巩
训
固
练
解：(2)(760－640)÷(50－40)＝12(元/kg)，16－12＝4(元)．
答：降价后的价格为12元/kg，降价4元．
(3)设降价后的函数解析式为y＝kx＋b.
把(40，640)，(50，760)代入函数解析式，得
解得
∴函数解析式为y＝12x＋160.
把x＝46代入上式，得y＝712.
答：小明销售了46 kg，销售金额是712元.
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学生尝试小结：这节课你学到了什么？
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
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标
1．通过讨论一次函数与方程、不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系．
2．会用图象法解一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组．
预
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阅读教材P96～98内容，完成预习内容．
知识点1 一次函数与一元一次方程的关系
1．任何一个以x为未知数的一元一次方程都能写成ax＋b＝0(a≠0)的形式，其左边恰是一次函数y＝kx＋b的形式．解这个方程，从函数值的角度看，就是函数值为0时求自变量为何值；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
预
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如：函数y＝2x＋20的图象如图所示，观察图象填空．
函数y＝2x＋20与x轴交点的坐标是(－10，0)，即一元一次方程2x＋20＝0的解是x＝－10．
预
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知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系
2．任何一个以x为未知数的一元一次不等式都能写成ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，其左边恰是一次函数y＝kx＋b的形式．解这个一元一次不等式，从函数值的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于_0_或小于_0_的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴_上_方或_下_方时对应x轴的那一部分．
预
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(1)函数y＝2x＋20在x轴上方的图象所对应的自变量x的取值范围是x>－10，即不等式2x＋20>0的解集是x>－10．
(2)函数y＝2x＋20在x轴下方的图象所对应的自变量x的取值范围是x<－10，即不等式2x＋20<0的解集是x<－10．
如：观察函数y＝2x＋20的图象，填空：
预
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知识点3 一次函数与二元一次方程的关系
3．一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解．
如：方程x＋y＝2可化为y＝－x＋2；直线y＝2－x上的任意一点的坐标(x，y)都是方程x＋y＝2的解．
预
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知识点4 一次函数与二元一次方程组的关系
4．由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数．从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条相应直线交点的坐标．
如：若方程组 的解为 则直线y＝－x＋a与y＝x－b的
交点坐标为(11，4)．
名
讲
校
坛
例 在同一平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，解决下列问题：
(1)求方程－x＋4＝2x－5的解；
(2)求二元一次方程组 的解；
(3)当x取何值时，y1＞y2？当x取何值时，y1＞0且y2＜0?
名
讲
校
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【解答】 (1)如图，∵一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象相交于点(3，1)，
∴方程－x＋4＝2x－5的解为x＝3.
(2)由图可知，二元一次方程组 的解为
(3)由图可知，当x＜3时，y1＞y2；
当x＜2(5)时，y1＞0且y2＜0.
名
讲
校
坛
【跟踪训练】 (《名校课堂》19.2.3习题)如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
(1)求b的值；
(2)不解关于x，y的方程组 请你
直接写出它的解．
名
讲
校
坛
解：(1)∵P(1，b)在直线l1上，
∴b＝1＋1，即b＝2.
(2)
巩
训
固
练
巩
训
固
练
3．(《名校课堂》19.2.3习题)如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是( C )
A．x＜1 B．x＞1
C．x＜3 D．x＞3
4．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则下列判断中不正确的是( A )
A．k＞0，b＜0
B．方程kx＋b＝0的解是x＝－3
C．当x＜－3时，y＜0
D．y随x的增大而增大
巩
训
固
练
5．某电信公司给顾客提供上网费有两种计算方式，方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费．设上网时间为x分钟，所需费用为y元．用函数方法解答何时两种计费方式费用相等．
解：yA＝0.1x；yB＝0.05x＋20.函数图象如图所示．
∴当每月上网时间为400分钟时，两种计费方式费用相等．
课
小
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学生尝试小结：本节课你学到了什么？
THANK YOU！
