17.1 变量与函数 教案（表格式）

课题
17.1　变量与函数　
授课人
教
学
目
标
知识技能
　1.通过对实际问题的探究活动，使学生了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量与变量．
2．使学生能正确地理解函数的概念，会正确地判断两个变量之间的关系是否是一种函数关系，并能举出函数的实例；了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系，会求自变量的取值范围，会根据自变量的取值求函数值.　　
数学思考
　通过常量、变量以及函数概念的学习，使学生学会运用运动、变化的观点思考问题.　
问题解决
　使学生利用函数的观点认识现实世界，会运用函数解决问题.
情感态度
积极参与数学活动，激发学习兴趣，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.　
教学
重点
函数的概念和函数自变量的取值范围.　
教学
难点
求函数自变量的取值范围.　
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件、三角尺
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
阅读下列对话，并回答问题：
从甲地到乙地，坐在匀速行驶的列车上，小明、小丽、小亮和小华围坐在一起谈论着车速、路程和时间，谈论着数量的变化和位置的变化．
小明：车速不变；
小丽：甲、乙两地间的距离不变；
小亮：列车行驶的时间和行驶的路程在变；
小华：列车在行驶，位置在改变．
(1)除了小明、小丽所说的那些不变的数量外，在这个问题中还有不变的数量吗？
(2)除了小亮和小华所说的那些变化的数量外，在这个问题中还有变化的数量吗？
学生活动：学生自主探究出答案，同学间进行交流．
教师活动：组织学生集体交流．
【教师点拨】我们生活的世界是一个无时无刻都在不断变化的世界，如我们日常生活中的时间、温度，还有同学们的身高都在悄悄地发生变化，从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地了解自己，认识世界和预测未来．本节课我们就来学习和研究这方面的有关知识．(引入新课)
　借助于生活中的具体实例，让学生知道我们生活的世界是一个不断变化发展的世界，以此来激发学生的求知欲，从而引入新课.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
　活动1：请一名学生到讲台前表演吹气球．
提出问题：刚才这位学生在吹气球的过程中，有哪些量发生了变化？有哪些量没有发生变化？
学生活动：学生自主探究出答案，并与同学进行交流．
教师活动：组织学生集体交流．
师生合作交流：师生通过合作交流归纳出新知识．
教师引导学生总结：常量：在某一变化过程中，数值绐终保持不变的量叫做常量．
变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．
判断一个量是常量还是变量，需要具备两个方面的条件：
①看它是否存在于某一个变化过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况．
活动2：思考下列问题，并把你的答案与同学进行交流：
【问题1】如果将刚才这位同学吹的气球做成热气球，它就可以逐渐升空，就可以用做成的热气球来探测高空的气象，设热气球从海拔1800 m处的某地升空，它上升后到达的海拔高度h(m)
时间t/min
0
1
2
3
4
5
6
7
海拔高度
h/m
1800
1830
1860
1890
1920
1950
1980
2010
与上升时间t(min)的关系记录如下：
　1.使学生通过对实际问题的操作，体会数学在生活中的应用，对概念的理解更为深刻.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
图17－1－
(1)这个问题中，涉及哪几个量？
(2)观察上表，热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？
(3)你能求出上升后10 min和12 min时热气球到达的海拔高度吗？
学生活动：学生观察表格中的有关数据，进行自主探究活动，并把所得的答案与同学进行交流．
教师活动：组织学生集体交流．
【教师点拨】通过对表格中的数据的分析，我们可以找出h与t两个变量之间的数量关系，从而解决问题．
【问题2】下图是某市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线．看图思考并回答以下问题：
(1)这个问题中，涉及哪几个量？
(2)给出这天中的某一时刻，如4.5 h、20 h，能找到这一时刻的用电负荷y MW(兆瓦)是多少吗？你是怎么找到的？找到的值是唯一确定的吗？
(3)这一天的用电高峰、用电低谷时用电负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？
图17－1－
学生活动：学生观察用电负荷曲线图，进行自主探究活动，并把所得的答案与同学进行交流．
教师活动：组织学生集体交流．
【教师点拨】本题的解题关键是观察、分析用电负荷曲线图，从中找出y与t之间的变化关系．
【问题3】汽车在行驶过程中，制动后由于惯性的作用仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动距离．某型号的汽车在路面上的制动距离s(m)与车速v(km/h)之间有下列经验公式：s＝.
　　2.通过生活实际情境活动的设计，让学生在自主探究与合作交流活动中充分经历新知识的发生与发展的过程，使学生有效地理解并掌握常量与变量、自变量与因变量以及函数的定义．通过这些活动的设计，可有效引导学生自主地学习，培养学生分析、解决问题的能力.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
　(1)式中涉及哪几个量？
(2)当制动时车速v分别是40 km/h和60 km/h时，相应的制动距离s分别是多少米(结果保留一位小数)?
学生活动：学生借助于s与v之间的关系式，进行自主探究活动，并把所得的答案与同学进行交流．
教师活动：组织学生集体交流．
【教师点拨】本题的解题关键是根据s与v之间的关系式解决问题．
【思维提升】从上述三个问题的解答上你能有什么发现？请把你的发现与同学交流．
师生合作交流：有如下结论：
在上述三个问题中，描述的都是一个变化过程，在每一个变化过程中都只涉及两个变量．对于同一个变化过程中的两个变量，均是一个变量的变化导致了另一个变量的变化，如问题1中t的变化导致了h的变化，问题2中t的变化导致了y的变化，问题3中v的变化导致了s的变化．对于每一个问题中的两个变量，它们之间都存在着一种对应关系，当给定了其中一个变量的值时，另一个变量相应地也就有唯一的值与它对应．
【课堂总结】教师引导学生归纳出如下知识：
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x，y，如对于x每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
问题1中，热气球上升的海拔高度h(m)是上升时间t(min)的函数，其中t是自变量，h是因变量．
问题2中，用电负荷y(MW)是时刻t(h)的函数，其中t是自变量，y是因变量．
问题3中，制动距离s(m)是车速v(km/h)的函数，其中v是自变量，s是因变量．
【教师点拨】判断两个变量之间的关系是否是函数关系，需要具备两个方面的条件：
①在某一个变化过程中一共有两个变量；②对于自变量取定的每一个值，因变量都有一个值并且只有一个值与之对应．
表示函数关系的方法通常有三种：
(1)解析法：如问题3；
(2)列表法：如问题1；
(3)图象法：如问题2.
　2.通过生活实际情境活动的设计，让学生在自主探究与合作交流活动中充分经历新知识的发生与发展的过程，使学生有效地理解并掌握常量与变量、自变量与因变量以及函数的定义．通过这些活动的设计，可有效地引导学生自主地学习，培养学生分析解决问题的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　[教材第31页例1] 等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
变式一　等腰三角形的周长为12，底边长为y，腰长为x，求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
解：y与x之间的函数关系式：y＝－2x＋12(3＜x＜6).
变式二　已知等腰三角形的面积为20 cm2，设它的底边长为x cm，求底边上的高y cm关于底边长x cm的函数表达式，以及自变量的取值范围．
解：由三角形的面积公式得y＝(x＞0)．
图17－1－
例2　[教材第32页例2] 如图17－1－，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，CA与MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合．
(1)试写出两图形重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之间的函数关系式．
(2)当点A向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少？
变式三　如图17－1－，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E.AE平分∠BAC.设∠B＝x(单位：度)，∠C＝y(单位：度)．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
图17－1－
解：∵DE垂直平分AB，∠BAE＝∠B＝x.
又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝2x，
∴y＝180－3x，自变量x的取值范围是0＜x＜60.
　　进一步巩固课堂知识，讲练结合，使学生达到学以致用的目的.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3　已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表，则y与x之间的函数关系式之间的函数关系式可能是(　C　)
x
－1
0
1
y
－3
－4
－3
　
A y＝3x B．y＝x－4
C.y＝x2－4 D．y＝
例4　为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．设该市某户居民5月份的用水量为x吨，应交水费为y元，试用x的代数式表示出y，并判断y是否是x的函数？
[解析] 本题中x的取值范围没有明确，因而水费的标准应分两种情况讨论.
解：当0≤x≤10时，y＝1.2x；
当x>10时，y＝1.8(x－10)＋1.2×10，即y＝1.8x－6.y是x的函数.
进一步巩固所学知识，拓展学生知识的广度和深度，在培养学生观察、分析和解决问题能力的同时，使学生的探究能力和创新能力得到有效的提升.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．圆的周长公式C＝2πR中，下列说法正确的是(　B　)
A．π，R是自变量，2是常量
B．C是因变量，R是自变量，2，π为常量
C．R为自变量，2，π，C为常量
D．C是自变量，R为因变量，2，π为常量
2．下列关系式中，y不是x的函数的是(　A　)
A．y＝±(x＞0)　　　　B．y＝x2
C．y＝－(x＞0) D．y＝()2(x＞0)
3．一支铅笔0.6元，小敏用5元买了x支铅笔，则余款y元与x支之间的关系式为(　C　)
A．y＝0.6x B．y＝0.6x＋5
C．y＝5－0.6x D．y＝5x－0.6
4．在函数y＝中，自变量x的取值范围是(　C　)
A．x＞1 B．x＜1
C．x≠1 D．x＝1
5．当x＝__－2__时，函数y＝的值为零．
6．已知变量x，y，m满足下列关系：y＝2m＋1，x＝－m＋2，求y与x的函数关系式.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【课堂总结】
1．课堂小结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
教师进行总结：
函数的定义；变量与常量的区别和联系；自变量的取值范围；求函数值．
2．布置作业：
教材第32页练习第1，2，3题，第33页习题17.1第1～4题．
　学生归纳本节课学习的主要内容，对所学知识进行梳理，形成体系.
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课的主要内容是理解函数的概念，在教学时我利用教材并对教材进行了再加工，通过表示对函数关系的三种方法(列表法、解析法、图象法)的探讨，总结出三种方法的共同特征，由特殊到一般，使学生很好地掌握了函数的概念，并为下一节课的学习做了铺垫．
②[讲授效果反思]
函数知识是方程、不等式以及方程组等知识的延续与拓展，是日后学习一次函数、反比例函数以及二次函数等知识的起点，学好函数的知识是后续学习的可靠保证．本节课从学生的生活实际和已有的知识经验出发创设情境，较好地激发了学生的探究热情和学习兴趣，对新知识的学习起到了很好的促进作用．从学生课堂上的学习情况来看，学生对常量和变量掌握地较好，但对函数的定义理解不透彻，因此应注意在今后的教学中以及作业中进一步对学生进行这方面的巩固和训练．
③[讲授效果反思]
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④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.