1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 同步学案

必修二学案 第一章§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
班级 姓名
学习目标
1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；
2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为____，在原图中平行于轴或轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于轴的线段长度保持_____，平行于轴的线段长度_______.
复习2：.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.
二、新课导学
※ 探索新知（预习教材P23~ P25，找出疑惑之处）
探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？


正方体 长方体
结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.
新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.
试试1：想想上面的多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？
探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？

新知2：（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即.
（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即.
新知3：设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即
反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？
新知4：柱体体积公式为：，（为底面积，为高）
锥体体积公式为：，（为底面积，为高）
台体体积公式为： （，分别为上、下底面面积，为高）
补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.
反思：比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？
※ 典型例题
例1、已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积.
例2、如图，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.
练习：.在△中,°,若将△绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；
2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.
3. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；
4. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.
课后作业
1．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的侧面积等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．3
2．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　)
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
3．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为(　　)
A. B．2π
C．π D．4π
4．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是(　　)
A．6π B．12π
C．18π D．24π
5．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为(　　)
A．32 B．28
C．24 D．20
6．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为(　　)
A．1 B.
C. D.
7．体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为(　　)
A．54 cm3 B．54πcm3
C．58cm3 D．58πcm3
8．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为(　　)
A. B．5 C．4 D.
9．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)
10．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____．
12．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ ________cm.
13．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．
14．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S－ABCD，如图所示，求它的表面积．
必修二学案 第一章§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积参考答案
1、[答案]　C
[解析]　设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则c＝1，ab＝2，·c＝，∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.
2、[答案]　B
[解析]　原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.
3、[答案]　A
[解析]　由三视图可知，该几何体是底半径为，高为1的圆柱，故其全面积S＝2π×2＋2π××1＝.
4、[答案]　B
[解析]　该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.
5、[答案]　B
[解析]　上底面积S1＝6××22＝6，
下底面积S2＝6××42＝24，体积V＝(S1＋S2＋)·h＝(6＋24＋)×2＝28.
6、[答案]　D
[解析]　由三视图知，该几何体是三棱锥．体积V＝××1×1×1＝.
7、[答案]　A
[解析]　由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥与圆台体积比为1:26，∴ 小圆锥体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54 cm3，故选A.
8、[答案]　C
[解析]　本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为六边形，面积为4，高为1，则直接代公式可求．
9、[答案]　C
[解析]　若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体是正方体，其体积V＝13＝1≠，所以A选项不是；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体是圆柱，其体积V＝π×()2×1＝≠，所以B选项不是；若该几何体的俯视是选项D，则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V＝(π×12×1)＝≠，所以D选项不是；若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝×1×1×1＝，所以C选项符合题意，故选C.
10、[答案]　
[解析]　设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
11、[答案]　
[解析]　由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×＋1×1×2＝.
12、[答案]　3
[解析]　圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，
∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3 cm.
13、[答案]　(4＋28)π
[解析]　挖去的圆锥的母线长为＝2，
则圆锥的侧面积等于4π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π.
14、 [解析]　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
各侧面都是全等的正三角形，
设E为AB的中点，则SE⊥AB，
∴S侧＝4S△SAB＝4××5×＝25，S底＝52＝25，
∴S表面积＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)．