高一数学下学期末复习知识点
知识点一：解三角形
1.正弦定理:＝＝=k(k=2R为的外接圆的直径）.
①a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksinC ;
② 面积公式：．
2.余弦定理:
变形式为：
3.角的关系
① ．
② ；．
③ ；．
④ ．
4.三角恒等变形公式
①和(差)角公式
②倍角公式
③辅助角公式:
角的终边过点.
ⅰ
ⅱ
知识点二：立体几何
1.表面积与体积
①圆锥体积V＝S底h
②球表面积与体积
2.直线与平面
判 定 性 质
平 行 线面 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.①a∥b；②b?α；③a?α ? a∥α. 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.①a∥α；②a?β；③α∩β＝b? a∥b.
面面 一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行.① a,b?α；② a,b∥β；③a∩b＝P ?α∥β. 两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行.①α∥β；②α∩γ＝a，β∩γ＝b ? a∥b.
垂 直 线面 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.①a,b?α；②a,b⊥l；③a∩b＝P?l⊥α. 垂直于同一平面的两条直线平行.a,b⊥α ? a∥b.
面面 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.①a⊥β ；②a?α ? α⊥β. 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.①α⊥β，α∩β＝l；② a?α；③a⊥l ? a⊥β.
知识点三：统计与概率
1.统计
①方差为s2 ＝ [(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
②ⅰ 频率=
ⅱ
2.概率
①事件A的概率P(A)＝.
②概率的几个基本性质
ⅰ概率的取值范围[0,1]．
ⅱ必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
知识点四：直线与方程
1.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)直线的斜率：k＝
2.两条直线的位置关系
①平行
ⅰ
ⅱ ∥（反之不成立）
② 垂直
ⅰ
ⅱ
3.直线方程五种形式
名称 方程 条件 适用范围
①点斜式 斜率k，过(x0，y0) 不含直线x=x0
②斜截式 斜率k，过(0，b) 不含垂直于x轴的直线
③两点式 过(x1，y1)，(x2，y2) 不含垂直于坐标轴的直线
④截距式 过(a，0)，(0，b) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
⑤一般式 Ax＋By＋C＝0 A、B不同时为0 均适用
4.三种距离
距 离 公 式 条 件
两 点 |P1P2|＝ P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
点到直线 d＝ P0(x0，y0)，：Ax＋By＋C＝0
两平行线 d＝ ：Ax＋By＋C1＝0：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)
知识点五：圆与方程
圆的标准方程 圆的一般方程
方程
圆心
半径
复习习题2019.6
知识点一：解三角形
习题 草稿
1.在△ABC中，，则 ， . 2.在△中，已知，，，则 （A） （B） （C） （D） 3.能说明“在△中，若，则”为假命题的一组，的值是____． 4. 已知中， ，，三角形的面积为. 且.则A. B. C. D. 5.在中，，，，则__________． 6.在中，若，则= . 7. 已知中，AB=，BC=1，，则的面积为 A. B. C. D.
8.在锐角中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当，且时，求．
9.在中，角的对边分别为，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积．
10.如图，在中，点在边上，，，．
（Ⅱ）若， 求的长及的面积．
知识点二：立体几何
1.已知两条直线与两个平面，下列命题正确的是
（A）若， 则 （B）若，则
（C）若， 则 （D）若，则
2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是
A. B. C. D.
3. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．
(Ⅱ)求证：∥平面
(Ⅱ)求证：平面平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
4.如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？并说明理由．
5.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为线段的中点，求证：//平面；
（Ⅲ）求多面体的体积．
6.三棱柱被平面截去一部分后得到如图所示几何体，平面ABC，，，为棱上的动点（不包含端点），平面交于点．
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求证：∥；
（Ⅲ）试问是否存在点，使得平面⊥平面？并说明理由．
7.如图，在三棱锥中，平面平面,，．设，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）试问在线段上是否存在点，使得过三点 ,,
的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出
点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
8.如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形．，，，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）在线段求一点，使得，并求出的值．
知识点三：统计与概率
1.团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数 1~50 51~100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.
2.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局( NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）
单位：公顷
造林方式
地区 造林总面积 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新
内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950
河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643
河南 149002 97647 13429 22417 15376 133
重庆 226333 100600 62400 63333
陕西 297642 ， 184108 33602 63865 16067
甘肃 325580 260144 57438 7998
新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091
青海 178414 16051 159734 2629
宁夏 91531 58960 22938 8298 1335
北京 19064 10012 4000 3999 1053
(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最
小的地区；
(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过
50%的概率是多少？
(Ⅲ)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退
化林修复面积超过五万公顷的概率．
3.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.
（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；
（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；
（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为，试比较，的大小.（结论不要求证明）
（注：，其中为数据的平均数）
4.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系.
知识点四：直线与方程
知识点五：圆与方程
习题 草稿
1.直线与圆相交于两点，若，则____． 2.在直角坐标系中，点和点是单位圆上两点，，则=______；的最大值为 ． 3.圆心为且与直线相切的圆的方程为（A） （B） （C） （D）4.已知圆，则圆心到直线的距离等于 （A） （B） （C） （D）5.在平面直角坐标系中，半径为且过原点的圆的方程可以是 A． B．C． D．
6.已知圆，点在圆上.
（Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径；
（Ⅱ）若点B也在圆上，且，求直线AB的方程.
A
D
B
C
D
A
B
C
E
F
E
D
C
B
A
F
M
H
F
G
C
B
D
E
A
乙
1 2 0
7 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a
8 6 2 1 0 1 2 4 4
甲
高一数学下学期末复习知识点
知识点一：解三角形
1.正弦定理:＝＝=k(k=2R为的外接圆的直径）.
①a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksinC ;
② 面积公式：．
2.余弦定理:
变形式为：
3.角的关系
① ．
② ；．
③ ；．
④ ．
4.三角恒等变形公式
①和(差)角公式
②倍角公式
③辅助角公式:
角的终边过点.
ⅰ
ⅱ
知识点二：立体几何
1. 球表面积与体积
①
②
2.直线与平面
判 定 性 质
平 行 线面 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.①a∥b；②b?α；③a?α ? a∥α. 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.①a∥α；②a?β；③α∩β＝b? a∥b.
面面 一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行.① a,b?α；② a,b∥β；③a∩b＝P ?α∥β. 两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行.①α∥β；②α∩γ＝a，β∩γ＝b ? a∥b.
垂 直 线面 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.①a,b?α；②a,b⊥l；③a∩b＝P?l⊥α. 垂直于同一平面的两条直线平行.a,b⊥α ? a∥b.
面面 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.①a⊥β ；②a?α ? α⊥β. 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.①α⊥β，α∩β＝l；② a?α；③a⊥l ? a⊥β.
知识点三：统计与概率
1.统计
①方差为s2 ＝ [(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
②ⅰ 频率=
ⅱ
2.概率
①事件A的概率P(A)＝.
②概率的几个基本性质
ⅰ概率的取值范围[0,1]．
ⅱ必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
知识点四：直线与方程
1.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)直线的斜率：k＝
2.两条直线的位置关系
①平行
ⅰ
ⅱ ∥（反之不成立）
② 垂直
ⅰ
ⅱ
3.直线方程五种形式
名称 方程 条件 适用范围
①点斜式 斜率k，过(x0，y0) 不含直线x=x0
②斜截式 斜率k，过(0，b) 不含垂直于x轴的直线
③两点式 过(x1，y1)，(x2，y2) 不含垂直于坐标轴的直线
④截距式 过(a，0)，(0，b) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
⑤一般式 Ax＋By＋C＝0 A、B不同时为0 均适用
4.三种距离
距 离 公 式 条 件
两 点 |P1P2|＝ P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
点到直线 d＝ P0(x0，y0)，：Ax＋By＋C＝0
两平行线 d＝ ：Ax＋By＋C1＝0：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)
知识点五：圆与方程
圆的标准方程 圆的一般方程
方程
圆心
半径
复习习题2019.6
知识点一：解三角形
1.在△ABC中，，则 ， .
答案
2.在△中，已知，，，则
（A） （B） （C） （D）
答案C
3.能说明“在△中，若，则”为假命题的一组，的值是____．
答案不唯一，如，
4. 已知中， ，，三角形的面积为. 且.则
A. B. C. D.
答案B
5.在中，，，，则__________．
答案
6.在中，若，则= .
答案
7. 已知中，AB=，BC=1，，则的面积为
A. B. C. D.
答案 C
8.在锐角中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当，且时，求．
答案（Ⅰ）因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
因为 是锐角三角形，
所以 .
因为 ，，
所以 ,.
所以 .
因为 ，，
所以 .
9.在中，角的对边分别为，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积．
答案解：(Ⅰ)在中，，
∴，
∵，，
由正弦定理得，
∴．
（Ⅱ）由余弦定理得，
∴，
解得或（舍）
∴
．
10.如图，在中，点在边上，，，．
（Ⅱ）若， 求的长及的面积．
答案（Ⅰ）因为， 所以，………………………1分
…………………2分
又因为，所以，…………………3分
……5分
． …………7分
（Ⅱ）在中，由，…………9分
得．…………11分
所以． …………13分
知识点二：立体几何
1．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．
答案243；3402
图1 图2
2.已知两条直线与两个平面，下列命题正确的是
（A）若， 则 （B）若， 则
（C）若， 则 （D）若，则
答案B
3. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是
A. B. C. D.
答案 D
4. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．
(Ⅱ)求证：∥平面
(Ⅱ)求证：平面平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
答案(Ⅰ)方法一：连结
因为分别为,中点, 所以
又因为，所以
因为分别为,中点，所以
又因为
平面，平面
平面，平面
所以平面平面
又平面，所以平面
方法二：取中点为,连结
由且
又点为中点，所以
又因为分别为,中点,所以
所以
所以共面于平面
因为,分别为中点, 所以
平面
平面
所以平面
（Ⅱ）在直棱柱中，平面
因为，所以
又因为，
且
所以平面
平面，所以
又，四边形为正方形
所以
又，所以
又，
且
所以平面
又平面
所以平面平面
（Ⅲ）
5.如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？并说明理由．
（Ⅰ）由底面为矩形，知. ……………… 1分
又因为，， ……………… 2分
所以平面. ……………… 3分
又因为平面，
所以. ……………… 4分
（Ⅱ）由底面为矩形，知，
又因为平面，平面，
所以平面. ……………… 6分
同理平面，
又因为，
所以平面平面. ……………… 8分
又因为平面，
所以平面. ……………… 9分
（Ⅲ）结论：线段上存在点（即的中点），
使得平面平面. … 10分
证明如下：
取的中点，的中点，连接，则.
由，得.
所以四点共面. ……………… 11分
由（Ⅰ），知平面，
所以，故.
在△中，由，可得.
又因为，
所以平面. ……………… 13分
又因为平面
所以平面平面（即平面平面）.
即线段上存在点（即中点），使得平面平面. ……… 14分
6.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为线段的中点，求证：//平面；
（Ⅲ）求多面体的体积．
答案（Ⅰ）证明：因为四边形为正方形，所以．
又因为平面平面，
且平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以． ……………………….4分
（Ⅱ）延长交于点，
因为，为中点，
所以≌，
所以．
因为，所以．
由已知，且,
又因为，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面． ……………………….9分
（Ⅲ）设为中点，连接，．
由已知，所以平面．
又因为，所以平面，
所以平面平面．
因为，，所以平面，
所以多面体为直三棱柱．
因为，且，
所以．
由已知，且，
所以，且．
又因为，平面，
所以平面．
因为，
所以，
所以． ……………………….14分
7.三棱柱被平面截去一部分后得到如图所示几何体，平面ABC，，，为棱上的动点（不包含端点），平面交于点．
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求证：∥；
（Ⅲ）试问是否存在点，使得平面⊥平面？并说明理由．
答案（Ⅰ）因为 ，，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，，，
所以 ⊥平面.
（Ⅱ）在三棱柱中，.
因为 ，，
所以.
因为 ，，
所以 ∥．
（Ⅲ）存在点，当点为中点时，平面⊥平面．
因为 ，
所以 .
因为 ⊥平面，，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 ⊥平面.
因为 ，
所以 平面⊥平面.
8.如图，在三棱锥中，平面平面,，．设，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）试问在线段上是否存在点，使得过三点 ,,
的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出
点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
答案
证明：（Ⅰ）因为点是中点，点为的中点，
所以∥．
又因为面，面，
所以∥平面． -------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）因为平面面, 平面平面=,又平面，，所以面.
所以．
又因为，且，
所以面． --------------------------------------------------------------10分
（Ⅲ）当点是线段中点时，过点,,的平面内的任一条直线都与平面平行．
取中点，连，连.
由（Ⅰ）可知∥平面．
因为点是中点，点为的中点，
所以∥．
又因为平面，平面，
所以∥平面．
又因为，
所以平面∥平面，
所以平面内的任一条直线都与平面平行．
故当点是线段中点时，过点,,所在平面内的任一条直线都与平面平行． ----14分
9.如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形．，，，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）在线段求一点，使得，并求出的值．
答案（Ⅰ）证明：在矩形中，∥，
∵分别为的中点，
∴∥，且，
∴∥，
∵平面，平面，
∴∥平面．
（Ⅱ）证明：在矩形中，，
又∵，
∴，又
∴平面，
又
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
（Ⅲ）解：作于，
∵平面，
且平面，
∴，
∵分别为的中点，
∴
∵，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵矩形平面，且平面平面，
∴平面，
∴平面，
在直角三角形中，，，可求得．
知识点三：统计与概率
1.团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数 1~50 51~100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.
答案70；40
2. 据《人民网》报道，“美国国家航空航天局( NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）
单位：公顷
造林方式
地区 造林总面积 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新
内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950
河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643
河南 149002 97647 13429 22417 15376 133
重庆 226333 100600 62400 63333
陕西 297642 ， 184108 33602 63865 16067
甘肃 325580 260144 57438 7998
新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091
青海 178414 16051 159734 2629
宁夏 91531 58960 22938 8298 1335
北京 19064 10012 4000 3999 1053
(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最
小的地区；
(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过
50%的概率是多少？
(Ⅲ)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退
化林修复面积超过五万公顷的概率．
答案
(Ⅰ) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省
人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省
(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件 (Ⅲ)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．
在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过，则
（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件
新封山育林面积超过十万公顷有个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为
，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即
从个地区中任取个地区共有种情况，
其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有种情况，
则
3.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.
（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；
（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；
（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为，试比较，的大小.（结论不要求证明）
（注：，其中为数据的平均数）
答案（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，
乙组10名学生阅读量的平均值为.
……………… 2分
由题意，得，即. ……………… 3分
故图中a的取值为或. ……………… 4分
（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M. … 5分
由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为，；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为，，.
则从所有的 “阅读达人” 里任取2人，所有可能结果有10种， 即，，，，，，，，，. …… 7分
而事件M的结果有7种，它们是，，，，，，， … 8分
所以.
即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为. … 10分
（Ⅲ）. ……………… 13分
4.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系.
答案（Ⅰ）因为，
所以 .………………………..4分
（Ⅱ）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为
，故的估计值为 .…………..8分
（Ⅲ）
.
由直方图知： ………………………..13分
知识点四：直线与方程
知识点五：圆与方程
1.直线与圆相交于两点，若，则____．
答案
2.在直角坐标系中，点和点是单位圆上两点，，则=______；的最大值为 _ ．
答案 ，．
3.圆心为且与直线相切的圆的方程为
（A） （B） （C）（D）
答案C
4.已知圆，则圆心到直线的距离等于
（A） （B） （C） （D）
答案D
5.在平面直角坐标系中，半径为且过原点的圆的方程可以是
A． B．
C． D．
答案D
6.已知圆，点在圆上.
（Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径；
（Ⅱ）若点B也在圆上，且，求直线AB的方程.
（Ⅰ）因为点在圆上,
所以.
解得 .
所以圆的方程为，即.
所以圆心坐标为，圆的半径为.
（Ⅱ）因为点，点都在圆上，且,
所以直线经过圆的圆心.
所以直线的斜率.
所以直线的方程为，即.
A
D
B
C
D
A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
F
P
Q
E
D
C
B
A
F
M
E
D
C
B
A
F
M
G
D
E
B
A
P
C
F
H
F
G
C
B
D
E
A
乙
1 2 0
7 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a
8 6 2 1 0 1 2 4 4
甲
