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《22.1.1二次函数》导学案
课题 二次函数 学科 数学 年级 九年级上册
教学目标 通过实际例子归纳概括得出二次函数的定义。 理解并掌握二次函数的定义，并会求出其中的a、b、c会建立二次函数模型
重点难点 重点： 理解二次函数的定义难点： 根据实际问题建立函数模型
教学过程
知识链接 1、什么叫函数? 2、目前，我们已经学习了那几种类型的函数？ 本节课我们将介绍一种新的函数——二次函数。（板书课题）
合作探究 新知、二次函数的定义问题1 ：如图,正方体的六个面全是全等的正方形如图，设正方体的棱长为x，表面积为y=_________________显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们具体的关系可以表示为y=6x2问题2 ：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系___________________m=上式表示了比赛场数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数．问题3 ：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系________________________y=20x2+40x+20 上式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．思考：y=6x2 、m=、y=20x2+40x+20 这些式子有什么共同特点？类比一次函数的定义，你能给出它们具体的定义吗？●归纳：一般的形如：y=ax2+bx+c(其中a≠0)函数叫做二次函数，其中，x是自变量. a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。回顾我们都学过那些函数？一般式是什么？你能说出他们命名的原因吗？ 现在我们学习过的函数有： 一次函数： y=kx+b(k≠0)其中包括正比例函数： y=kx(k≠0)，二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0) 可以发现，这些函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系．注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式 （2）a,b,c为常数，且a≠0 （3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。 （5）函数的右边是一个 整 式例、已知函数y=（m+3）xm2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=±时是正比例函数。 （2）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
自主尝试 1、下列函数中，哪些是二次函数？是二次函数的请指出其中的a、b、c. (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2( ) 3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( ) (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x)( )答案：(2)是，其中a=3，b=0，c=0 (4)是，其中a=2，b=-2，c=1 （1）（3）（5）（6）都不是。2、函数y=ax2+bx+c，（1）当a，b，c满足______________________时，它是二次函数； （2）当a，b，c满足______________________时，它是一次函数； （3）当a，b，c满足_______________________时，它是正比例函数。答案：a≠0、 a=0且b≠0、 a=0，c=0， b≠0
当堂检测 1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有（ ）CA.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1 C.y=x2 D.y=2++1 2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )CA.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0 C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数 3、若y＝（b－1）x2＋3是二次函数，则b_______________．b≠14、有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中， 平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为 ___________ ．y＝x2＋2x＋1 5、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）CA．y＝36（1－x） B．y＝36（1＋x） C．y＝18（1－x）2 D．y＝18（1＋x2 ）6、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。解：y=-2x2+40x当x＝12m时，菜园的面积为：y=-2x2+40x＝-2×122+40×12＝192（m2）7、一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为（x＋1）cm 的小矩形，剩余部分的面积为 y cm2. （1）写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？（2）当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？解：（1）剩余部分的面积为122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.故y是x的二次函数． （2）当x＝2和4时，分别代入函数关系式，得相应的y的值分别为132和104， 故相应的剩余部分的面积分别是132 cm2 和104 cm2.
小结反思 本节课，你学会了什么，想想下面的问题，你都会了吗？1.二次函数的定义。 2.熟记二次函数y=ax?+bx+c中，a ≠ 0 ，a、b、c为常数。 3.如何表示简单变量之间的二次函数关系？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《22.1.1二次函数》导学案
课题 二次函数 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 通过实际例子归纳概括得出二次函数的定义。 理解并掌握二次函数的定义，并会求出其中的a、b、c会建立二次函数模型
重点难点 重点： 理解二次函数的定义难点： 根据实际问题建立函数模型
学习过程
知识链接 1、什么叫函数? 2、目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
合作探究 新知、二次函数的定义问题1 ：如图,正方体的六个面全是全等的正方形如图，设正方体的棱长为x，表面积为y=_________________问题2 ：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系___________________问题3 ：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系________________________思考：你列的式子有什么共同特点？类比一次函数的定义，你能给出它们具体的定义吗？●归纳：一般的形如：_____________(其中a≠0)函数叫做二次函数，其中，x是自变量.___是二次项系数，_____是一次项系数，_____是常数项。回顾我们都学过那些函数？一般式是什么？你能说出他们命名的原因吗？ 例、已知函数y=（m+3）xm2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？
自主尝试 1、下列函数中，哪些是二次函数？是二次函数的请指出其中的a、b、c. (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2( ) 3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( ) (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x)( )2、函数y=ax2+bx+c，（1）当a，b，c满足______________________时，它是二次函数； （2）当a，b，c满足______________________时，它是一次函数； （3）当a，b，c满足_______________________时，它是正比例函数。
当堂检测 1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有（ ）A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1 C.y=x2 D.y=2++1 2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0 C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数 3、若y＝（b－1）x2＋3是二次函数，则b_______________．4、有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中， 平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为 ___________ ． 5、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）A．y＝36（1－x） B．y＝36（1＋x） C．y＝18（1－x）2 D．y＝18（1＋x2 ）6、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。 7、一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为（x＋1）cm 的小矩形，剩余部分的面积为 y cm2. （1）写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？ （2）当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？
小结反思 本节课，你学会了什么，想想下面的问题，你都会了吗？1.二次函数的定义。 2.熟记二次函数y=ax?+bx+c中，a ≠ 0 ，a、b、c为常数。 3.如何表示简单变量之间的二次函数关系？
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22.1.1二次函数
人教版 九年级上
新知导入
1、什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量.
2、目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
新知导入
新知讲解
问题1 ：如图,正方体的六个面全是全等的正方形如图，设正方体的棱长为x，表面积为y．
显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们具体的关系可以表示为
新知讲解
问题2 ：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
②式表示了比赛场数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数．
新知讲解
问题3 ：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．
y=20x2+40x+20 ③
新知讲解
在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的．
的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量.
观察这几个式子有什么特点？
二次项系数
一次项系数
常数项系数
新知讲解
现在我们学习过的函数有：
回顾我们都学过那些函数？一般式是什么？你能说出他们命名的原因吗？
一次函数：
二次函数：
可以发现，这些函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系．
其中包括正比例函数： y=kx(k≠0)，
y=kx+b(k≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
新知讲解
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（3）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
注意：
（2）a,b,c为常数，且
（4）x的取值范围是任意实数。
整式。
a≠0.
2
（5）函数的右边是一个 整 式
巩固练习
1、下列函数中，哪些是二次函数？
是二次函数的请指出其中的a、b、c.
(1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ ） (3)y=3x3+2x2 ( ） (4)y=2x2-2x+1( )
(5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x)( )
不是
是
不是
不是
是
不是
a=3，b=0，c=0
a=2，b=-2，c=1
（1）当a，b，c满足______________________时，它是二次函数；
（2）当a，b，c满足______________________时，它是一次函数；
（3）当a，b，c满足_______________________时，它是正比例函数。
巩固练习
a=0，c=0， b≠0
a≠0
a=0且b≠0
2、函数y=ax2+bx+c，
例题讲解
例、已知函数 y=（m+3）xm2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
巩固练习
2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0
C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数
C
C
巩固练习
5、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝36（1－x） B．y＝36（1＋x）
C．y＝18（1－x）2 D．y＝18（1＋x2 ）
3、若y＝（b－1）x2＋3是二次函数，则b_______________．
4、有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，
平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为 ___________ ．
≠1
y＝x2＋2x＋1
C
巩固练习
6、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
xm
ym2
xm
（40-2x ）m
解：
由题意得：
Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x
(0当x＝12m时，菜园的面积为：
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12＝192（m2）
巩固练习
（2）当x＝2和4时，分别代入函数关系式，
得相应的y的值分别为132和104，
故相应的剩余部分的面积分别是132 cm2 和104 cm2.
几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．
7、一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为（x＋1）cm 的小矩形，剩余部分的面积为 y cm2.
（1）写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？
（2）当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？
（1）剩余部分的面积为122－2x(x＋1)，
即y＝－2x2－2x＋144.故y是x的二次函数．
课堂总结
1.二次函数的定义。
2.熟记二次函数y=ax?+bx+c中，a ≠ 0 ，a、b、c为常数。
3.如何表示简单变量之间的二次函数关系？
作业布置
教材29页练习1、2题
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