【华师大版八年级下册进阶培优训练】第十六讲 平行四边形、矩形、菱形、正方形综合培优辅导（含答案）

第十六讲 平行四边形、矩形、菱形、正方形培优竞赛辅导
一【知识点精析】
背一背：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定（各有几条）
填一填：
二、基础达标训练：
（1）两条对角线 的四边形是平行四边形；
（2）两条对角线 的四边形是矩形；
（3）两条对角线 的四边形是菱形；
（4）两条对角线 的四边形是正方形；
（5）两条对角线 的平行四边形是矩形；
（6）两条对角线 的平行四边形是菱形；
（7）两条对角线 的平行四边形是正方形；
（8）两条对角线 的矩形是正方形；
（9）两条对角线 的菱形是正方形。
三、易错题精选
选择题
1、菱形的两条对角线的长分别是10和24，则这个菱形的周长是（　　）
　
A．
24
B．
52
C．
10
D．
34
2、下列命题中，假命题是（ ）。
A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形
C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3、下列各句判定矩形的说法（ 1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；是正确有几个（　　）
　
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（　　）
　
A．
（1）（2）（5）
B．
（2）（3）（5）
C．
（1）（4）（5）
D．
（1）（2）（3）
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（　　）．
A．
B．
C．
1+
D．3
6、如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（　　）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
7、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④GE=FC；其中，正确的结论有（　　）
A． 1个 B． 2个 C． 3 D． 4个
8、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△BGH是等腰直角三角形，其中正确的结论有（　　）
A.?①②③ B.?②③④ C.?①③④ D.?①②③④
　
．
5题图 6题图 7题图 8题图
填空题1、已知直角三角形两条边的长分别为8和6，则斜边上的中线为　_________　．
2、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=1，则矩形的面积等于　_________　．
3、菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为　_________　．
4、在矩形ABCD中，AD=5， AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为　_________　．
5、如图，一块长为a米，宽为b米的矩形土地被踩出两条小路（过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段长都是2米）．若小路①，②的面积分别为S1，S2，则S1，S2的大小关系是s1_　s2．
6、如图，直线l是矩形ABCD的一条对称轴，点P是直线l上一点，且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P共有　_________　个．
7、如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标为　_________　．
5题图 6题图 7题图 8题图
8、如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为　　．[
9、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为_________．
10、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（　　）
A．1或2 B． 2或3 C． 3或4 D． 4或5
11、如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a=_______．　 　
9题图 10题图 11题图 例1图
四、经典例题精讲
例1以△ABC的边AB、AC为边作等边△ABD和等边△ ACE，四边形ADFE是平行四边形．
（1）当∠BAC等于 时，四边形ADFE是矩形；当∠BAC等于 时，平行四边形ADFE不存在；
（2）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形、正方形．
变式题组
如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=　 度；
（2）求证：NM=NP；[中&国教育^@*出版网#]
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
变式题组
如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

例2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求t的值及四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
培优竞赛升级检测
1、下列命题中，真命题是（　　）
Ａ两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
2、如图在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形.其中，正确的有 .（只填写序号）
3、如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是　 　（只填写序号）．

3题图 4题图
4、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点.动点从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，当取到最大值时，点应运动到( )
A．的中点处 B．点处 C．的中点处 D．点处
5、如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 .
6、如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
7、在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．
8、如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG＝CE，AG⊥CE．
⑴当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG＝CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说 明理由；
⑵当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H交，于AD于M．①求证：AG丄CH；②当AD＝4，DG＝时，求CH的长．
第十六讲 平行四边形、矩形、菱形、正方形培优竞赛辅导答案
一【知识点精析】
背一背：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定（各有几条）
填一填：
二、基础达标训练：
（1）两条对角线 互相平分 的四边形是平行四边形；
（2）两条对角线 相等且互相平分 的四边形是矩形；
（3）两条对角线 互相垂直平分 的四边形是菱形；
（4）两条对角线 相等且互相垂直平分 的四边形是正方形；
（5）两条对角线 相等 的平行四边形是矩形；
（6）两条对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形；
（7）两条对角线 相等且互相垂直 的平行四边形是正方形；
（8）两条对角线 互相垂直 的矩形是正方形；
（9）两条对角线 相等 的菱形是正方形。
三、易错题精选
选择题
1、菱形的两条对角线的长分别是10和24，则这个菱形的周长是（　B　）
　
A．
24
B．
52
C．
10
D．
34
2、下列命题中，假命题是（ B ）。
A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形
C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3、下列各句判定矩形的说法（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
是正确有几个（　B）
　
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（　A　）
　
A．
（1）（2）（5）
B．
（2）（3）（5）
C．
（1）（4）（5）
D．
（1）（2）（3）
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（　C　）．
A．
B．
C．
1+
D．3
6、如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（　A　）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D.4个
7、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④GE=FC
其中，正确的结论有（　B　） A． 1个 B． 2个 C． 3D． 4个
8、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△BGH是等腰直角三角形，其中正确的结论有（　D　）
A.?①②③ B.?②③④ C.?①③④ D.?①②③④
　
．
5题图 6题图 7题图 8题图
填空题
1、已知直角三角形两条边的长分别为8和6，则斜边上的中线为　__5_______　．
2、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=1，则矩形的面积等于　_________　．
3、菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为　__5cm______　．
4、在矩形ABCD中，AD=5， AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为5.5或0.5_________　．
5、如图，一块长为a米，宽为b米的矩形土地被踩出两条小路（过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段长都是2米）．若小路①，②的面积分别为S1，S2，则S1，S2的大小关系是s1_=s2．
6、如图，直线l是矩形ABCD的一条对称轴，点P是直线l上一点，且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P共有　____5_____　个．
7、如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标　．

5题图 6题图 7题图 8题图
8、如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为　　．
9、如图以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P且满足FE=FP，则P点坐标为（0，4），（0，0）
10、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为　____1或2_____　．
11、如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a=　2 　
9题图 10题图 11题图
四、经典例题精讲
【例1】如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长
（3）连结AE，AF，当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．
【考点】矩形的性质判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理
【分析】（1）根据CF平分∠ACD，且MN∥BD可证OF=OC，同理可证OE=OC，即可得OE=OF；（2）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可求∠ECF=90°，根据勾股定理可求EF的长，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得OC的长；（3）当点O在AC的中点时，由（1）知OE=OF，可证四边形AECF是平行四边形，再根据∠ECF=90°，可证四边形AECF是矩形．
解：（1）OE=OF，理由如下：
∵CF平分∠ACD，且MN∥BD∴∠ACF=∠FCD=∠CFO∴OF=OC同理可证：OC=OE∴OE=OF（2）由（1）知：OF=OC=OE∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°∴EF＝=＝10
∴OC＝EF＝5（3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形理由如下：∵当点O移动到AC中点时∴OA=OC且OE=OF∴四边形AECF为平行四边形又∵∠ECF=90°∴四边形AECF为矩形
【例2】如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
解：（1）在△ACB和△ECD中 ∵∠ACB=∠ECD=90°∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB， ∴∠1=∠2 又∵AC=CE=CB=CD， ∴∠A=∠D=45°∴△ACB≌△ECD， ∴CF=CH 。
（2）答： 四边形ACDM是菱形∵∠ACB=∠ECD=90°∴∠1=45°，∠2=45°又∵∠E=∠B=45°，∴∠1=∠E，∠2=∠B ∴AC∥MD，CD∥AM ， ∴ACDM是平行四边形又∵AC=CD， ∴ACDM是菱形。
变式题组
如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP= 度；
求证：NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，
∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，
∵N是BC的中点，∴MN=PN，
∴∠NMP=∠NPM=30°；
（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，
∴∠BMN=∠E，
∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，
在△MNB和△ENC中，
，
∴△MNB≌△ENC，
∴MN=EN，
即点N是线段ME的中点，
∵MP⊥AB交边CD于点P，
∴MP⊥DE，
∴∠MPE=90°，
∴PN=MN=ME；
（3）如图2
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
又M，N分别是边AB，BC的中点，
∴MB=NB，
∴∠BMN=∠BNM，
由（2）知：△MNB≌△ENC，
∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，
又∵PN=MN=NE，
∴∠NPE=∠E，
设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，
则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，
①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，
在△PNC中，2x+2x+x=180，
解得：x=36，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，
②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，
在△PNC中，2x+x+x=180，
解得：x=45，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．
培优升级检测
1、下列命题中，真命题是（　D　）
Ａ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（　B　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　D　）
A．1 B． C． D．
4、如图在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形.其中，正确的有 ①②③④ .（只填写序号）
5、如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是 ③ （只填写序号）．

5题图
6、如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为　 　cm．
7、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是___17______．
8、如图，在矩形纸片中，，，边上有一点，，将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，则线段的长是．__．
9、如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的底数是_60°____度．
10、如图，在△ABC中，AB=3+,∠B=45°，∠C=105°，点 D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为___________ 。
11、如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　 128 　．
12、已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．
（1）若BF⊥AE，
①求证：BF＝AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【分析】（1）①如图1①，要证BF＝AE，只需证△ABE≌△BCF，只需证到∠BAE＝∠CBF即可；
②延长AD，交射线BM于点G，如图1②，由△ABE≌△BCF可得BE＝CF，由此可得CF＝DF，从而可证到△DGF≌△CBF，则有DG＝BC，从而可得DG＝AD，然后运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；
（2）可分点F在CD上和点F在AD上两种情况进行讨论．当点F在CD上时，如图2①，易证Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），则有∠BAE＝∠CBF，由此可证到∠AOB＝90°，然后在Rt△ABE中，运用面积法就可求出BO的长；当点F在AD上时，如图2②，易证Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），则有∠BAE＝∠ABF，根据等角对等边可得OB＝OA，根据等角的余角相等可得∠AEB＝∠EBF，根据等角对等边可得OB＝OE，即可得到OA＝OB＝OE，只需求出AE的长就可解决问题．
解：（1）①如图1①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE；
②OD＝AB．
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，
∵△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF．
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE＝BC＝DC，
∴CF＝DF．
∵DG∥BC，
∴∠DGF＝∠CBF．
在△DGF和△CBF中，
，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG＝BC，
∴DG＝AD．
∵BF⊥AE，
∴OD＝AG＝AD＝AB；
（2）①若点F在CD上，如图2①，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠AOB＝90°．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝2 ．
∵S△ABE＝AB?BE＝AE?BO，
∴BO＝．
②若点F在AD上，如图2②，
在Rt△ABE和Rt△BAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴∠BAE＝∠ABF，
∴OB＝OA．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴OB＝OE，
∴OA＝OB＝OE．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴OB＝AE＝．
综上所述：BO的长为或．