线段的垂直平分线的性质
学习目标
1、探究线段垂直平分线的性质定理及逆定理．
2、会用尺规过一点做已知直线的垂线。
3、经历探索线段垂直平分线的性质的过程，培养认真探究、积极思考的能力．
学习重点
1、掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理．
2、会用尺规过一点做已知直线的垂线。
学习难点
线段垂直平分线的性质定理及逆定理的应用
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
1、阅读课本P 61～ 62页，思考下列问题：
（1）线段垂直平分线的性质定理及逆定理是什么？
（2）如何用尺规过一点做已知直线的垂线？
2、独立思考后我还有以下疑惑：
二、答疑解惑我最棒（约8分钟）
甲：
乙：
丙：
丁：
同伴互助答疑解惑
学习活动
设计意图
三、合作学习探索新知（约15分钟）
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
◆[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
◆学生活动：
（1）学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
（2）作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
★探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…
◆能用我们已有的知识来证明这个结论吗？学生讨论给出证明．
证法一：利用判定两个三角形全等．
如下图，在△APC和△BPC中，
学习活动
设计意图
△APC≌△BPC PA=PB.
证法二：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．
★线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．
四、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点的归纳总结：
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．
2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）
◆例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
已知：直线AB和AB外一点C
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：
（1）在C相对于AB的另一侧任选点K
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于D、E两点。
（3）分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两
学习活动
设计意图
弧交于点F。
（4）作直线CF。CF就是所求作的垂线。
课本P62页练习两题
课本P64---65页习题13.1第2、5、7、8两题
五、课堂小测（约5分钟）
六、独立作业我能行
1、独立完成13.1.2线段的垂直平分线的性质（二）工具单
2、课本P64---65页习题13.1第6、9题（作业本）
七、课后反思：
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
自我评价
课上
1、本节课我对自己最满意的一件事是：
2、本节课我对自己最不满意的一件事是：
作业
独立完成（ ） 求助后独立完成（ ）
未及时完成（ ） 未完成（ ）
五、课堂小测（约5分钟）
1、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 相等.
2、与这条线段两个端点 相等的点都在它的垂直平分线上．
3、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
已知：
求作：
C●
A B
∴直线 就是所求的垂线.
线段的垂直平分线的性质
一、学生知识状况分析
学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。
二、教学任务分析
在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位：
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果
教学重点、难点
重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应用 ；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。
第一环节：创设情境，引入新课
教师用多媒体演示：
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．
线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”
第二环节：性质探索与证明
教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)． ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
教师用多媒体完整演示证明过程．
第三环节：逆向思维，探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”
写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
引导学生分析证明过程，有如下四种证法：
证法一：
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．
∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴P在AB的垂直平分线上．
从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，
我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．
第四环节：巩固应用
在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。
例题：
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
第五环节：随堂练习
课本P23；习题1.7：第1、2题
第六环节：课堂小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？
第七环节：课后作业
习题l.7 第3、4题
四、教学反思
在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．
课题：
线段垂直平分线的性质
三维 目标
知识与技能
了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．
过程与方法
探究线段垂直平分线的性质
情感态度与价值观
经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察
教学重点：轴对称的性质
教学难点：线段垂直平分线的性质
教学方法与手段：采用“情境──探究”的方法
教学过程：
一．创设情境，引入新课
上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？
今天继续来研究轴对称的性质．
二．导入新课
观看投影并思考．
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．
AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？
△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．
我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
归纳图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…
证明．12999.com
证法一：利用判定两个三角形全等．
如下图，在△APC和△BPC中，
△APC≌△BPC PA=PB.
证法二：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．
带着探究1的结论我们来看下面的问题．
[探究2]
如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
活动：
1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．
2．讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？
探究过程：
1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．
2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．
探究结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
[师]上述探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．
三．随堂练习
课本P62练习 1、2．
教师小结：
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
作业：课本习题13．1─4、5题
板书设计：
13.1.2线段垂直平分线的性质
一、复习：轴对称图形．
二、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．
三、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
四、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．
修订、增减
教学反思：
13.1.2线段的垂直平分线的性质
尊敬的各位评委：
大家好！
今天我说课的内容是人教版《数学》八年级上册第十三章第一节第二课的《线段垂直平分线性质》.下面我就从教材；学生情况；教法与学法；教学过程设计，板书设计这5个方面把我的理解认识说明一下．
教材分析：
1.教材的地位和作用
线段的垂直平分线的性质是在以后的学习中经常要用到的.这部分内容是后续学习的基础, 它是在认识了轴对称性的础上进行的。是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。
?2．教学目标：
知识与技能目标：了解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、计算作用。
过程与方法目标：自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质，培养学生的观察力、实验推理能力。
情感态度与价值观目标：要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美。
3．教学重难点：
线段垂直平分线性质在以后的学习中经常要用到.让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的再发现过程，可增强学生对性质的认识和理解，培养学生多方面的能力.因此我确定本节课的
重点为：探究线段垂直平分线的性质.
难点为：明确线段垂直平分线的性质和判定的区别
二、学情分析
从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。认知状况来说，学生在此之前已经学习了轴对称图形，对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于其性质的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应具体生动，深入浅出的为学生讲解清楚。
三、教法与学法
????? 教法??学法采用引导发现法，教师通过精心设置的一个个问题链，激发学生的求知欲，学生在教师的引导和合作下，通过自主探索，合作交流，发现问题，解决问题。引导学生观察动手测量，猜想小组交流合作探究总结出线段垂直平分线的性质，培养学生善于观察、乐于思考、勤于动手、勇于表达的学习习惯，提高学生的学习能力。
??四、教学过程设计
1、创设情景，引入新课
上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？线段的垂直平分线的定义是什么？
2、活动探究，探索新知
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
探究
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…
你会证明这个性质吗？
反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
以小组为单位进行讨论，让后找学生回答。
在学生回答的基础上，教师进行补充，并总结出线段的垂直平分线的判定方法：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
上述探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．
讲解课本上的例1
3、练习巩固，体验收获
课堂练习：通过习题的解答，让不同的人得到不同的发展，让每一位同学体验学习数学的乐趣，找到自信。且练习的设计充分考虑到了学生的个体差异，练习源于例题，以本为本。例题由老师书，体现示范功能。练习由学生板演，关注学生的数学表达，提供反馈校正的素材。拓广延伸通过讨论交流，实现生生师生互助，丰富情感体验，活跃课堂气氛。
4、课堂小结：
通过本节课的探索研究，你收获到了什么？有何感受？
（设计意图：让学生谈收获，回授到的不仅有知识与技能的达成情况，还有过程的体验、方法的获得以及数学思想方法和情感价值观的形成情况。将“教学反应”型评价和“让学生谈收获的教学反馈”评价相结合，促进学生的自主评价，努力推行成功教育、愉快教育的理念，把握评价的时机与尺度，实现评价主体和形式的多样化，从而激发学生的学习兴趣，激活课堂气氛，使课堂教学达到最佳状态。教师根据情况再进行小结。）
?5、布置作业：
作业分必做题和选做题，体现分层思想。通过作业，内化知识，检验学生掌握知识的情况，发现和弥补教与学中的遗漏与不足。同时，选做题具有前瞻性，可引导学生自学探究，为后一节课的教学做好准备。)
五、板书设计
