17.3.1一次函数 导学案（含答案）
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17.3一次函数
1.一次函数
教学目标
1．理解正比例函数与一次函数的概念．
2．建立一次函数模型．
情景问题引入
按下图所示的方式摆放餐桌和椅子．用x表示餐桌的张数，用y表示可坐人数．
(1)题中有几个变量？
(2)能将其中的一个变量看成是另一个变量的函数吗？如果能，请写出函数解析式；
(3)这个函数解析式有何特点？谈谈你的看法．
[学生用书P35]
一次函数的概念
一次函数：函数表达式用自变量的__一次整式__表示的函数叫做__一次函数__，它的表达式形如__y＝kx＋b__(k、b是常数，且k≠0)．
正比例函数：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当__b＝0__时得y＝kx(k≠0)，叫做正比例函数．
辨 析：正比例函数是特殊的一次函数，如果一个函数是正比例函数，那么它一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
注 意：(1)函数关系式中，等式两边是整式，且有两个变量x、y.一次函数中的“一次”是指自变量x的次数是1，且系数不为0；
(2)自变量的取值范围是全体实数；
(3)实际问题中的一次函数自变量的取值范围要根据实际问题确定. [学生用书P35]
类型之一 一次函数的概念
下列函数：(1)y＝3πx；(2)y＝8x－6；(3)y＝；(4)y＝－8x；(5)y＝5x2－4x＋1中，是一次函数的有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点悟】 一次函数y＝kx＋b的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1.注意正比例函数是特殊的一次函数，不要漏掉y＝3πx，它也是一次函数．
已知函数y＝(k－3)x＋k2－9.
(1)当k取何值时，y是x的一次函数？
(2)当k取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)当k－3≠0时，y是x的一次函数，故k≠3即可．
(2)当k2－9＝0，且k－3≠0时，y是x的正比例函数，故k＝－3时，y是x的正比例函数．
类型之二 建立一次函数模型
我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6 ℃.某时刻，益阳地面温度为20 ℃.设高出地面x千米处的温度为y ℃.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，这时山顶的温度大约是多少？
(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空．若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃，飞机离地面的高度为多少千米？
解：(1)根据题意，得y＝20－6x(x≥0)．
(2)500米＝0.5千米，当x＝0.5时，
y＝20－6x＝20－6×0.5＝17(℃)，
即这时山顶的温度大约是17 ℃.
(3)当飞机外温度为－34 ℃，即y＝－34时，
x＝＝＝9，
即飞机离地面的高度为9千米．
【点悟】 解此类题的关键是找出题目中的等量关系，列出函数关系式，然后代入计算，从而解决问题．
[学生用书P35]
1．下列函数中，y是x的一次函数的是( B )
①y＝x－6；②y＝；③y＝；④y＝7－x.
A．①②③ B．①③④
C．①②③④ D．②③④
2．[2017春·天津期末]下列变量之间的关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是( B )
A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化
B．正方形的周长C随着边长x的变化而变化
C．水箱有水10 L，以0.5 L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V(L)随着放水时间t(min)的变化而变化
D．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化
3．函数y＝mxm－1＋(m－1)是一次函数，则( B )
A．m≠0 B．m＝2
C．m＝2或4 D．m＞2
4．在正比例函数y＝kx中，当x＝2时，y＝1，则k＝____.
[学生用书P36]
1．下列函数，是正比例函数的是( A )
A．y＝－6x B．y＝
C．y＝2x2 D．y＝－0.3x＋1
2．下列说法正确的是( C )
A．一次函数也是正比例函数
B．一个函数不是一次函数就是正比例函数
C．正比例函数也是一次函数
D．一个函数不是正比例函数就不是一次函数
3．如果y＝(m－1)x2－m2＋3是一次函数，那么m的值是( B )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2
4．一个长方形的周长为10 cm，长为x cm，宽为y cm，长方形的宽表示为长的函数是__y＝5－x__．
5．下列各题：
①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
②圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；
③一棵树现在高50 cm，每个月长高2 cm，x个月后这棵树的高度为y(cm)；
④某种大米的单价是2.2元/千克，花费y(元)与购买大米x(千克)之间的关系．
其中y是x的一次函数的是__①③④__(填序号)．
6．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数关系式；
(2)刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的函数关系式；
(3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的函数关系式；
(4)爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的函数关系式．
解：(1)y＝，不是一次函数，也不是正比例函数．
(2)y＝3.6x，是正比例函数，也是一次函数．
(3)y＝－36x＋400，是一次函数，不是正比例函数．
(4)y＝500x＋10 000，是一次函数，不是正比例函数．
7．已知函数y＝(m－10)x＋1－2m.
(1)当m为何值时，这个函数是一次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义可得m－10≠0，
∴m≠10，即m≠10时，这个函数是一次函数．
(2)m＝时，这个函数是正比例函数．
8．[2018·宿迁]某种型号汽车油箱容量为40 L，每行驶100 km耗油10 L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x(km)，行驶过程中油箱内剩余油量为y(L)．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时，油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程．
解：(1)y＝40－×10＝40－0.1x.
(2)∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的.
∴y≥40×＝10，则－0.1x＋40≥10.
∴x≤300，
故该辆汽车最多行驶的路程是300 km.
9．[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－]的函数是正比例函数，则关于x的方程x＋＝的解为( C )
A. B．－ C. D．－
【解析】根据题意，可得y＝x＋m－，
∵“关联数”[1，m－]的函数是正比例函数，
∴m－＝0，解得m＝，则关于x的方程x＋＝变为x＋＝，
解得x＝，
∴关于x的方程x＋＝的解为.
1.一次函数
教学目标
1．理解正比例函数与一次函数的概念．
2．建立一次函数模型．
情景问题引入
按下图所示的方式摆放餐桌和椅子．用x表示餐桌的张数，用y表示可坐人数．
(1)题中有几个变量？
(2)能将其中的一个变量看成是另一个变量的函数吗？如果能，请写出函数解析式；
(3)这个函数解析式有何特点？谈谈你的看法．
[学生用书P35]
一次函数的概念
一次函数：函数表达式用自变量的__一次整式__表示的函数叫做__一次函数__，它的表达式形如__y＝kx＋b__(k、b是常数，且k≠0)．
正比例函数：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当__b＝0__时得y＝kx(k≠0)，叫做正比例函数．
辨 析：正比例函数是特殊的一次函数，如果一个函数是正比例函数，那么它一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
注 意：(1)函数关系式中，等式两边是整式，且有两个变量x、y.一次函数中的“一次”是指自变量x的次数是1，且系数不为0；
(2)自变量的取值范围是全体实数；
(3)实际问题中的一次函数自变量的取值范围要根据实际问题确定. [学生用书P35]
类型之一 一次函数的概念
下列函数：(1)y＝3πx；(2)y＝8x－6；(3)y＝；(4)y＝－8x；(5)y＝5x2－4x＋1中，是一次函数的有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点悟】 一次函数y＝kx＋b的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1.注意正比例函数是特殊的一次函数，不要漏掉y＝3πx，它也是一次函数．
已知函数y＝(k－3)x＋k2－9.
(1)当k取何值时，y是x的一次函数？
(2)当k取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)当k－3≠0时，y是x的一次函数，故k≠3即可．
(2)当k2－9＝0，且k－3≠0时，y是x的正比例函数，故k＝－3时，y是x的正比例函数．
类型之二 建立一次函数模型
我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6 ℃.某时刻，益阳地面温度为20 ℃.设高出地面x千米处的温度为y ℃.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，这时山顶的温度大约是多少？
(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空．若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃，飞机离地面的高度为多少千米？
解：(1)根据题意，得y＝20－6x(x≥0)．
(2)500米＝0.5千米，当x＝0.5时，
y＝20－6x＝20－6×0.5＝17(℃)，
即这时山顶的温度大约是17 ℃.
(3)当飞机外温度为－34 ℃，即y＝－34时，
x＝＝＝9，
即飞机离地面的高度为9千米．
【点悟】 解此类题的关键是找出题目中的等量关系，列出函数关系式，然后代入计算，从而解决问题．
[学生用书P35]
1．下列函数中，y是x的一次函数的是( B )
①y＝x－6；②y＝；③y＝；④y＝7－x.
A．①②③ B．①③④
C．①②③④ D．②③④
2．[2017春·天津期末]下列变量之间的关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是( B )
A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化
B．正方形的周长C随着边长x的变化而变化
C．水箱有水10 L，以0.5 L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V(L)随着放水时间t(min)的变化而变化
D．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化
3．函数y＝mxm－1＋(m－1)是一次函数，则( B )
A．m≠0 B．m＝2
C．m＝2或4 D．m＞2
4．在正比例函数y＝kx中，当x＝2时，y＝1，则k＝____.
[学生用书P36]
1．下列函数，是正比例函数的是( A )
A．y＝－6x B．y＝
C．y＝2x2 D．y＝－0.3x＋1
2．下列说法正确的是( C )
A．一次函数也是正比例函数
B．一个函数不是一次函数就是正比例函数
C．正比例函数也是一次函数
D．一个函数不是正比例函数就不是一次函数
3．如果y＝(m－1)x2－m2＋3是一次函数，那么m的值是( B )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2
4．一个长方形的周长为10 cm，长为x cm，宽为y cm，长方形的宽表示为长的函数是__y＝5－x__．
5．下列各题：
①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
②圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；
③一棵树现在高50 cm，每个月长高2 cm，x个月后这棵树的高度为y(cm)；
④某种大米的单价是2.2元/千克，花费y(元)与购买大米x(千克)之间的关系．
其中y是x的一次函数的是__①③④__(填序号)．
6．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数关系式；
(2)刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的函数关系式；
(3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的函数关系式；
(4)爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的函数关系式．
解：(1)y＝，不是一次函数，也不是正比例函数．
(2)y＝3.6x，是正比例函数，也是一次函数．
(3)y＝－36x＋400，是一次函数，不是正比例函数．
(4)y＝500x＋10 000，是一次函数，不是正比例函数．
7．已知函数y＝(m－10)x＋1－2m.
(1)当m为何值时，这个函数是一次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义可得m－10≠0，
∴m≠10，即m≠10时，这个函数是一次函数．
(2)m＝时，这个函数是正比例函数．
8．[2018·宿迁]某种型号汽车油箱容量为40 L，每行驶100 km耗油10 L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x(km)，行驶过程中油箱内剩余油量为y(L)．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时，油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程．
解：(1)y＝40－×10＝40－0.1x.
(2)∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的.
∴y≥40×＝10，则－0.1x＋40≥10.
∴x≤300，
故该辆汽车最多行驶的路程是300 km.
9．[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－]的函数是正比例函数，则关于x的方程x＋＝的解为( C )
A. B．－ C. D．－
【解析】根据题意，可得y＝x＋m－，
∵“关联数”[1，m－]的函数是正比例函数，
∴m－＝0，解得m＝，则关于x的方程x＋＝变为x＋＝，
解得x＝，
∴关于x的方程x＋＝的解为.