17.3.4 求一次函数的表达式 导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 17.3.4 求一次函数的表达式 导学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-14 13:45:45 | ||
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文档简介
17.3一次函数
4.求一次函数的表达式
教学目标
1．能用待定系数法求一次函数的表达式．
2．能用一次函数解决实际问题．
情景问题引入
1．利用简便方法画函数y＝2x的图象时一般选取哪几个点？为什么？
2．利用简便方法画一次函数y＝x－3的图象时，一般选取几个点？为什么？
反过来，如果告诉我们正比例函数、一次函数的图象经过的两个点，能否确定函数解析式呢？这将是我们这节课要解决的主要问题，让我们一起去探索吧！
[学生用书P44]
用待定系数法求一次函数的表达式
待定系数法：先设待求的函数关系式(其中含有未知的系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．
步 骤：(1)设出待求的一次函数关系式；
(2)把已知条件__代入函数关系式__得到__方程(或方程组)__；
(3)解__方程(或方程组)__求出待定系数的值，从而写出函数关系式．
[学生用书P44]
类型之一 用待定系数法求一次函数的表达式
[2018·双鸭山期末]已知一次函数的图象经过点A(2，1)、B(－1，－3)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；
(3)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b.
由题意，得解得
故一次函数的解析式为y＝x－.
(2)根据一次函数的解析式y＝x－，
得到当y＝0，x＝；
当x＝0时，y＝－.
所以与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为(0，－)．
(3)由(2)可得与x轴、y轴的交点坐标分别为(，0)和(0，－)，因此该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是××＝.
类型之二 生活中的一次函数模型
小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进，在出发2 h时，两人相距36 km，在出发3 h时，两人相遇．设骑行的时间为x(h)，两人之间的距离为y(km)，图中的线段AB表示两人从出发到相遇这个过程中y与x之间的函数关系．
(1)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
(2)求甲、乙两地之间的距离．
解：(1)设线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
根据题意，得解得
所以y与x之间的函数关系式为y＝－36x＋108.
(2)把x＝0代入y＝－36x＋108，可得y＝108，所以甲、乙两地的距离为108 km.
类型之三 分段函数的应用
为响应环保组织提出的“低碳生活”的号召，李明决定不开汽车而改骑自行车上班．有一天，李明骑自行车从家里到工厂上班，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，车修好后继续骑行，直至到达工厂(假设在骑自行车过程中匀速行驶)．李明离家的距离y(米)与离家时间x(分)的关系如图所示：
(1)李明从家出发到出现故障时的速度为__200__米/分；
(2)李明修车用时__5__分钟；
(3)求线段BC所对应的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围).
解：(3)设线段BC的关系式为y＝kx＋b，过点(25，4 000)和(20，3 000)．
依题意，得
解得k＝200，b＝－1 000，所以解析式为y＝200x－1 000.
【点悟】 本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式．要会用一次函数研究实际问题，并具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
[学生用书P44]
1．如图，某正比例函数的图象过点M(－2，1)，则此正比例函数的表达式为( A )
A．y＝－x B．y＝x
C．y＝－2x D．y＝2x
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，直线l的表达式是( A )
A．y＝x＋2 B．y＝－2x＋2
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
3．若直线y＝kx＋b过点(0，1)和(2，0)，则( C )
A．k＝，b＝1 B．k＝，b＝－1
C．k＝－，b＝1 D．k＝－，b＝－1
4．弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系图象如图所示，由图象可知不挂物体时弹簧的长度为__10__ cm.
[学生用书P45]
1．若点(3，1)在一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象上，则k的值是( D )
A．5 B．4 C．3 D．1
2．若一次函数的图象经过点A(0，－2)和点B(2，0)，则这个函数的表达式是( C )
A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
3．已知一次函数的图象过点(3，5)和(－4，－9)，则该函数的图象与y轴交点的坐标为__(0，－1)__．
4．[2017·高邑县期中]已知一次函数的图象经过点(3，2)和(1，4)．
(1)画出此函数的图象；
(2)求此一次函数的表达式；
(3)若此函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求线段AB的长．
解：(1)如答图所示：
答图
(2)设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意可知
解得
故此函数的表达式为y＝－x＋5.
(3)由函数的表达式为y＝－x＋5得点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，5)，即OA＝5，OB＝5，
在Rt△OAB中，由勾股定理得AB＝＝5.
5．[2017·杭州]在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k、b都是常数，且k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．
(1)当－2＜x≤3时，求y的取值范围；
(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标．
解：(1)由题意知y＝kx＋2，
∵图象过点(1，0)，∴0＝k＋2，解得k＝－2，
∴y＝－2x＋2.
当x＝－2时，y＝6；当x＝3时，y＝－4.
∵k＝－2<0，∴函数值y随x的增大而减小，
∴－4≤y<6.
(2)根据题意知解得
∴点P的坐标为(2，－2)．
6．[2017·大庆]某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系，如图所示．
(1)求每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式；
(2)已知某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？
解：(1)由题意知，y关于x的函数是一次函数，经过点(0，70)和点(30，100)．设函数关系式为y＝kx＋b，将两点代入得
解得
∴函数关系式为y＝x＋70.
(2)依题意，得x＋70≥110，即x≥40，所以他至少要派送40件，才能保证日收入不低于110元.
7．[2018·重庆B卷]一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校．小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲．妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来的一半．小玲继续以原速度步行前往学校．妈妈与小玲之间的距离y(米)与小玲从家出发后步行的时间x(分)之间的函数关系如图所示(小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计)．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为__200__米．
【解析】由图可知：玲玲用30分钟从家里步行到距家1 200米的学校，因此玲玲的速度为40米/分；妈妈在玲玲步行10分钟后从家出发，用5分钟追上玲玲，因此妈妈的速度为40×15÷5＝120(米/分)，返回家的速度为120÷2＝60(米/分)．设妈妈用x分钟返回到家里，则60x＝40×15，解得x＝10，此时玲玲已行走了25分钟，共步行25×40＝1 000米，还离学校1 200－1 000＝200(米)．
8．[2018·上海]一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式(不需要写x的取值范围)；
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油．在此行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
解：(1)设一次函数的关系式是y＝kx＋b.由图象知，点(0，60)与点(150，45)在一次函数图象上，将其代入，得解得∴y关于x的函数关系式是y＝－x＋60.
(2)当y＝8时，y＝－x＋60＝8，解得x＝520.
30－(520－500)＝10(千米)．
∴汽车开始提示加油时，离加油站的路程是10千米．
9．[2018·淮安]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
(1)求k、b的值；
(2)若点D在y轴的负半轴上，且满足S△COD＝S△BOC，求点D的坐标．
解：由点C在y＝3x上得点C的坐标为(1，3)．
由点A、C在y＝kx＋b得解得k＝－1，b＝4.
(2)一次函数的解析式为y＝－x＋4，可得B(4，0)．由图可求得，S△BOC＝×3×4＝6，
所以S△COD＝S△BOC＝2，
即S△COD＝×1×|OD|＝2，
所以|OD|＝4，
即点D的坐标为(0，－4)．
10．[2017·义乌]某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数，其图象如图所示．
(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
(2)求当x>18时， y关于x的函数表达式．若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
解：(1)45元．
(2)因81元＞45元，故用水量超过18立方米．
设函数表达式为y＝kx＋b(x>18)，
∵直线y＝kx＋b过点(18，45)、(28，75)，
∴解得
∴y＝3x－9(x>18)，
∴当y＝81时，3x－9＝81，解得x＝30.
所以，这个月用水量为30立方米．
11．[2018·长春]某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某一时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口，储存罐内的水泥量y(立方米)与时间x(分)之间的部分函数图象如图所示．
(1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量；
(2)当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式；
(3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是__1__立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为__11__分钟．
解：(1)每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3＝5立方米；
(2)设解析式为y＝kx＋b，该函数经过(3，15)和(5.5，25)两点，
则解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝4x＋3(3≤x≤5.5)．
(3)当0≤x≤3时，储存罐每分钟增加5立方米，当3≤x≤5.5时，储存罐每分钟增加4立方米，则储存罐每分钟向运输车输出的水泥量为5－4＝1立方米．
只打开输出口前，水泥输出量为5.5－3＝2.5立方米，之后达到总量8立方米需要输出8－2.5＝5.5立方米，用时5.5分钟，故从打开输入口到关闭输出口共用的时间为5.5＋5.5＝11(分钟)．
4.求一次函数的表达式
教学目标
1．能用待定系数法求一次函数的表达式．
2．能用一次函数解决实际问题．
情景问题引入
1．利用简便方法画函数y＝2x的图象时一般选取哪几个点？为什么？
2．利用简便方法画一次函数y＝x－3的图象时，一般选取几个点？为什么？
反过来，如果告诉我们正比例函数、一次函数的图象经过的两个点，能否确定函数解析式呢？这将是我们这节课要解决的主要问题，让我们一起去探索吧！
[学生用书P44]
用待定系数法求一次函数的表达式
待定系数法：先设待求的函数关系式(其中含有未知的系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．
步 骤：(1)设出待求的一次函数关系式；
(2)把已知条件__代入函数关系式__得到__方程(或方程组)__；
(3)解__方程(或方程组)__求出待定系数的值，从而写出函数关系式．
[学生用书P44]
类型之一 用待定系数法求一次函数的表达式
[2018·双鸭山期末]已知一次函数的图象经过点A(2，1)、B(－1，－3)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；
(3)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b.
由题意，得解得
故一次函数的解析式为y＝x－.
(2)根据一次函数的解析式y＝x－，
得到当y＝0，x＝；
当x＝0时，y＝－.
所以与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为(0，－)．
(3)由(2)可得与x轴、y轴的交点坐标分别为(，0)和(0，－)，因此该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是××＝.
类型之二 生活中的一次函数模型
小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进，在出发2 h时，两人相距36 km，在出发3 h时，两人相遇．设骑行的时间为x(h)，两人之间的距离为y(km)，图中的线段AB表示两人从出发到相遇这个过程中y与x之间的函数关系．
(1)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
(2)求甲、乙两地之间的距离．
解：(1)设线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
根据题意，得解得
所以y与x之间的函数关系式为y＝－36x＋108.
(2)把x＝0代入y＝－36x＋108，可得y＝108，所以甲、乙两地的距离为108 km.
类型之三 分段函数的应用
为响应环保组织提出的“低碳生活”的号召，李明决定不开汽车而改骑自行车上班．有一天，李明骑自行车从家里到工厂上班，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，车修好后继续骑行，直至到达工厂(假设在骑自行车过程中匀速行驶)．李明离家的距离y(米)与离家时间x(分)的关系如图所示：
(1)李明从家出发到出现故障时的速度为__200__米/分；
(2)李明修车用时__5__分钟；
(3)求线段BC所对应的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围).
解：(3)设线段BC的关系式为y＝kx＋b，过点(25，4 000)和(20，3 000)．
依题意，得
解得k＝200，b＝－1 000，所以解析式为y＝200x－1 000.
【点悟】 本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式．要会用一次函数研究实际问题，并具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
[学生用书P44]
1．如图，某正比例函数的图象过点M(－2，1)，则此正比例函数的表达式为( A )
A．y＝－x B．y＝x
C．y＝－2x D．y＝2x
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，直线l的表达式是( A )
A．y＝x＋2 B．y＝－2x＋2
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
3．若直线y＝kx＋b过点(0，1)和(2，0)，则( C )
A．k＝，b＝1 B．k＝，b＝－1
C．k＝－，b＝1 D．k＝－，b＝－1
4．弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系图象如图所示，由图象可知不挂物体时弹簧的长度为__10__ cm.
[学生用书P45]
1．若点(3，1)在一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象上，则k的值是( D )
A．5 B．4 C．3 D．1
2．若一次函数的图象经过点A(0，－2)和点B(2，0)，则这个函数的表达式是( C )
A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
3．已知一次函数的图象过点(3，5)和(－4，－9)，则该函数的图象与y轴交点的坐标为__(0，－1)__．
4．[2017·高邑县期中]已知一次函数的图象经过点(3，2)和(1，4)．
(1)画出此函数的图象；
(2)求此一次函数的表达式；
(3)若此函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求线段AB的长．
解：(1)如答图所示：
答图
(2)设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意可知
解得
故此函数的表达式为y＝－x＋5.
(3)由函数的表达式为y＝－x＋5得点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，5)，即OA＝5，OB＝5，
在Rt△OAB中，由勾股定理得AB＝＝5.
5．[2017·杭州]在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k、b都是常数，且k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．
(1)当－2＜x≤3时，求y的取值范围；
(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标．
解：(1)由题意知y＝kx＋2，
∵图象过点(1，0)，∴0＝k＋2，解得k＝－2，
∴y＝－2x＋2.
当x＝－2时，y＝6；当x＝3时，y＝－4.
∵k＝－2<0，∴函数值y随x的增大而减小，
∴－4≤y<6.
(2)根据题意知解得
∴点P的坐标为(2，－2)．
6．[2017·大庆]某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系，如图所示．
(1)求每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式；
(2)已知某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？
解：(1)由题意知，y关于x的函数是一次函数，经过点(0，70)和点(30，100)．设函数关系式为y＝kx＋b，将两点代入得
解得
∴函数关系式为y＝x＋70.
(2)依题意，得x＋70≥110，即x≥40，所以他至少要派送40件，才能保证日收入不低于110元.
7．[2018·重庆B卷]一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校．小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲．妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来的一半．小玲继续以原速度步行前往学校．妈妈与小玲之间的距离y(米)与小玲从家出发后步行的时间x(分)之间的函数关系如图所示(小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计)．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为__200__米．
【解析】由图可知：玲玲用30分钟从家里步行到距家1 200米的学校，因此玲玲的速度为40米/分；妈妈在玲玲步行10分钟后从家出发，用5分钟追上玲玲，因此妈妈的速度为40×15÷5＝120(米/分)，返回家的速度为120÷2＝60(米/分)．设妈妈用x分钟返回到家里，则60x＝40×15，解得x＝10，此时玲玲已行走了25分钟，共步行25×40＝1 000米，还离学校1 200－1 000＝200(米)．
8．[2018·上海]一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式(不需要写x的取值范围)；
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油．在此行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
解：(1)设一次函数的关系式是y＝kx＋b.由图象知，点(0，60)与点(150，45)在一次函数图象上，将其代入，得解得∴y关于x的函数关系式是y＝－x＋60.
(2)当y＝8时，y＝－x＋60＝8，解得x＝520.
30－(520－500)＝10(千米)．
∴汽车开始提示加油时，离加油站的路程是10千米．
9．[2018·淮安]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
(1)求k、b的值；
(2)若点D在y轴的负半轴上，且满足S△COD＝S△BOC，求点D的坐标．
解：由点C在y＝3x上得点C的坐标为(1，3)．
由点A、C在y＝kx＋b得解得k＝－1，b＝4.
(2)一次函数的解析式为y＝－x＋4，可得B(4，0)．由图可求得，S△BOC＝×3×4＝6，
所以S△COD＝S△BOC＝2，
即S△COD＝×1×|OD|＝2，
所以|OD|＝4，
即点D的坐标为(0，－4)．
10．[2017·义乌]某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数，其图象如图所示．
(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
(2)求当x>18时， y关于x的函数表达式．若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
解：(1)45元．
(2)因81元＞45元，故用水量超过18立方米．
设函数表达式为y＝kx＋b(x>18)，
∵直线y＝kx＋b过点(18，45)、(28，75)，
∴解得
∴y＝3x－9(x>18)，
∴当y＝81时，3x－9＝81，解得x＝30.
所以，这个月用水量为30立方米．
11．[2018·长春]某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某一时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口，储存罐内的水泥量y(立方米)与时间x(分)之间的部分函数图象如图所示．
(1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量；
(2)当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式；
(3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是__1__立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为__11__分钟．
解：(1)每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3＝5立方米；
(2)设解析式为y＝kx＋b，该函数经过(3，15)和(5.5，25)两点，
则解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝4x＋3(3≤x≤5.5)．
(3)当0≤x≤3时，储存罐每分钟增加5立方米，当3≤x≤5.5时，储存罐每分钟增加4立方米，则储存罐每分钟向运输车输出的水泥量为5－4＝1立方米．
只打开输出口前，水泥输出量为5.5－3＝2.5立方米，之后达到总量8立方米需要输出8－2.5＝5.5立方米，用时5.5分钟，故从打开输入口到关闭输出口共用的时间为5.5＋5.5＝11(分钟)．