17.4.2反比例函数的图象和性质 导学案（含答案）

17.4反比例函数
2.反比例函数的图象和性质
教学目标
1．进一步熟悉作函数图象的步骤，掌握反比例函数图象的作法．
2．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索、总结反比例函数的性质．
情景问题引入
(1)画函数图象的方法是什么？其一般步骤有哪些？应注意什么？
(2)一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象是什么？
(3)类比一次函数和二次函数图象的画法，你能画出反比例函数y＝的图象吗？
[学生用书P53]
1．反比例函数图象的画法
步　　骤：__列表__、__描点__、__连线__．
注　　意：(1)列表时，自变量的值应对称地选取绝对值相等而符号相反的数值，这样既便于计算，又易于描点．列表时尽可能多取一些数值，描的点越多，连结就越方便；
(2)连线时，必须用光滑的曲线顺次连结各点；
(3)反比例函数图象由断开的两支曲线组成，与x轴、y轴没有交点．
2．反比例函数y＝的图象和性质
图　　象：双曲线，且关于原点成中心对称．
性　　质：(1)当k＞0时，函数的图象在第__一、三__象限，在每个象限内，曲线从左向右__下降__，也就是在每个象限内，y随x的增大而__减小__；
(2)当k＜0时，函数的图象在第__二、四__象限，在每个象限内，曲线从左向右__上升__，也就是在每个象限内，y随x的增大而__增大__．
注　　意：反比例函数的增减性是指在同一象限内的增减性．
[学生用书P53]
类型之一　画反比例函数的图象
　作出反比例函数y＝的图象．
解：列表：
x
－8
－4
－2
－1
1
2
4
8
y
－
－1
－2
－4
4
2
1

答图
描点：以表中各对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即得函数y＝的图象(如答图)．
【点悟】 画反比例函数图象时，需根据列表、描点、连线三个步骤进行，且不同于一次函数只需描出两点，反比例函数作图象时要尽可能多地描点，同时一定要用光滑的曲线连结，还不能与x轴、y轴有交点．
类型之二　反比例函数的性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　[2018·天津]若点A(x1，－6)、B(x2，－2)、C(x3，2)在反比例函数y＝的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是(　B　)
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3
C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1
【解析】把点A(x1，－6)、B(x2，－2)、C(x3，2)分别代入y＝可得x1、x2、x3，即可得x2＜x1＜x3，故选B.
【点悟】 函数图象体现出函数的性质，运用图象研究其性质，直观明了．
类型之三　反比例函数的应用
　环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
解：(1)分情况讨论：
①当0≤x≤3时，
设线段AB对应的函数表达式为y＝kx＋b.
把A(0，10)、B(3，4)代入，
得
解得
∴y＝－2x＋10.
②当x＞3时，设y＝.把(3，4)代入，
得m＝3×4＝12，∴y＝.
综上所述：y＝
(2)能．理由如下：
令y＝＝1，则x＝12＜15，
故能在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L.
【点悟】 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
[学生用书P53]
1．[2018·海南]已知反比例函数y＝的图象经过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于(　D　)
A．第二、三象限 B．第一、三象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
2．[2018·绥化]已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是(　D　)
A．其图象经过点(3，1)
B．其图象分别位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y＞3
3．[2017·河南]已知点A(1，m)、B(2，n)在反比例函数y＝－的图象上，则m与n的大小关系为__m4．[2017·绥化]已知反比例函数y＝，当x>3时，y的取值范围是__0 [学生用书P54]
1．[2018·无锡]已知点P(a，m)、点Q(b，n)都在反比例函数y＝－的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是(　D　)
A．m＋n＜0 B．m＋n＞0
C．m＜n D．m＞n
2．已知函数y＝的图象如图所示，以下结论：①m<0；②在每一个分支上，y随x的增大而增大；③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，则aA．4 B．3 C．2 D．1
3．[2018·东营]如图，B(3，－3)，C(5，0)，以OC、CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为__y＝__．
4．[2018·上海]已知反比例函数y＝(k是常数，k≠1)的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是__k<1__．
5．[2017·随州]如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P(x1，y1)、Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1>y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由．
解：(1)由题意得，A(－2，0)，AB＝，AB∥y轴，
∴B(－2，)．
∵反比例函数y＝的图象经过点B，∴k＝－3.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
(2)点P在第二象限，点Q在第四象限．
∵k＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大．
又∵x1＜x2时，y1＞y2，∴x1＜0＜x2.
∴点P在第二象限，点Q在第四象限．
6．[2018·怀化]函数y＝kx－3与y＝(k≠0)在同一坐标系内的图象可能是(　B　)
,A) ,B)
,C) ,D)
7．[2018·临沂]如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1，当y1＜y2时，x的取值范围是(　D　)
A．x＜－1或x＞1
B．－1＜x＜0或x＞1
C．－1＜x＜0或0＜x＜1
D．x＜－1或0＜x＜1
8．[2018·南充]如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝(m≠0)交于点A(－，2)、B(n，－1)．
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)点P在x轴上，若S△ABP＝3，求点P的坐标．
解：(1)∵点A(－，2)在y＝上，∴2＝，∴m＝－1，∴y＝－，∴B(1，－1)．
又∵y＝kx＋b经过A、B两点，∴
解得∴y＝－2x＋1.
(2)y＝－2x＋1与x轴的交点C的坐标为(，0)，
S△ABP＝S△ACP＋ S△BCP＝×2·CP＋×1·CP＝3，解得CP＝2.
∴点P的坐标为(，0)或(－，0)．
9．如图，一次函数y＝－x＋的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小，并求出其最小值和点P的坐标．
,)　　,答图)
解：作点A关于y轴的对称点A′，连结A′B，交y轴于点P，则PA＋PB最小．
由解得或
∴A(1，2)，B(4，)，
∴A′(－1，2)，最小值A′B＝＝.
设直线A′B的解析式为y＝mx＋n，
则解得
∴直线A′B的解析式为y＝－x＋，
∴当x＝0时，y＝，
∴点P的坐标为(0，)．
10．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时后(包括1.5小时)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用反比例函数 y＝(k＞0) 刻画(如图所示)．
(1)当x＝5时，y＝45，求k的值；
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
解：(1)∵当x＝5时，y＝45，y＝(k＞0)，
∴k＝xy＝45×5＝225.
(2)不能驾车上班．理由：
∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11个小时，
∴将x＝11代入y＝，得y＝＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班.