第17章 函数及其图象
17.1变量与函数
第1课时 变量与函数
教学目标
1．理解常量与变量．
2．理解函数的概念，掌握函数表示法．
情景问题引入
大千世界万物皆变！汽车行驶里程随行驶时间而变化；行星在宇宙中的位置随时间而变化；人体细胞的个数随年龄而变化；气温随海拔而变化……生活中充满着许许多多变化的量．
你了解这些变化的量之间的关系吗？了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界，而函数是刻画变化的量之间关系的常用模型，从这章开始我们就来研究这些问题．
[学生用书P22]
1．变量与常量
变 量：在某一个变化过程中，__可以取不同数值__的量，叫做变量．
常 量：在某一个变化过程中，__取值始终保持不变__的量，叫做常量．
2．函数的概念
函 数：如果在一个__变化过程__中，有两个变量，例如x和y，对于x的__每一个值__，y都有__唯一的值__与之对应，那么y就叫做x的函数．x是自变量，y是因变量．
3．函数关系的表示方法
方 法：__解析法__、__列表法__、__图象法__．
说 明：(1)解析法是用数学式子表示函数关系的方法；
(2)列表法是通过表格来表示函数关系的方法；
(3)图象法是通过图象表示函数关系的方法．
[学生用书P22]
类型之一 常量与变量
在圆的周长C＝2πr中，常量与变量分别是( B )
A．2是常量，C，π，r是变量
B．2，π是常量，C，r是变量
C．C，2是常量，r是变量
D．2是常量，C，r是变量
【点悟】 根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量作判断．
类型之二 函数的概念
下列式子中，y是x的函数的个数有( C )
①y＝1；②y＝x2；③y2＝x；④y＝|x|；⑤y＝；⑥y＝2x.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
类型之三 函数的三种表示方法
在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当所挂物体质量为3千克，弹簧多长？不挂重物时呢？
(3)若所挂重物为7千克时(在允许范围内)，你能说出此时的弹簧长度吗？
解：(1)上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量．
(2)当所挂物体质量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米．
(3)根据上表可知，所挂重物为7千克时(在允许范围内)时的弹簧长度＝18＋2×7＝32(厘米)．
[学生用书P22]
1．小明给在北京的姑姑打电话，电话费随时间的变化而变化．在这个问题中，因变量是( B )
A．时间 B．电话费
C．电话 D．距离
2．在圆的面积公式S＝πr2中，变量是__S，r__，常量是__π__．
3．小强在校秋季田径运动会100 m比赛中，平均速度为v＝，其中__v，t__是变量，__v__随着__t__的变化而变化，__t__是自变量，__v__是__t__的函数．
4．烧开水时，水温与时间的关系如下表所示：
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
水温/℃
5
11
19
30
42
55
70
85
95
100
…
这个表格反映了变量__水温__与__时间__之间的关系，其中__时间__是自变量，__水温__是因变量．
[学生用书P23]
1．以21 m/s的速度向上抛一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的时间t(s)之间的关系是h＝21t－4.9 t2.下列说法正确的是( B )
A．4.9是常量，21，t，h是变量
B．21，4.9是常量，t，h是变量
C．t，h是常量，21，4.9是变量
D．t，h是常量，4.9是变量
2．某超市某种商品的单价为70元/件，若买x件该商品的总价为y元，则其中的常量是( A )
A．70 B．x
C．y D．不确定
3．[2017·德州]公式L＝L0＋kP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度．L0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，k表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是( A )
A．L＝10＋0.5P B．L＝10＋5P
C．L＝80＋0.5P D．L＝80＋5P
4．设路程为s(km)，速度为v(km/h)，时间为t(h)．当s＝50时，t＝，在这个函数关系式中( D )
A．s是常量，t是s的函数
B．v是常量，t是v的函数
C．t和v是变量，v是t的函数
D．s是常量，v是自变量，t是v的函数
5．下列变量间的关系不是函数关系的是( C )
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
6．[2017·扬州]同一温度的华氏度数y(?)与摄氏度数x(℃)之间的函数表达式是y＝x＋32.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数是__－40__℃.
7．某校举行校园歌手大奖赛，参加决赛的6名选手最后取得的成绩如下表所示：
选手序号
1
2
3
4
5
6
成绩
97.7
98.4
96.5
97.3
96.5
98.1
下面的两个说法：
①成绩是序号的函数；
②序号是成绩的函数．
其中正确的是__①__(填序号)．
8．指出下列函数关系式中的常量、自变量、因变量和函数．
(1)V＝πR2h(R为已知数)；
(2)h＝v0t－2.1t2(v0为已知数)．
解：(1)π，R为常量，h是自变量，V是因变量，V是h的函数；
(2)v0，2.1是常量，t是自变量，h是因变量，h是t的函数．
9．已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与用铝量有如下关系：
底面半径x/cm
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
用铝量y/cm3
6.9
6.0
5.6
5.5
5.7
6.0
6.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当易拉罐底面半径为2.4 cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．
(4)粗略说一说易拉罐底面半径对所需用铝量的影响．
解：(1)上表反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量．
(2)当底面半径为2.4 cm时，易拉罐的用铝量为5.6 cm3.
(3)易拉罐底面半径为2.8 cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低．
(4)当易拉罐底面半径在1.6～2.8 cm间变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0 cm间变化时，用铝量随半径的增大而增大．
10．我们把y(x)和y(－x)不相等的函数称为奇函数．看下面一道例题求证：
例题：已知y＝3x＋3，求证y＝3x＋3的奇偶性．
解：y(x)＝3x＋3，y(－x)＝－3x＋3，
∵y(x)≠y(－x)，∴y＝3x＋3为奇函数．
已知y＝3x2＋2x－1，判断y＝3x2＋2x－1的奇偶性，并说明理由．
解： y＝3x2＋2x－1为奇函数．理由如下：
y(x)＝3x2＋2x－1，
y(－x)＝3(－x)2＋2(－x)－1＝3x2－2x－1.
∵y(x)≠y(－x)，
∴y＝3x2＋2x－1为奇函数．
17.1 变量与函数
第2课时 函数自变量的取值范围
教学目标
理解自变量取值范围的意义，会求自变量的取值范围．
情景问题引入
请出两位同学，一位同学拿弹簧秤，另一位同学在弹簧秤上加砝码．在这个问题中变化的量有哪些？不变的量有哪些？变化的量之间又有怎样的关系呢？
[学生用书P24]
自变量的取值范围
注 意：(1)自变量的取值必须使含自变量的表达式有意义；
(2)实际问题中，自变量的取值必须使实际问题有意义．
方 法：(1)当表达式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
(2)当表达式是分式且分母中含自变量时，解不等式(分母不等于0)；
(3)当表达式是二次根式，且被开方数中含自变量时，解不等式(被开方数大于或等于0)．
[学生用书P24]
类型之一 函数自变量的取值范围
求下列函数的自变量的取值范围．
(1)y＝x2＋5;
(2)y＝；
(3)y＝.
解：(1)x是任意实数．
(2)根据题意，得x＋4≠0，则x≠－4.
(3)x是任意实数．
【点悟】 (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0.
类型之二 函数值
在地球某地，温度T(℃)与高度d(m)的关系可近似地用T＝10－来表示，则当高度d＝900 m时，温度T为( A )
A．4 ℃ B．3 ℃
C．2 ℃ D．1 ℃
类型之三 求函数关系式
如图，点P是长方形ABCD的AB边上一动点，连结CP.已知AB＝10 cm，AD＝4 cm，AP＝x cm，梯形APCD的面积为y cm2，那么以x为自变量时．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当AP＝5 cm时，梯形APCD的面积是多少？
解：(1)y＝(10＋x)·4＝2x＋20，
其中0＜x＜10.
(2)当x＝5时，y＝2×5＋20＝30，
即当AP＝5 cm时，梯形APCD的面积为30 cm2.
【点悟】 从实际问题中列出函数关系式后，要依据自变量的实际意义，指明自变量的取值范围．题中点P在AB上移动，当点P不与点A重合，也不与点B重合时，四边形APCD才为梯形．
[学生用书P24]
1．[2018·无锡]函数y＝中自变量x的取值范围是( B )
A．x≠－4 B．x≠4
C．x≤－4 D．x≤4
2．已知函数y＝3x－1，当x＝3时，y的值是( C )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．汽车由A地驶往相距120 km的B地，它的平均速度是30 km/h，则汽车距B地路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是( A )
A．s＝120－30t(0≤t≤4)
B．s＝120－30t(t＞0)
C．s＝30t(0≤t≤40)
D．s＝30t(t＜4)
4．小张已存有50元，从现在起每个月存12元．设x个月后小张的存款数为y元，试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．当x＝6时，函数值是多少？
解：y＝50＋12x，当x＝6时，y＝122.
[学生用书P25]
1．[2018·黄冈]函数y＝中自变量x的取值范围是( A )
A．x≥－1且x≠1 B．x≥－1
C．x≠1 D．－1≤x＜1
2．若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是( D )
A．y＝60－2x(0＜x＜60)
B．y＝60－2x(0＜x＜30)
C．y＝(60－x)(0＜x＜60)
D．y＝(60－x)(0＜x＜30)
3．寄一封质量在20 g以内的平信，邮寄费为0.8元，试写出寄n封这样的平信所需邮寄费y(元)与n(封)之间的函数关系式是__y＝0.8n__；当n＝15时，函数值为__12__，它的实际意义是__寄15封质量在20__g以内的平信需邮寄费12元__．
4．火车从上海驶往相距1 260千米的北京，它的平均速度是120千米/时，则火车距北京的路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数关系式为__s＝1__260－120t__，其中自变量t的取值范围是__0≤t≤10.5__．
5．求下列函数中自变量的取值范围．
(1)y＝2x2－3；
(2)y＝－(x－3)＋(x－3)0；
(3)y＝x－2＋(x－2)－1.
解：(1)x取全体实数．
(2)x－3≠0，解得x≠3.
(3)x≠0且x－2≠0，解得x≠0且x≠2.
6．分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围．
(1)学校食堂现库存粮食21 000 kg，平均每天用粮食200 kg，求库存粮食y(kg)与食用的天数x(天)之间的函数关系式；
(2)一根弹簧原长12 cm，每挂1 kg的物体，就伸长0.5 cm.已知弹簧所挂物体的质量不能超过20 kg，求弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式；
(3)为庆祝建校80周年，学校组织合唱汇演，八年级共站成10排，第一排10人，后面每排比前排多1人，求每排人数m与这排的排数n之间的函数关系式．
解：(1)y＝21 000－200x(0≤x≤105)；
(2)y＝12＋0.5x(0≤x≤20)；
(3)m＝9＋n(1≤n≤10，且n为整数)．
7．已知两个变量x，y之间的关系如图所示．
(1)求当x分别取0，，3时函数y的值；
(2)求当y分别取0，，3时自变量x的值．
解：(1)当x＝0时，y＝0＋1＝1.
当x＝时，y＝＝.
当x＝3时，y＝3－1＝2.
(2)当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1.
当y＝时，分三种情况讨论：
①x＋1＝，解得x＝.
②＝，解得x＝.
③x－1＝，解得x＝.
当y＝3时，x－1＝3，解得x＝4.
8．如图，在边长为2的正方形ABCD的一边BC上有一点P从点B运动到点C.设BP＝x，四边形APCD的面积为y.
(1)写出y与x之间的关系式，并求出x的取值范围；
(2)当x为何值时，四边形APCD的面积为3?
解：(1)y＝×2×(2－x＋2)＝4－x(0≤x＜2)．
(2)由题意，得3＝4－x，解得x＝1，
当x＝1时，四边形APCD的面积为3.
