17.2 函数的图象
第1课时 函数的图象
教学目标
1．了解函数图象的意义．
2．掌握画函数图象的方法．
情景问题引入
大家都听过寓言故事《龟兔赛跑》，甲、乙两个图哪一个比较符合传统寓言故事《龟兔赛跑》中所表述的情节？
,甲) ,乙)
[学生用书P29]
1．函数的图象
函数的图象：由平面直角坐标系中的一系列点组成，图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的__一对对应值__，它的横坐标x表示__自变量__的某一个值，纵坐标y表示与它对应的__函数值__．
注 意：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线等．
2．画函数的图象
方 法：描点法．
步 骤：(1)列表：首先弄清自变量的取值范围，在自变量取值范围内取值．一般地，把自变量x的值放在表的第一行，其值从左到右，从小到大；
(2)描点：把关键点准确地描出，点取得越多，图象就越准确；
(3)连线：按自变量由小到大的顺序，用光滑曲线把所描的点连起来．
[学生用书P29]
类型之一 用描点法画函数图象
画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1； (2)y＝－.
解：(1)先列表，再描点，最后连线，画图略．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x＋1
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
(2)先列表，再描点，最后连线．
函数图象分布在第二、四象限，画图略．
x
…
－6
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
6
…
y＝－
…
1
1.5
2
3
6
－6
－3
－2
－1.5
－1
…
【点悟】 利用描点法画函数的图象，所取的点越多，图象就越准确．函数y＝x＋1的图象是一条直线，y＝－的图象是分布在两个不同象限的曲线．
类型之二 画实际问题中的函数图象
答图
某校办工厂今年的年产值为10万元，计划今后每年增加1万元．
(1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象．
解：(1)y＝x＋10(x≥0)；
(2)列表、描点、连线．函数图象为一条射线，如答图所示．
【点悟】 画函数图象时要注意自变量的取值范围．本题自变量x≥0，画出的函数图象应是一条射线，而不是一条线段或直线．
[学生用书P29]
1．下列各坐标表示的点中，在函数y＝x3＋1的图象上的是( C )
A．(－1，－2) B．(－1，4)
C．(1，2) D．(1，4)
2．下列说法中不正确的是( C )
A．解析法、列表法、图象法都可以表示函数关系
B．点(m，m＋1)在函数y＝x＋1的图象上
C．若点(a，4)在函数y＝x2的图象上，则a＝2
D．函数y＝x的图象是一条直线
3．[2018·呼和浩特]二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼的长短时长密切相关，当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．根据下图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气( D )
A．惊蛰 B．小满 C．立秋 D．大寒
[学生用书P30]
1．[2017·泸州]下列曲线中不能表示y是x的函数的是( C )
,A B C D )
2．周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的国旗，能大致反映其高度与时间关系的是( D )
A B C D
3．[2018·义乌]如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A(－1，2)、B(1，3)、C(2，1)、D(6，5)，则此函数( A )
A．当x＜1时，y随x的增大而增大
B．当x＜1时，y随x的增大而减小
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
4．已知点P(2，m)是函数y＝2x＋5的图象上一点，则m＝__9__．
5．画出下列函数的图象．
(1)y＝x＋2； (2)y＝(x>0)．
解：(1)列表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y＝x＋2
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
函数图象如答图1所示；
(2)列表：
x
1
2
3
4
y＝(x>0)
4
3
2
1
函数图象如答图2所示．
答图1 答图2
6．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0，下表是y与x的几组对应值：
x
…
1
2
3
5
7
9
…
y
…
1.98
3.95
2.63
1.58
1.13
0.88
…
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(2)根据画出的函数图象，写出：
x＝4对应的函数值y约为__2(1.8到2.1之间都正确)__；
该函数的一条性质：__该函数有最大值(其他正确性质都可以)__．
解：(1)如答图所示．
答图
7．[2017·咸宁]小慧根据学习函数的经验，对函数y＝|x－1|的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成：
(1)函数y＝|x－1|的自变量x的取值范围是__任意实数(或全体实数)__；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
b
1
0
1
2
…
其中，b＝__2__；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)写出该函数的一条性质：__________________．
解： (3)描点，函数图象如答图所示：
答图
(4)①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x＝1；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③当x＜1时，y随x的增大而减小.
17.2 函数的图象
第2课时 函数图象的应用
教学目标
1．理解函数的三种表示方法．
2．了解三种表示方法的优缺点．
情景问题引入
列表法、解析式法、图象法是函数的三种表示方法，通过前面我们所见到的或自己做的练习你能总结一下这三种方法各自的优缺点吗？
[学生用书P31]
由图象读取信息
注 意：从函数图象获取信息，首先要正确画出函数图象，分清楚横轴和纵轴所表示的意义，在此基础上理解图象上各点的具体意义．
方 法：当函数图象从左到右呈“上升”状态时，函数y随x的增大而增大；当图象从左到右呈“下降”状态时，函数y随x的增大而减小，反之也成立；当x在某个区间上取值时，函数y的值始终是一个常数，那么在这个区间的函数图象是一条平行于x轴的线段(或直线). [学生用书P31]
类型 由函数图象获取信息
[2018·通辽]小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系的大致图象是( B )
,A) ,B)
,C) ,D)
【解析】小刚从家到学校的路程s应随他行走的时间t的增大而增大，因而选项A一定错误；而等车时间离家的路程不变，因此C、D选项错误，所以能反映小刚从家到学校行驶路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系的大致图象是B选项．
【点悟】 解决此类函数图象的应用问题的关键是能够通过图象得到函数是随自变量的增大而增大还是减小．
如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( C )
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米
C．两车到第3秒时的路程相等
D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
如图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程s(单位：千米)与时间t(单位：时)的关系的图象．根据图象回答问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是__时间__，因变量是__路程__．
(2)9时、12时所走的路程分别是多少？
(3)他休息了多长时间？
(4)他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是多少？
解：(2)9时、12时所走的路程分别是4千米、15千米．
(3)该旅行者休息的时间为10.5－10＝0.5(小时)．
(4)4千米/时．
【点悟】 分段函数的图象问题，正确理解函数的图象所表示的意义，能够通过图象得到函数自变量和因变量的变化关系；注意休息时表现在函数图象上是与x轴平行的线段．
[学生用书P31]
1．[2018·随州]“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛．下列函数图象可以体现这一故事过程的是( B )
,A) ,B)
,C) ,D)
2．[2018·衢州]星期天，小明上午8∶00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y(千米)与时间t(分钟)的关系如图所示，则上午8∶45小明离家的距离是__1.5__千米．
[学生用书P32]
1．小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟书后，用15分钟返回家．下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象是( B )
2．[2018·长沙]小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x的对应关系，根据图象，下列说法正确的是( B )
A．小明吃早餐用了25 min
B．小明读报用了30 min
C．食堂到图书馆的距离为0.8 km
D．小明从图书馆回家的速度为0.8 km/min
3．[2018·青海]均匀地向一个容器注水，最后将容器注满，在注水过程中，水的高度h随时间t的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是( D )
,A) ,B) ,C) ,D)
4．[2018·舟山]小红帮弟弟荡秋千(如图1)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图2所示．
(1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
(2)结合图象回答：
①当t＝0.7 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
,图1) ,图2)
解：(1)∵对于每一个摆动时间t，都有一个唯一的h值与其对应，∴变量h是关于t的函数．
(2)①h＝0.5 m，它的实际意义是秋千摆动0.7 s时，离地面的高度为0.5 m.
②2.8 s.
5．[2017·鄂州]小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min到家，再过5 min小东到达学校．小东始终以100 m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y(单位：m)与小东打完电话后的步行时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：
①打电话时，小东和妈妈距离是1 400 m；
②小东与妈妈相遇后，妈妈回家的速度是50 m/min；
③小东打完电话后，经过27 min到达学校；
④小东家离学校的距离是2 900 m.
其中正确的个数是( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】打电话时，在图象中的时间t＝0，对应的y＝1 400，根据y表示的意义可知，此时小东和妈妈的距离是1 400 m，①正确；小东与妈妈相遇，此时y＝0，是图象中的点(6，0)，妈妈回到家，是图象中的点(22，2 400)，因此妈妈回家时间为22－6＝16(min)．设妈妈回家速度为v m/min，则16×100＋16 v＝2 400，解得v＝50，即妈妈回家的速度为50 m/min，②正确；图象中横坐标为0的点表示小东打电话，横坐标为27的点表示小东到校，所以小东打完电话后经过27 min到达学校，③正确；相遇后妈妈回家的路程为50×16＝800 m，小明到达学校的路程为100×21＝2 100 m，所以小东家离学校的距离是2 900 m，④正确．
