17.3一次函数
2.一次函数的图象
第1课时 一次函数的图象
教学目标
1．会画一次函数的图象．
2．掌握一次函数的平移规律．
3．能运用一次函数的图象解决实际问题．
情景问题引入
在前面，我们已经学会了绘制正比例函数的图象，那么一次函数的图象中又蕴含着什么规律呢，这节课我们就来研究一次函数的图象与性质．
[学生用书P37]
一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)的图象
特 征：(1)一次函数的图象是一条__直线__；
(2)两个一次函数表达式中，自变量x的系数k相同时，它们的图象__平行__；
(3)两个一次函数的表达式中，常数项b相同时，它们的图象与y轴相交于同一点．
注 意：(1)一次函数的图象是一条直线，因此我们把一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)又叫做直线y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)．
(2)因为两点确定一条直线，因此画一次函数图象时只需描出两点即可．
(3)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过__原点(0，0)__的一条直线，因而画图时，只需找出原点之外的任一满足条件的点即可．
[学生用书P37]
类型之一 一次函数(正比例函数)的图象
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
(1)y＝－3x，y＝－3x＋2；
(2)y＝2x，y＝－2x＋1.
解：(1)如答图1，分别取(0，0)，(1，－3)，画出y＝－3x的图象；分别取(0，2)，(1，－1)，画出y＝－3x＋2的图象．
,答图1) ,答图2)
(2)答图2，分别取(0，0)，(1，2)及(0，1)，(1，－1)画出y＝2x及y＝－2x＋1的图象．
【点悟】 画正比例函数y＝kx(k≠0)的图象时，可取(0，0)及(1，k)两点，经过这两点的直线即为函数的图象，而画一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象时，可选取(0，b)及另一点作直线．在同一直角坐标系中画出的直线有多条时，应在直线旁注明直线的表达式．
类型之二 一次函数的平移
[2018·娄底]将直线y＝2x－3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为( A )
A．y＝2x－4 B．y＝2x＋4
C．y＝2x＋2 D．y＝2x－2
【解析】根据图象平移时左加右减的规律，向右平移2个单位后为y＝2(x－2)－3＝2x－7，再向上平移3个单位后为y＝2x－7＋3＝2x－4，故选A.
【点悟】 直线y＝kx＋b是由正比例函数y＝kx的图象沿y轴平移|b|个单位长度得到的，当b＞0时，向上平移，当b＜0时，向下平移．在平面直角坐标系中，求平移后的解析式的规律为“左加右减，上加下减”．
类型之三 一次函数的图象的运用
点P(x，y)在第一象限，且x＋y＝8，点A的坐标为(6，0)，设△OPA的面积为S.
(1)用含x的表达式表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；
(2)当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
(3)△OPA的面积能否大于24？为什么？
解：(1)∵点A和点P的坐标分别是(6，0)，(x，y)，
∴△OPA的面积＝OA·|yP|，
∴S＝×6×|y|＝3y.
∵x＋y＝8，∴y＝8－x，
∴S＝3(8－x)＝24－3x.
∵S＝－3x＋24＞0，∴x＜8.
答图
又∵点P在第一象限，∴x＞0，
即x的取值范围为0＜x＜8.
∵S＝－3x＋24，S是x的一次函数，
∴函数图象经过点(8，0)，(0，24)．
所画图象如答图所示．
(2)∵S＝－3x＋24，
∴当x＝5时，S＝－3×5＋24＝9，即当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为9.
(3)△OPA的面积不能大于24.理由如下：
若当S＝－3x＋24>24，解得x<0，这与0＜x＜8矛盾，∴△OPA的面积不能大于24.
【点悟】 本题考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，解答本题的关键是正确地求出S与x之间的关系．运用两点作图法作图，要注意自变量的取值范围．
[学生用书P37]
1．[2018·抚顺]一次函数y＝－x－2的图象经过( D )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
2．[2018·常州]一个正比例函数的图象经过点(2，－1)，则它的表达式为( C )
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝－x D．y＝x
3．[2018·南充]直线y＝2x向下平移2个单位长度得到的直线是( C )
A．y＝2(x＋2) B．y＝2(x－2)
C．y＝2x－2 D．y＝2x＋2
4．[2018·济宁]在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点．若x1＜x2，则y1__＞__y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
[学生用书P38]
1．[2017·沈阳]在平面直角坐标系中，一次函数y＝x－1的图象是( B )
,A B C D)
2．[2018·陕西]如图，在矩形ACBO中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图象经过点C，则k的值为( A )
A．－ B.
C．－2 D．2
3．[2017·大庆]对于函数y＝2x－1，下列说法正确的是( D )
A．它的图象过点(1，0)
B．y值随着x值增大而减小
C．它的图象经过第二象限
D．当x>1时，y>0
4．[2017·惠安县期末]一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则代数式a＋b的值是__1__．
5．[2017·景德镇期末]如图是一次函数y＝kx－b的函数图象，则k·b__＜__0(填“＞”“＜”或“＝”)．
6．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的共同之处．
y＝x＋1；y＝x＋1；y＝2x＋1；y＝－x＋1.
解：如答图所示．这四条直线的共同之处是都经过点(0，1)．
答图
7．[2018·湘潭]若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是( C )
,A) ,B) ,C) ,D)
【解析】根据一次函数y＝kx＋b中，k＞0时，图象从左到右上升；k＜0时，图象从左到右下降；b＞0时，图象与y轴的交点在y轴上方；b＝0时，图象与y轴的交点在原点；b＜0时，图象与y轴的交点在y轴下方．因为－1＜0，所以图象从左到右下降，b＞0，所以图象与y轴交于y轴上方，故选C.
8．已知正比例函数y＝kx的图象经过点(3，－6)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)判断点A(4，－2)、B(－1.5，3)是否在这个函数的图象上．
答图
解：(1)把点(3，－6)代入正比例函数y＝kx，得－6＝3k，解得k＝－2，则函数的表达式为y＝－2x.
(2)函数y＝－2x经过点(0，0)，(1，－2)，画出图象如答图所示.
(3)∵正比例函数的表达式为y＝－2x，
∴当x＝4时，y＝－8；当x＝－1.5时，y＝3，
∴点A(4，－2)不在这个函数的图象上，点B(－1.5，3)在这个函数的图象上．
9．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(0，2)，点P(x，y)在第一象限内，且x＋2y＝4.设△AOP的面积是S.
(1)写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)当S＝3时，求点P的坐标．
解：(1)∵x＋2y＝4，
∴y＝(4－x)，
∴S＝×4×(4－x)＝4－x，即S＝4－x.
∵点P(x，y)在第一象限内，且x＋2y＝4，
∴解得0＜x＜4.
(2)当S＝3时，4－x＝3，解得x＝1，此时y＝×(4－1)＝，故点P的坐标为(1，)．
17.3一次函数
2.一次函数的图象
第2课时 一次函数图象的应用
教学目标
1．掌握一次函数图象的应用．
2．掌握一次函数图象的实际应用．
情景问题引入
1．利用简便方法画函数y＝2x的图象时一般选取哪几个点？为什么？
2．利用简便方法画一次函数y＝x－3的图象时，一般选取几个点？为什么？
反过来，如果告诉我们正比例函数、一次函数的图象经过的两个点，能否确定函数解析式呢？这将是我们这节课要解决的主要问题，让我们一起去探索吧！
[学生用书P39]
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与坐标轴的交点坐标的求法
方 法：由于x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，因此求直线y＝kx＋b与x轴、y轴的交点坐标时，只需分别令x＝0，y＝0，即可求出直线y＝kx＋b(k≠0)与y轴、x轴交点的纵坐标、横坐标．
结 论：一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为常数)的图象与x轴的交点为(－，0)，与y轴的交点为(0，b)．
2．一次函数图象的应用
注 意：一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还可能是一条射线、一条折线或离散的点，这取决于自变量的取值范围，因此解题时应具体问题具体分析. [学生用书P39]
类型之一 求一次函数的图象与两坐标轴交点的坐标及其应用
画出直线y＝－x－4的图象，并解答下列问题：
(1)设它的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，求AB的长；
(2)求△AOB的周长(O为坐标原点)；
(3)求点O到直线AB的距离；
(4)求△AOB的面积．
答图
解：y＝－x－4的图象是过 点A(0，－4)和B(－3，0)的一条直线，如答图所示．
(1)AB＝＝＝5.
(2)△AOB的周长是OA＋OB＋AB＝4＋3＋5＝12.
(3)如答图，作OD⊥AB于点D，则×5×OD＝×3×4，所以OD＝.
(4)S△AOB＝×3×4＝6.
【点悟】 本题是一次函数图象与x轴、y轴交点所形成的几何图形的综合应用．解此类题时要灵活运用勾股定理、面积公式等．
类型之二 实际问题中的一次函数图象
某新型节能环保汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油8升，试写出汽车行驶的路程x(千米)与油箱中剩余油量y(升)之间的函数关系式，并画出这个函数的图象，函数的图象是什么形状？
解：y＝100－x.
∵100－x≥0，∴x≤625.
又∵路程x不能为负数，故x≥0.
图象如答图所示，此时的图象为一条线段．
答图
【点悟】 本题考查实际问题中一次函数的图象，解本题时，要注意函数自变量的取值范围．
[学生用书P39]
1．一次函数y＝x＋1的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是( B )
A．(1，0)、(0，1) B．(－1，0)、(0，1)
C．(1，0)、(0，－1) D．(－1，0)、(0，－1)
2．一次函数y＝2x＋8的图象与两坐标轴围成的三角形面积是( C )
A．4 B．8 C．16 D．32
3．水池中原有水5升，现每分钟从池中放水1升，则水池中的存水量W(升)与放水时间t(分)之间的关系图象大致是( D )
A B
C D
一次函数y＝2x－6的图象与x轴的交点坐标为__(3，0)__．
[学生用书P40]
1．[2018·湘西]一次函数y＝x＋2的图象与y轴的交点坐标为( A )
A．(0，2) B．(0，－2)
C．(2，0) D．(－2，0)
2．一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积是( B )
A. B. C．4 D．8
3． 已知一次函数y＝2x＋4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；
(3)在(2)的条件下，求出△AOB的面积；
(4)利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．
解：(1)当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝－2，则图象如答图所示．
答图
(2)A(－2，0)，B(0，4)．
(3)S△AOB＝×2×4＝4.
(4)x<－2.
4．[2017·邢台期末]已知关于x的一次函数y＝mx＋2的图象经过点(－2，6)．
(1)求m的值；
(2)画出此函数的图象；
(3)平移此函数的图象，使得它与两坐标轴所围成的图形的面积为4，请直接写出此时图象所对应的函数关系式．
,) ,答图)
解：(1)将x＝－2，y＝6代入y＝mx＋2，得
6＝－2m＋2，解得m＝－2.
(2)由(1)知，该函数的解析式为y＝－2x＋2，
令x＝0，则y＝2；
令y＝0，则x＝1，
所以该直线经过点(0，2)，(1，0)．其图象如答图所示．
(3)根据答图知，直线y＝－2x＋2与坐标轴所围成的三角形的面积是×1×2＝1，
所以，平移此函数的图象，使得它与两坐标轴所围成的图形的面积为4时，函数解析式可以是y＝－2x＋4或y＝－2x－4.
5．[2 017秋·高新区校级期中]已知一次函数y＝－2x－6.
(1)画出函数的图象；
(2)求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标；
(3)求A、B两点间的距离；
(4)求△AOB的面积；
(5)利用图象求当x为何值时，y＞0.
,答图)
解：(1)如答图所示．
(2)当y＝0时，－2x－6＝0，x＝－3，A(－3，0)，
当x＝0时，y＝－6，B(0，－6)．
(3)AB＝＝3.
(4)S△AOB＝·OA·OB＝×|－3|×|－6|＝9.
(5)由图象位于x轴上方的部分，得x＜－3.
6．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A(1，0)、B(2，0)是x轴上的两点，则PA＋PB的最小值为____．
,) ,答图)
【解析】如答图，作点A关于直线y＝x的对称点A′，连结A′B，交直线y＝x于点P，此时PA＋PB最小．由题意可得OA′＝1，BO＝2，PA′＝PA，
∴PA＋PB＝A′B＝＝.
7．[2018·贵港]如图，直线l为y＝x，过点A1(1，0)作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2的长为半径画弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为__(2n－1，0)__．
【解析】直线y＝x，点A1的坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，可知点B1的坐标为(1，)，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴于点A2，OA2＝OB1，所以OA2＝＝2，因此点A2的坐标为(2，0)，
同理，可求得B2的坐标为(2，2)，故点A3的坐标为(4，0)，B3(4，4)，……，所以An的坐标为(2n－1，0)．
8．某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元．小王携带现金3 000元到该市场采购苹果，并以批发价买进．如果购进的苹果是x千克，小王付款后剩余现金y元．
(1)试写出x与y之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
(2)画出函数图象，指出图象形状和终点坐标；
(3)若小王以每千克3元的价格将苹果卖出，卖出x千克后可获利润多少元？
解：(1)y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200)．
(2)图象略，是一条线段，终点坐标为(1 200，0)．
(3)0.5x元．
9．已知等腰三角形的周长为10 cm，腰长为x cm，底边长为y cm.
(1)以x为自变量，写出y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)求当y＝3时，x的值；
(3)画出函数的图象．
解：(1)∵等腰三角形的周长为10 cm，腰长为x cm，底边长为y cm，
∴2x＋y＝10，∴y＝10－2x(2.5＜x＜5)．
(2)当y＝3时，3＝10－2x，解得x＝3.5.
(3)如答图所示．
答图
10．[2018·乐山]已知直线l1：y＝(k－1)x＋k＋1和直线l2：y＝kx＋k＋2，其中k为不小于2的自然数．
(1)当k＝2时，直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S2＝__1__；
(2)当k＝2、3、4、…、2 018时，设直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2、S3、S4、…、S2 018，则S2＋S3＋S4＋…＋S2 018＝____．
【解析】(1)当k＝2时，直线l1的解析式为y＝x＋3，它与x轴的交点坐标为(－3，0)；直线l2的解析式为y＝2x＋4，它与x轴的交点坐标为(－2，0)，联立两直线的解析式，得解得所以两条直线的交点坐标为(－1，2)，所以直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S2＝×1×2＝1.
(2)当k＝3时，直线l1的解析式为y＝2x＋4，它与x轴的交点坐标为(－2，0)；直线l2的解析式为y＝3x＋5，它与x轴的交点坐标为(－，0)，联立两直线的解析式，得解得所以两条直线的交点坐标为(－1，2)，所以直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S3＝×(2－)×2＝.
当k＝4时，直线l1的解析式为y＝3x＋5，它与x轴的交点坐标为(－，0)；直线l2的解析式为y＝4x＋6，它与x轴的交点坐标为(－，0)，联立两直线的解析式，得解得所以两条直线的交点坐标为(－1，2)，所以直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S4＝×(－)×2＝.
当k＝2 018时，直线l1的解析式为y＝2 017x＋2 019，它与x轴的交点坐标为(－，0)；直线l2的解析式为y＝2 018x＋2 020，它与x轴的交点坐标为(－，0)，联立两直线的解析式，得解得所以两条直线的交点坐标为(－1，2)，所以直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S2 018＝×(－)×2＝－.
∴S2＋S3＋S4＋…＋S2 018＝1＋(2－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1＋2－＝.
11．一次函数y＝－x＋(n为正整数)的图象与x轴、y轴的交点是A、B，O是原点，设△AOB的面积为Sn.
(1)求S1；
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S 2 018.
解：(1)∵当n＝1时，一次函数的解析式为y＝－x＋，
∵A(1，0)，B(0，)，∴S1＝×1×＝.
(2)∵令x＝0，y＝，∴Bk(0，)，
令y＝0，x＝，
∴Sk＝··＝＝(－)，
∴S1＋S2＋S3＋…S2 018＝(＋＋…＋)
＝(1－＋－＋－＋…＋－)
＝(1－)
＝.
