第18章 平行四边形
18.1平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质定理1，2
教学目标
1．理解并掌握平行四边形的概念及表示法．
2．掌握平行四边形的性质1和性质2，并能运用．
3．掌握两条平行线之间的距离．
情景问题引入
我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？
[学生用书P72]
1．平行四边形的概念
定 义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
表示方法：平行四边形可用符号“”来表示，读作平行四边形．
2．平行四边形的性质定理1，2
性质定理1：平行四边形的对边__相等__．
性质定理2：平行四边形的对角__相等__．
注 意：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，将平行四边形绕对称中心旋转180°后能与自身完全重合，可以说明平行四边形的对边相等，对角相等．
3．两条平行线之间的距离
定 义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离．
性 质：两条平行线之间的距离处处相等．
注 意：(1)距离是指垂线段的长度，是正数；
(2)平行线的位置确定，它们的距离是定值，不随垂线段位置的改变而改变；平行线间的距离处处相等，因此在作平行线间的垂线时，可根据需要灵活选择位置．
[学生用书P72]
类型之一 平行四边形的对角相等的应用
在ABCD中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C的度数为( C )
A．80° B．120° C．100° D．110°
【点悟】 在平行四边形中，涉及角度问题时，一般利用“两直线平行，同旁内角互补”来解题．
类型之二 平行四边形的对边相等的应用
[2018·衢州]如图，在ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.
求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.
类型之三 平行线之间的距离处处相等
如图，在ABCD中，对角线AC＝15 cm，BE⊥AC于点E，且BE＝4 cm.若AD＝6 cm，求AD与BC之间的距离．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA.
∵BE⊥AC，AC＝15 cm，BE＝4 cm，
∴S△ABC＝AC·BE＝×15×4＝30(cm2)，
∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝60 cm2.
设AD与BC之间的距离为h cm，
则S四边形ABCD＝AD·h＝6h＝60，
∴h＝10.
即AD与BC之间的距离为10 cm.
【点悟】 在平行四边形中，一条对角线分平行四边形为面积相等的两部分，两条对角线分平行四边形为面积相等的四部分．
[学生用书P72]
1．已知在ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝( B )
A．18° B．36° C．72° D．144°
2．如图，在ABCD中，下列结论一定正确的是( B )
A．AC⊥BD
B．∠BAD＋∠ABC＝180°
C．AB＝AD
D．∠BAD≠∠BCD
3．[2018·铜仁]在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4 cm，b与c的距离为1 cm，则a与c的距离是( C )
A．1 cm B．3 cm
C．5 cm或3 cm D．1 cm或3 cm
4．在一条河流的平行两岸边，分别栽有一根标杆A、B，测得线段AB与河岸垂直，并且AB＝40米，那么标杆A到对岸的距离等于__40__米，两岸间的距离等于__40__米．
[学生用书P73]
1．如图，在ABCD中，M是BC延长线上的一点．若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( A )
A．45° B．55° C．65° D．75°
2．[2018·宜宾]在ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
3．[2018·黔东南州]如图，在ABCD中，已知AC＝4 cm.若△ACD的周长为13 cm，则ABCD的周长为( D )
A．26 cm B．24 cm
C．20 cm D．18 cm
4．如图，在ABCD中，BE⊥AB，交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数为__110°__．
5．如图，在ABCD中，若AB＝2x＋1，BC＝3x，CD＝x＋4，则ABCD的周长是__32__．
第5题图
第6题图
6．[2017·巴中]如图，E是ABCD边BC上一点，且AB ＝ BE，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，∠F＝70°，则∠D＝__40__度．
7．[2017·成都]如图，在ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP交边CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则ABCD的周长为__15__．
8．[2018·无锡]如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC.
∵E、F分别是边BC、AD的中点，
∴AF＝CE.
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠ABF＝∠CDE.
9．[2018·宿迁]如图，在ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H.求证：AG＝CH.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠E＝∠F.
又∵BE＝DF，
∴AD＋DF＝BC＋BE，
即AF＝CE.
∴△AGF≌△CHE(ASA)．
∴AG＝CH.
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°，
∴∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°.
(2)∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB.
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴AD＝DP＝5 cm.
同理：PC＝CB＝5 cm，
∴AB＝DC＝DP＋PC＝10 cm.
在Rt△APB中，AB＝10 cm，AP＝8 cm，
∴BP＝＝6(cm)，
∴△APB的周长是6＋8＋10＝24(cm)．
18.1平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的性质定理1，2的综合
教学目标
掌握平行四边形的性质1和性质2的综合运用．
情景问题引入
如图是某区部分街道示意图，其中BC∥AD∥BG，AB∥FH∥DC从学校乘车到书店站只有两条路线有直接到达的公交车，小华走路线1：学校－E－A－F－书店；小美走路线2：学校－H－O－G－书店．谁先到书店？
[学生用书P74]
平行四边形的性质定理
定 义：平行四边形的对边__平行__．
定 理1：平行四边形的对边__相等__．
定 理2：平行四边形的对角__相等__．
推 论：两条平行线之间的距离处处__相等__．
[学生用书P74]
类型之一 平行四边形的性质定理1，2的综合运用
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA＝DE.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠E＝∠BAE.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠E＝∠DAE，
∴DA＝DE.
如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠AFE，AE是∠BAF的平分线．
求证：(1)△ABE≌△AFE；
(2)∠FAD＝∠CDE.
答图
证明： (1)如答图所示，∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠1＝∠2.
在△ABE和△AFE中，
∴△ABE≌△AFE(AAS)．
(2)∵△ABE≌△AFE，∴AB＝AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥CB，AB∥CD，
∴AF＝CD，∠ADF＝∠DEC，∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝∠AFE，∠AFE＋∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝∠C.
在△AFD和△DCE中，
∴△AFD≌△DCE(AAS)，
∴∠FAD＝∠CDE.
【点悟】 平行四边形的对边相等、对角相等．对边平行可为判定三角形全等提供条件，在全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
类型之二 平行线间的距离
如图，在ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：
(1)AB与CD之间的距离；
(2)AD与BC之间的距离．
解：(1)在Rt△ABC中，
由勾股定理可得AC＝＝＝8，
∴AB与CD之间的距离为AC＝8.
(2)∵在Rt△ABC中，AC＝8，
∴AD、BC之间的距离为6×8÷10＝4.8.
【点悟】 平行线间的距离处处相等，平行线间的距离常常与面积联系在一起．
[学生用书P74]
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( D )
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD
C．AB＝CD D．AC＝BC
2．如图，在ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是( C )
A．16° B．22° C．32° D．68°
3．[2017·连云港]如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝60°，则∠B＝__60°__．
4．如图，在ABCD中，AB＝10 cm，AB边上的高DH＝4 cm，BC＝6 cm，DF为BC边上的高，则DF的长度为____cm.
[学生用书P74]
1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( A )
A．AE＝CF B．BE＝DF
C．BF＝DE D．∠1＝∠2
2．[2017·丽水]如图，在ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( C )
A. B．2 C．2 D．4
3．已知直角坐标系内有四个点O(0，0)、A(3，0)、B(1，1)、C(x，1)，若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝__4或－2__．
4．[2017·大连]如图，在ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DCA，
即∠BAE＝∠DCF.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°.
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF.
5．[2018·曲靖]如图，在平行四边形ABCD的边AB、CD上截取AF、CE使得AF＝CE，连结EF，点M、N是线段上的两点，且EM＝FN，连结AN、CM.
(1)求证：△AFN≌△CEM；
(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN＝∠CEM.
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM(SAS)．
(2)∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF＝∠ECM.
∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，
∴107°＝72°＋∠ECM，
∴∠ECM＝35°，
∴∠NAF＝35°.
6．如图，在ABCD中，∠ABC的平分线BG交AD于点G，∠BCD的平分线CE交BG于点F，交AD于点E.
(1)求证：BG⊥CE；
(2)若AB＝3，BC＝4，求EG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵BG、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠ABG＝∠CBG，∠BCE＝∠DCE，
∴∠CBG＋∠BCE＝90°.
在△BCF中，∠BFC＝180°－∠CBG－∠BCE＝90°，
即BG⊥CE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠AGB＝∠CBG.
又∵∠ABG＝∠CBG，
∴∠AGB＝∠ABG，
∴AB＝AG＝3，
∴GD＝AD－AG＝4－3＝1，
同理：AE＝1，
∴EG＝AD－AE－GD＝4－1－1＝2.
7．如图，ABCD内有一点E，满足ED⊥AD于点D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，请找出与BE相等的一条线段，并予以证明．
解：CD＝BE.
证明：如答图所示，延长DE交BC于点F.
答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵ED⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠BFE＝∠DFC＝90°.
又∵∠ECB＝45°，
∴∠FEC＝∠ECB＝45°，
∴FE＝FC.
∵∠EBC＝∠EDC，
∴△BEF≌△DCF，
∴CD＝BE.
8．如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝ECF，∠DAE＝∠F，
又点E是CD的中点，
∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF＝3.
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAF＝90°.
在ABCD中，AD＝BC＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴CD＝2DE＝8.
18.1平行四边形的性质
第3课时 平行四边形的性质定理3
教学目标
探究并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
情景问题引入
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，老人这样分地合理吗？
[学生用书P76]
平行四边形的性质定理3
性质定理3：平行四边形的对角线__互相平分__．
说 明：(1)互相平分指两线段有公共的中点；
(2)如果一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积．
[学生用书P76]
类型之一 平行四边形的对角线互相平分
如图，ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为36，CD的长为7，求△OCD的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AC，OD＝BD.
∵AC＋BD＝36，
∴OC＋OD＝AC＋BD＝(AC＋BD)＝18.
又∵CD＝7，
∴△OCD的周长＝OC＋OD＋CD＝18＋7＝25.
如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.
【点悟】 平行四边形对角线互相平分，为证明三角形全等创造了条件．
类型之二 平行四边形的性质与勾股定理的综合
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD⊥BD，AC＝2，BD＝4，求AB的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2，BD＝4，
∴AO＝AC＝，DO＝BD＝2.
∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，
∴由勾股定理得AD＝＝3，
∴由勾股定理得AB＝＝5.
【点悟】 (1)平行四边形的对角线互相平分；(2)在平行四边形中，如果有直角，那么找图中的直角三角形，运用勾股定理．
[学生用书P76]
1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是( A )
A．SABCD＝4S△AOB
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．ABCD是轴对称图形
第1题图
第2题图
2．如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B )
A．13 B．17 C．20 D．26
3．[2018·十堰改编]如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则OA＝OC＝__4__，OB＝__5__，△OCD的周长为__14__．
第3题图
第4题图
4．如图，在ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是__1＜a＜7__．
[学生用书P76]
1．如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( B )
A．10 B．14 C．20 D．22
第1题图
第2题图
2．[2017·眉山]如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( C )
A．14 B．13 C．12 D．10
3．[2018·衡阳]如图，ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么ABCD的周长是__16__．
4．如图，在ABCD中，AB＝8 cm，BC＝10 cm，△AOB的周长比△BOC的周长少__2__cm.
第4题图
第5题图
5．如图，在ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长__4__cm.
6．如图，在ABCD中，AB＝9 cm，对角线AC、BD相交于点O.若△COD的周长为20 cm，且AC比BD长6 cm，试求对角线AC、BD的长．
解：∵△COD的周长为20 cm，
∴OC＋OD＝20－CD＝20－AB＝20－9＝11 (cm)．
∵AC－BD＝6 cm，
∴2OC－2OD＝6 cm，∴OC＝7 cm，OD＝4 cm，
∴AC＝2OC＝14 cm，BD＝2OD＝8 cm.
7．如图，已知在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
(1)已知AE＝3 cm，AF＝4 cm，AD＝8 cm，求CD的长；
(2)若已知ABCD的周长为28 cm，且AE＝3 cm，AF＝4 cm，求ABCD的面积．
解：(1)∵SABCD＝BC·AE＝CD·AF，
即3×8＝4·CD，
∴CD＝6 cm.
(2)设BC、CD的长分别为x cm和y cm，
则解得
∴SABCD＝BC·AE＝8×3＝24(cm2)．
8．[2018·淮安]如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O 的直线分别交AD、BC于点E、F.求证：AE＝CF.
证明：∵AC、BD为ABCD的对角线，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF.
9．如图，在ABCD中，BD⊥AB，AB＝12 cm，AC＝26 cm，求AD、BD、BC及CD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12 cm，AO＝AC＝13 (cm)．
∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°.
在Rt△ABO中，OB＝＝5 cm.
∴BD＝2OB＝2×5＝10 (cm)．
在Rt△ABD中，AD＝＝2 cm，
∴BC＝AD＝2 cm，
∴AD＝BC＝2 cm，BD＝10 cm，CD＝12 cm.
10．如图，在ABCD中，E是BC的中点，连结AE，并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：AB＝CF；
(2)连结DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE＝∠FCE.
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.
∵AB＝CF，DF＝DC＋CF，
∴DF＝2CF，∴DF＝2AB.
∵AD＝2AB，∴AD＝DF.
∵△AEB≌△FEC，
∴AE＝EF.
∴ED⊥AF.
18.1平行四边形的性质
第4课时 平行四边形的性质定理的综合
教学目标
掌握平行四边形的性质定理的综合运用．
[学生用书P78]
平行四边形的性质定理
定 义：平行四边形的对边__平行__．
定 理1：平行四边形的对边__相等__．
定 理2：平行四边形的对角__相等__．
定 理3：平行四边形的对角线__互相平分__．
推 论：两条平行线之间的距离处处__相等__．
[学生用书P78]
类型之一 利用平行四边形的对角线互相平分进行证明
如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，直线EF经过点O，且分别交AB、CD的延长线于点E和F，求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AE∥CF，
∴∠EBO＝∠FDO.
又∵∠BOE＝∠FOD，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF.
【点悟】 平行四边形的对角线互相平分，对边相等且平行的性质为证明全等提供了条件．
类型之二 平行四边形性质的综合运用
[2017·山西]如图，在ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连结EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
AB＝CD，
∴∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF.
∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE＝OF.
如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连结BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
AB＝CD，
∴∠B＋∠BCD＝180°，
∠AEB＝∠DAE.
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，∴BE＝CD.
(2)∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4.
∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2.
∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E.
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4.
[学生用书P78]
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是( B )
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．如图，点O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F.若BF＝DE，则图中的全等三角形有( B )
A．8对 B．6对 C．5对 D．4对
第2题图
第3题图
3．如图，在ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于点E，则∠DAE＝__20__度．
[学生用书P78]
1．[2017·宁夏]如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为__105°__.
第1题图
第2题图
2．如图，在平行四边形ABCD中，如果AB＝5，AD＝9，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，那么DF＝__4__．
3．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连结AF、CE，求证：AF∥CE.
答图
证明：如答图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.
∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，
∴DF＝BE.
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE.
4．[2018·金牛区期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，作CF⊥BE于点F.
(1)求证：BF＝EF；
(2)若AB＝6，DE＝3，求ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠E＝∠ABE.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE.
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6.
∵DE＝3，
∴BC＝CE＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为30.
5．[2018·厦门期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF∥AE，DF与BC的延长线交于点F，AE、DC的延长线交于点G，连结FG.若AD＝3，AG＝2，FG＝2，求直线AG与DF之间的距离．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF.
∵DF∥AE，∴∠EGC＝∠CDF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝BC＝3.
∵E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝CF＝EC，
∵∠EGC＝∠CDF，∠ECD＝∠FCD，EC＝CF，
∴△ECG≌△FCD.
∵EF2＝9，EG2＋FG2＝12＋(2)2＝9，
∴EF2＝FG2＋EG2，
∴∠EGF＝90°，
∴FG⊥AG，
∴直线AG与DF之间的距离为2.
6．[2018·黄冈]如图，在ABCD中，分别以边BC、CD为腰作△BCF、△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连结AF、AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
(2)延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.
,) ,答图)
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.
∵BC＝BF，CD＝DE，
∴BF＝AD，AB＝DE.
∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，
∴∠ADE＝∠ABF，
∴△ABF≌△EDA(SAS)．
(2)如答图，延长FB交AD于点H.
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD＝∠AFB.
∵∠EAD＋∠FAH＝90°，
∴∠FAH＋∠AFB＝90°，
∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD.
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC.
7．[2017·平定县期末]下面是一个有关特殊平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：已知在ABCD中，∠ABC＝120°，点D又是等边三角形DEF的一个顶点，DE与AB相交于点M，DF与BC相交于点N(不包括线段的端点)．
(1)如图1，若AB＝BC，求证：BD＝BM＋BN；
(2)如图2，若BC＝2AB，过点D作DH⊥BC于点H，求证：∠BDC＝90°.
,图1 图2)
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠A＝∠DBC＝60°，∠ADB＝60°，AD＝BD.
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝60°，
∴∠ADM＝∠BDN.
在△ADM与△BDN中，
∴△ADM≌△BDN，
∴AM＝BN，
∴BD＝AB＝AM＋MB＝BN＋MB，
即BD＝BM＋BN；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵DH⊥BC，∠C＝60°，
∴∠DHC＝90°，∠HDC＝30°.
设CH＝x，则DC＝2x，DH＝x，
∴BC＝2AB＝2DC＝4x，
∴BH＝BC－HC＝3x.
∵DH⊥BC，
∴BD＝＝2x，
∴BD2＋DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°.
