18.2平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1，2
教学目标
理解并掌握平行四边形的判定定理1，2.
情景问题引入
如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺平移到三角形A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形，你能说说这样做的道理吗？
[学生用书P80]
平行四边形的判定定理1，2
定理1：两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．
定理2：一组对边__平行且相等__的四边形是平行四边形．
注 意：(1)一组对边平行且相等，即一组对边既平行又相等，能判定该四边形是平行四边形；
(2)若一组对边平行或一组对边相等不能判定该四边形是平行四边形；
(3)若一组对边平行，另一组对边相等也不能判定该四边形是平行四边形．
[学生用书P80]
类型之一 利用平行四边形的定义证明平行四边形
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC.
∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点悟】 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形”是证明平行四边形的基本方法．
类型之二 利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明平行四边形
在四边形ABCD中，AB＝CD，BD⊥AD，垂足为点D，DB⊥BC，垂足为点B，试说明四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵BD⊥AD，DB⊥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝90°.
在Rt△ADB和Rt△CBD中，
∴Rt△ADB≌Rt△CBD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
类型之三 利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明平行四边形
如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE.求证：四边形DEBF是平行四边形．
证明：∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE，
∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
[学生用书P80]
1．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( D )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
2．对于四边形ABCD，下列条件中不能判定为平行四边形的是( C )
A．AB∥DC且AD∥BC
B．AB＝DC且AD＝BC
C．AB∥DC且AD＝BC
D．AB∥DC且AB＝DC
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为( C )
A．110° B．80° C．70° D．90°
4．在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，当CD＝__4__，DA＝__5__时，四边形ABCD是平行四边形．
[学生用书P81]
1．能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( D )
A．一组对角相等 B．两条对角线相等
C．一组对边平行 D．一组对边平行且相等
2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( D )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
3．[2018·呼和浩特]顺次连结平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( C )
A．5种 B．4种
C．3种 D．1种
4．[2017·衡阳]如图，在四边形ΑΒCD中，AB∥CD，要使四边形ΑΒCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是( B )
A．AB＝CD B．BC＝AD
C．∠A＝∠C D．BC∥AD
5．[2018·岳阳]如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
6．[2017春·东莞市期末]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE.
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
7．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是该平面内任意一点，若A、B、C、D四个点恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合这样条件的点D的个数有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．[2018·恩施]如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分．
,) ,答图)
证明：如答图，连结BD、AE.
∵AB∥ED，
∴∠ABC＝∠DEF.
∵AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE.
∵FB＝CE，
∴BC＝EF.
在△ACB和△DFE中，
∴△ACB≌△DFE(ASA)，
∴AB＝DE.
又∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
9．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC＝30°，AB＝2BC，EF⊥AB，垂足为点F，连结DF.
求证：(1)AC＝EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形．
证明：(1)∵在等边△ABE中，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，
∴AF＝BC.
在Rt△AEF和Rt△BCA中，
∴Rt△AEF≌△Rt△BCA，
∴AC＝EF.
(2)由(1)知AC＝EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°.
又∵∠BAC＝30°，
∴EF＝AC＝AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
18.2平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
教学目标
平行四边形的判定定理3.
情景问题引入
将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，绳子顺次连结四个端点，得到如图所示的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？
[学生用书P82]
平行四边形的判定定理3
定理3：对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．
拓展：两组对角__分别相等__的四边形是平行四边形．
注 意：平行四边形识别方法要灵活选择．
(1)若知一组对边相等，可选择定理1或定理2；
(2)若知一组对边平行，可选择定理2或定义；
(3)若知对角线，可选择定理3.
[学生用书P82]
类型之一 对角线互相平分的四边形是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
∠ADO＝∠CBO.
又∵OA＝OC，
∴△AOD≌△COB.
∴OB＝OD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点悟】 若题中出现了四边形的对角线，要充分利用对角线互相平分来判定此四边形为平行四边形．
如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，点E、F分别是OC、OD的中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD.
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵点E、F分别是OC、OD的中点，
∴OF＝OD，OE＝OC.
∴EO＝FO，
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【点悟】 在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，若条件中涉及对角线，试着用“对角线互相平分”来证明．
类型之二 平行四边形的性质与判定的综合
如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O分别作两条直线，交AD、BC、AB、CD于E、F、G、H四点．求证：四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO，
∴EO＝FO，同理GO＝HO，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点悟】 (1)平行四边形的性质常用于证明线段相等、角相等或计算长度、角度等；(2)平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[学生用书P82]
1．下列说法错误的是( D )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
2．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( D )
A．AD∥BC且AD＝BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB＝CD
D．AD∥BC，AB＝CD
3．[2017春·临沭县校级期末]要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是__两条对角线互相平分的四边形是平行四边形__．
第3题图
第4题图
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：__答案不唯一，如AD＝BC__，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．
[学生用书P83]
1．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( D )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2．[2017·钦州模拟]如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在线段OA、OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.
求证：(1)△BEO≌△DFO；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
证明：(1)在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO(ASA)．
(2)由(1)可知△BEO≌△DFO，
∴OE＝OF.
∵AE＝CF，
∴OA＝OC.
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E、F在AC上，点G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AF＝CE，BH＝DG，
∴AF－OA＝CE－OC，BH－OB＝DG－OD，
即OF＝OE，OH＝OG，
∴四边形EGFH是平行四边形．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB、CD的延长线交于点E、F.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO，
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
5．如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别交于点E、F.试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．
解：AE与CF平行且相等．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AF∥EC，
∴∠OAF＝∠OCE.
在△OAF和△OCE中，
∴△OAF≌△OCE，
∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，且AE＝CF，
即AE与CF平行且相等．
6．如图，在ABCD中，AE⊥BD，BM⊥AC，CN⊥BD，DF⊥AC.求证：MN∥EF.
答图
证明：如答图所示，连结ME、NF.
∵BM⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BMO＝∠DFO＝90°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
又∵∠BOM＝∠DOF，
∴△BMO≌△DFO，
∴OM＝OF，
同理OE＝ON.
∴四边形MNFE是平行四边形．
∴MN∥EF.
18.2平行四边形的判定
第3课时 平行四边形的判定的综合
教学目标
1．进一步掌握平行四边形的判定，能综合运用．
2．能这运用平行四边形的性质与判定．
情景问题引入
请你识别下列四边形哪些是平行四边形？
,(1)) ,(2))
,(3)) ,(4))
[学生用书P84]
平行四边形的判定定理
定义：两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形．
定理1：两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．
定理2：一组对边__平行且相等__的四边形是平行四边形．
定理3：对角线互相__平分__的四边形是平行四边形．
拓展：对角__相等__的四边形是平行四边形．
[学生用书P84]
类型之一 平行四边形判定的综合
[2017·乌鲁木齐]如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝ED，求证：AE∥CF.(要求：用两种方法证明)
答图
证明：(方法一)连结AC，交BD于点O，如答图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BF＝ED，∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF.
(方法二)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
又∵BF＝ED，
∴△AED≌△CFB(SAS)，
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF.
【点悟】 平行四边形的判定方法较多，但基本上是用角、边、对角线的关系来判定．判定平行四边形时，如果涉及对角线，试着用“对角线互相平分”来证明；若条件涉及角，试着用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；若条件中涉及边，试着用“两组对边分别平行(或相等)”或“一组对边平行且相等”来证明．也可以添加辅助线，最常用的辅助线是连结对角线．
类型之二 平行四边形判定与性质的综合
如图，在ABCD中，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点，且AM＝BN＝CP＝DQ.
求证：四边形MNPQ为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∵AM＝BN＝CP＝DQ，
∴AB－AM＝CD－CP，AD－DQ＝BC－BN，
即BM＝DP，AQ＝CN.
在△AMQ和△CPN中，
∴△AMQ≌△CPN，∴MQ＝PN.
同理可证：△BMN≌△DPQ，
∴MN＝PQ，
故四边形MNPQ是平行四边形．
【点悟】 此类问题利用了平行四边形的性质和判定及全等三角形的判定和性质求解．
[学生用书P84]
1．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，周长为40 cm，两邻边的比是3∶2，则较大边的长度是( C )
A．8 cm B．10 cm
C．12 cm D．14 cm
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( D )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
3．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是__C、E、F、G__(只填字母序号)．
A．AB∥CD，AD＝BC；B.∠A＝∠B，∠C＝∠D；
C．AB＝CD，AD＝BC；D.AB＝AD，CB＝CD；
E．AB∥CD，AB＝CD；F.AB∥CD，AD∥BC；
G．OA＝OC，OB＝OD.
4．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形，只需添加一个条件，这个条件可以是__AB＝CD或AD∥BC__(只需写出一种情况)．
[学生用书P85]
1．[2018·安徽]如图，ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( B )
A．BE＝DF B．AE＝CF
C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
2．如图，在ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F, 连结AF、CE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE∥CF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE.
3．[2018·福田区期末]如图，已知∠A＝∠E＝90°，A、C、F、E在一条直线上，AF＝EC，BC＝DF.
求证：(1)Rt△ABC≌Rt△EDF；
(2)四边形BCDF是平行四边形．
证明：(1)∵AF＝EC，
∴AC＝EF.
又∵BC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(HL)．
(2)∵Rt△ABC≌Rt△EDF，
∴BC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴∠BCF＝∠DFC，
∴BC∥DF.
又∵BC＝DF，
∴四边形BCDF是平行四边形．
4．[2018·九江期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝∠DBC，∠AED＝90°.
(1)求证：AE∥BD；
(2)过点C作CF⊥BD于点F，连结EF，求证：四边形EFCD是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC.
∵∠EAD＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠ADB，
∴AE∥BD.
(2)∵AE∥BD，
∴∠AED＋∠BDE＝180°.
∵∠AED＝90°，
∴∠BDE＝90°.
∵CF⊥BD，
∴∠EDB＝∠CFD＝90°，
∴DE∥CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD.
∵∠EAD＝∠CBF，∠AED＝∠BFC＝90°，
∴△ADE≌△BCF(AAS)，
∴DE＝CF，
∴四边形EFCD是平行四边形．
5．[2018·高州市期末]如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)连结BE，若BE＝EF，求证：AE＝AD.
,) ,答图)
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°.
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC，
∵DC＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形．
(2)如答图，连结BE.
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°.
∵DC＝EF，
∴EB＝DC.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，
∴AE＝AD.
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构成命题．
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例．
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果……，那么……”的形式)
解：(1)是真命题．
证明如下：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)假命题：
a．在四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形；
b．在四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
反例：
,答图1) ,答图2)
如答图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形；
如答图2所示，在四边形ABCD中，AO＝CO，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形．
18.2平行四边形的判定
第4课时 平行四边形的性质与判定的综合
教学目标
能运用平行四边形的性质与判定定理进行证明与计算．
情景问题引入
如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB＝ED＝BC.找出图中的平行四边形．
[学生用书P86]
1．平行四边形的性质
定义：平行四边形的对边__平行__．
定理1：平行四边形的对边__相等__．
定理2：平行四边形的对角__相等__．
定理3：平行四边形的对角线__互相平分__．
推论：两条平行线之间的距离处处__相等__．
2．平行四边形的判定定理
定义：两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形．
定理1：两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．
定理2：一组对边__平行且相等__的四边形是平行四边形．
定理3：对角线互相__平分__的四边形是平行四边形．
拓展：对角分别__相等__的四边形是平行四边形．
[学生用书P86]
类型 平行四边形的性质与判定的综合
[2017·镇江]如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连结BN.若BN平分∠DBC，求CN的长．
解：(1)证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC.
又∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2.
∴DB∥EC.
∵DB∥EC，DF∥AC，
∴四边形BCED为平行四边形．
(2)∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠NBC.
∵DB∥EC，
∴∠DBN ＝∠BNC，
∴∠NBC ＝∠BNC，
∴BC＝CN.
∵四边形BCED为平行四边形，
∴BC＝DE＝2.
∴CN＝2.
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE、DF于点G、H.求证：AG＝CH.
证明：∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，CF＝BF＝BC.
又∵AD∥BC，且AD＝BC.
∴ DE∥BF，且DE＝BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴∠BED＝∠DFB.
∴∠AEG＝∠DFC.
又∵AD∥BC，
∴∠EAG＝∠FCH.
在△AGE和△CHF中，
∴△AGE≌△CHF，
∴AG＝CH.
[2017春·宝应县期中]四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连结BF、AC、DE，当BF⊥AE时，求证：四边形ACED是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC.
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAD＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD.
(2)∵BA＝BE，BF⊥AE，
∴AF＝EF.
∵AD∥CE，
∴∠DAF＝∠CEF.
在△ADF和△ECF中，
∴△DAF≌△CEF，
∴AD＝CE.
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
【点悟】 研究平行四边形问题时，常从边、角、对角线三个角度考虑．平行四边形的判定与性质是互逆的．常见的辅助线是连结对角线．
[学生用书P86]
1．如图，在ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，连结BE、EF、DF，则图中平行四边形共有( B )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
第1题图
第2题图
2．如图，在ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是( D )
A．①⑥ B．①②④⑥
C．①②③④ D．①②④⑤⑥
[学生用书P86]
1．如图，在ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连结BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△CBF是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，
∠BAE＝∠DAB－∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE，
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE，
∴DF＝BE.
又∵DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
2．[2018·达川区期末]如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，AE＝CF，连结AF、BF、DE、CE分别交于点H、G.求证：
(1)四边形AECF是平行四边形；
(2)EF与GH互相平分．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)由(1)得：四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE.
∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
3．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连结BF.
求证：(1)FB＝CO；
(2)四边形AOBF是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠CFB.
∵E是BO的中点，
∴OE＝BE.
在△OCE和△BFE中，
∴△OCE≌△BFE，
∴FB＝CO.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∴AO＝FB.
又∵AO∥BF，
∴四边形AOBF是平行四边形．
4．[2017·如东县一模]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F，连结CF.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若CB＝CD，求四边形BDFC的面积．
解：(1)证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AF∥BC，
∴∠DCB＝∠CDF，∠FBC＝∠BFD.
又∵E是CD的中点，∴DE＝EC，
∴△BCE≌△FDE，
∴DF＝BC.
又∵DF∥BC，
∴四边形BDFC为平行四边形．
(2)当BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形．
答图
在Rt△CDG中，DG＝BC－AD＝2，
CG＝＝，
∴S平行四边形BDFC＝BC·CG＝3.
5．[2018·香坊区期末]在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边DC、AB上，DE＝BF，连结AE、CF.
(1)如图1，求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)如图2，连结DF、BE分别交AE、CF于点G、H，连结GH，若E为CD的中点，在不添加辅助线的情况下，请直接写出以G、H为顶点的平行四边形．
,图1) ,图2)
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB.
∵DE＝BF，
∴DC－DE＝AB－BF，即EC＝AF.
又∵EC∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
(2)∵E是CD的中点，
∴ED＝EC＝DC.
∵ED＝BF，
∴ED＝BF＝DC＝AB＝AF.
∵DE∥AF，
∴∠EDG＝∠GFA，∠DEG＝∠GAF，
∴△DGE≌△FGA，
∴AG＝EG＝AE，DG＝FG＝DF.
同理得：FH＝HC＝CF，
∴AG＝FH.
∵AG∥FH，
∴四边形AFHG是平行四边形，
同理可得：DGHE、EGHC、FBHG、GFHE.
